[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[duynhan1]

Chứng minh rằng trong một tam giác :
1) [TEX]S_{ABC} = \frac{R^2}{2} . (sin 2A + sin 2B + sin2C)[/TEX]

2) [TEX]S_{ABC} = \frac{1}{4} (a^2 sin2B + b^2 sin 2A)[/TEX]

1/

[TEX]sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin (A+B).sin (A-B) + 2 sin C.cosC = 2 sin C( sin (A-B) + cos C) = 4 sin A. sin B . sinC = 4 \frac{abc}{8R^3} [/TEX] (áp dụng định lý hàm sin)

[TEX] \frac{R^2}{2} . (sin 2A + sin 2B + sin2C) = \frac{R^2}{2} .4 \frac{abc}{8R^3} = \frac{abc}{4R} = S_{ABC} [/TEX]

2/
[TEX]B=a^2 sin2B + b^2 sin 2A [/TEX]
[TEX]B= 4R^2.sin^2 A. sin 2B + 4R^2. sin ^2B.sin 2A \\B = 8R^2 . sin A. sinB(sin A. cos B + sin B. cos A) \\ B= 8R^2. sin A. sin B. sin C = 8R^2 . \frac{abc}{8R^3} \\ B = \frac{abc}{R} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{4} (a^2 sin2B + b^2 sin 2A) =\frac{abc}{4R} = S_{ABC} [/TEX]

3) [TEX]\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{sin(A-B)}{sin C}[/TEX]

[TEX]\frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{4R^2. sin^2A -4R^2 . sin ^2B}{4R^2. sin ^2C} \\ = \frac{1- cos 2A - 1 + cos 2B}{2 sin ^2 C}\\ = \frac{- sin (A+B). sin (B-A)}{sin ^2C} \\ = \frac{sin(A-B)}{sin C} [/TEX]

4) [TEX]a sin(B-C)+b sin(C-A)+c sin(A-B)=0[/TEX]

[TEX]VT = 2R[ sin A. sin (B-C) + sin B. sin (A-C) + sin C. sin (A-B)] [/TEX]
[TEX]= R (sin A - sin B + sin B - sin C + sin C - sin A) =0 [/TEX](dpcm)

Bài 5 cháu sửa sai đề rồi , mà hình như tác giả đánh cũng sai

5)[TEX] (b+c)cos^2 {\frac{A}{2}} + (c+a)cos^2 {\frac{B}{2}} + (a+b)cos^2 {\frac{C}{2}} = 3(a+b+c)[/TEX]

[TEX]2. VT = (b+c) (cos A + 1) + (a+c) (cos B +1 ) + (a+b)( cos C +1) \\ =2(a+b+c) + 2R [(sin A.cos B + sin A.cos C ) + (sin B. cos A + sin B. cos C ) + (sin C. cos B + sinC.cos A) ] \\= 2(a+b+c) + 2R [ sin (A+B) + sin (B+C) + sin (C+A) ] \\= 2(a+b+c) + a+b+c = 3(a+b+c) [/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

các bác thông cảm , cho em quay lại cái BDT lượng giác nha :

2.

3.

, với

4.

5.

 

[dinhchau2603]

Lượng giác

Giúp em với pà con ơi!
Trong tam giác ABC, biết A^4 = B^4 + C^4
CMR:
a, ABC nhọn
b, tanB + tanC = sin2A

 

[duynhan1]

Chém típ đi ne`
[TEX]2\sqrt{3}sin(x-\frac{\pi }{8})cos(x-\frac{\pi }{8})+2{cos}^{2}(x-\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}+4[{sin}^{2}x+cos(\frac{\pi }{3}-x)cos(\frac{\pi }{3}+x)][/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{3} sin (2x - {\frac{{\pi}}{4} ) + cos(2x - \frac{{\pi}}{4} ) +1 = \sqrt{3} + 2( 1- cos 2x + cos 2x - \frac12) [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 2sin (2x + \frac{{\pi}}{12} ) = \sqrt{3} [/TEX]

P/s; Chẳng hiểu sao ra nữa, có lẽ làm sai (

3.

, với

Do hàm sin đồng biến trong [TEX][- {\frac{{\pi}}{4}} ; {\frac{{\pi}}{4}}][ [/TEX]

[TEX]sin a \geq sin {\frac{{\pi}}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]
[TEX]sin b \geq sin {\frac{{\pi}}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]
[TEX]sin c \geq sin {\frac{{\pi}}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]

Cộng lại [TEX]sin a+sin b+sin c \geq -3\frac{\sqrt{2}}{2} [/TEX]

 

[silvery21]

Giúp em với pà con ơi!
Trong tam giác ABC, biết a^4 = b^4 + c^4
CMR:
a, ABC nhọn
b, tanB + tanC = sin2A

[TEX]a^4=b^4+ c^4 ==> A[/TEX] là góc max[TEX]=> dfcm \Leftrightarrow cos A >0[/TEX]


[TEX]a^4=b^4+ c^4=(b^2+c^2)^2 - 2 b^2 c^2 \leq (b^2+c^2)^2[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]a^2 \leq b^2+c^2 \Leftrightarrow b^2+c^2-a^2\geq 0 \Leftrightarrow cos A\geq 0[/TEX] ( dấu = ko xảy ra ) \Rightarrow dfcm

câu b: thay sin ; cos theo các cạnh biến đổi là đc

thêm 1 ý : cm: [TEX]2 sin ^2 A= tg B tgC[/TEX]

 

[anant1]

Tính tổng Asin(x) + Bcos(x) ( A.B>0) ...............

 

[duynhan1]

Tính tổng Asin(x) + Bcos(x) ( A.B>0) ...............

[TEX]A. sin x + B. cos x = \sqrt{A^2+B^2} sin (x + arcsin (\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}})[/TEX]

các bác thông cảm , cho em quay lại cái BDT lượng giác nha :

2.

3.

, với

4.

5.

[TEX]a^4=b^ 4 +c^4[/TEX]
[TEX]CM:2 sin ^2 A= tg B tgC[/TEX]

[TEX]tg B . tg C = \frac{sin B . sin C}{cos B. cos C} \\ = \frac{sin B. sin C}{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}. \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} }\\ = \frac{4a^2bc . sinB. sin C }{a^4 -(b^2 - c^2)^2 } \\ = \frac{2 a. sin B . a . sin C}{bc} \\ = \frac{2 . b. sin A . c. sin A}{bc } \\ = 2 sin^2A [/TEX]

 

[satthukhonggiay]

1.cho

cmr

2.cmr nếu trong tam giác ABC ta có:
[TEX]sin {\frac{A}{2}}.cos^3 {\frac{B}{2}}=sin{\frac{B}{2}}cos^3 {\frac{A}{2}}[/TEX]
thì tam giác ABCcân tại C

Xem lời giải bài 2 tại đây

 

[duynhan1]

[TEX]sin x+ cosx.sin2x + \sqrt{3}. cos3x=2(cos4x + sin^3x) [/TEX]

Nhiều bài thế sao ko ai giải nhỉ
..........................................................................................

 

[puu]

[TEX][/TEX]

Nhiều bài thế sao ko ai giải nhỉ
..........................................................................................

[TEX]sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sinx(1-2sin^2x)+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sinxcos2x+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sin3x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{2}sin3x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos3x=cos4x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]cos(3x-\frac{\pi}{6})=cos4x[/TEX]

 

[duynhan1]

Mấy bài trên giải sau

1. Tính [TEX]sin 18^o[/TEX]

2. Giải phương trình : [TEX]cos 3x . (cos ^3x - sin^3 x ) = \frac58 [/TEX]

 

[camnhungle19]

Làm bài 1 trước

[TEX]sin 18^o = cos72^o [/TEX] Ta thấy: [TEX]sina=cos4a (1) voi a=18^o[/TEX]
mà [TEX] cos4a=2cos^22a -1 =2(1-2sin^2a)^2 -1[/TEX]
Đặt sina=t (1) thành: [TEX]8t^4 -8t^2-t+1=0[/TEX]
Giải pht đó chú ý đk 0<t<1 ta được [TEX]t= \frac{\sqrt5 -1}{4}[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

bài 1, cách 2: ta có

==> xong

còn bài Phương trình có vẻ cũng hơi khó nuốt đây.!!!

 

[duynhan1]

1.cho

cmr

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)( b sin ^4 \alpha + a cos ^4 \alpha ) = ab (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b sin^2 \alpha)^2 + (a cos^2 \alpha)^2 - 2 ab sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (b sin^2 \alpha - a cos^2 \alpha)^2 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{ sin^2 \alpha}{a} = \frac{cos^2 \alpha}{b} = \frac{1}{a+b} [/TEX] (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

[TEX]\frac{sin^{8}x}{a^3}+\frac{cos^{8}x}{b^3} = (\frac{1}{a+b})^2 (\frac{sin^4 }{a} + \frac{cos^4}{b} ) = \frac{1}{(a+b)^3} [/TEX]

P/s : Còn lại mấy bài của henrrycuong nữa là xong

 

[anant1]

a)[TEX]cos^2 a+ cos^2 2a+....+cos^2 na[/TEX]

b)

c)

Câu c xem tại đây

 

[utit_9x]

nào mấy bài có đk nè :
1. [TEX]3tan3x+cot2x=2tanx+\frac{2}{sin4x}[/TEX]

 

[connguoivietnam]

[TEX]3tan3x+cot2x=2tanx+\frac{2}{sin4x}[/TEX]

[TEX]cos3x[/TEX] và [TEX]sin2x[/TEX] [TEX]sin4x[/TEX] khác 0

[TEX]\frac{3sin3x}{cos3x}+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{2sinx}{cosx}+\frac{2}{sin4x}[/TEX]

[TEX]3(\frac{sin3x}{cos3x}-\frac{sinx}{cosx})+(\frac{cos2x}{sin2x}+\frac{sinx}{cosx})=\frac{2}{sin4x}[/TEX]

[TEX]\frac{3sin2x}{cos3xcosx}+\frac{1}{sin2x}=\frac{2}{sin4x}[/TEX]

[TEX]\frac{6sinx}{cos3x}+\frac{2cos2x}{sin4x}=\frac{2}{sin4x}[/TEX]

[TEX]\frac{6sinx}{cos3x}=\frac{4sin^2x}{sin4x}[/TEX]

[TEX]6sin4x=4sinxcos3x[/TEX]

[TEX]3sin4x=sin4x-sin2x[/TEX]

[TEX]2sin4x+sin2x=0[/TEX]

[TEX]4cos2x+1=0[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

mấy bài khó đây. Giải PT
a.

b.

c.

d.

e.

 

[hienzu]

Tìm Max, Min:
A=[TEX]\frac{3{cos}^{4}x+4{sin}^{2}x}{3{sin}^{4}x+2{cos}^{2}x}[/TEX]

B=[TEX]cos2x+\frac{1}{2{cos}^{2}x+1}[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

chém ý b :

theo cauchy==> minb= 0,
lại có

==> B max khi cos2x max= 1---> b= 4/3

==> xong