[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[camnhungle19]

Next

Nhận dạng tam giác:
[TEX]1, a.cot{\frac{C}{2}} + b.cot{\frac{C}{2}} = b.tanB + a.tanA[/TEX]

[TEX]2, \frac{sinA + sinB+ sinC}{sinA+sinB - sinC} = cot {\frac{A}{2}}. cot {\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]3, sin{\frac{A}{2}}.cos^3{\frac{B}{2}} = sin{\frac{B}{2}}.cos^3{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]4, bc\sqrt{3} = R[2(b+c) -a][/TEX]

 

[duynhan1]

Nhận dạng tam giác:
[TEX]2, \frac{sinA + sinB+ sinC}{sinA+sinB - sinC} = cot {\frac{A}{2}}. cot {\frac{C}{2}}(2)[/TEX]

Bài 2 :

[TEX]sin A + sin B + sin C = 4 cos {\frac{A}{2}}.cos {\frac{B}{2}}.cos {\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]sin A + sin B - sin C = 4 cos {\frac{C}{2}}.sin {\frac{A}{2}}.cos {\frac{B}{2}}[/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow cot {\frac{A}{2}}. cot {\frac{B}{2}} =cot {\frac{A}{2}}. cot {\frac{C}{2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \Delta ABC[/TEX] vuông tại A hoặc cân tại A

 

[duynhan1]

Nhận dạng tam giác:
[TEX]1, a.cot{\frac{C}{2}} + b.cot{\frac{C}{2}} = b.tanB + a.tanA[/TEX]

[TEX]3, sin{\frac{A}{2}}.cos^3{\frac{B}{2}} = sin{\frac{B}{2}}.cos^3{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]1, a.cot{\frac{C}{2}} + b.cot{\frac{C}{2}} = b.tanB + a.tanA[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a. (tan {\frac{A+B}{2} }- tan A) = -b. (tan {\frac{A+B}{2} }- tan B)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin A. {\frac{sin {\frac{B-A}{2}} }{cos {\frac{A+B}{2}} . cos A} = sin B. {\frac{sin {\frac{B-A}{2}}}{cos {\frac{A+B}{2} }. cos B}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{tan A= tan B}\\{sin {\frac{B-A}{2}} = 0} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A=B[/TEX]

[TEX]3, sin{\frac{A}{2}}.cos^3{\frac{B}{2}} = sin{\frac{B}{2}}.cos^3{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]\frac{sin{\frac{A}{2}}}{cos^3{\frac{A}{2}}} = \frac{sin{\frac{B}{2}}}{cos^3{\frac{B}{2}}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow tan {\frac{A}{2}} . (1+ tan^2 {\frac{A}{2}}) = tan {\frac{B}{2}} . (1+ tan^2 {\frac{B}{2}}) (3') [/TEX]

[TEX]Set \ \ : \ \ \left{ \begin{x= tan {\frac{A}{2}}}\\{y= tan {\frac{B}{2}}} [/TEX]

Do [TEX]0<A; B< \pi \Rightarrow x,y >0 [/TEX]

[TEX](3') \Leftrightarrow x^3 + x - y^3 - y = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy + 1) =0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=y[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A=B[/TEX]

Bài 4:

[TEX]\sqrt{3} bc = R (2(b+c)-a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2R}{b} + \frac{2R}{c} - \frac{a.R}{bc} = \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{sin B} + \frac{1}{sin C} - \frac12 sin A . \frac{1}{sin B. sin C} = \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin B + sin C - \frac12 sin (B+C) = \sqrt{3}.sin B.sin C[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin B + sin C = sinB(\frac{\sqrt{3}}{2}.sin C + \frac12 cos C) + sinC(\frac{\sqrt{3}}{2}.sin B + \frac12 cos B)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin B + sin C = sin B . sin ( C+\frac{{\pi}}{6}) + sin C . sin ( B+\frac{{\pi}}{6})[/TEX]

[TEX]VT \geq VP [/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

[TEX]\left{ \begin{C= \frac{{\pi}}{3}}\\{B= \frac{{\pi}}{3}}[/TEX]

 

[silvery21]

Topic post bài lộn xộn quá, chừ post theo chủ đề. Mỗi chủ đề sẽ làm trong một tuần, nếu hết bài tập sẽ chuyển sang chủ đề khác.

Chủ đề 1: Nhận dạng tam giác

Câu 1:
a.[TEX]\sqrt{tan A}+\sqrt{tan B}+\sqrt{tan C}=\sqrt{cot {\frac{A}{2}}} + \sqrt{cot {\frac{B}{2}}} + \sqrt{cot {\frac{C}{2}}}[/TEX]

b.[TEX]\sqrt{sin A}+\sqrt{sin B}+\sqrt{sin C}=\sqrt{cos {\frac{A}{2}}} + \sqrt{cos {\frac{B}{2}}} + \sqrt{cos {\frac{C}{2}}}[/TEX]

b;

ta có : [TEX] (a+b)^2 \leq2 a^2 + 2 b^2[/TEX]

=> [TEX]( \sqrt{ sin A}+ \sqrt{ sin B})^2\leq 2( sin A+ sin B) \leq4 cos{\frac {C } {2}}[/TEX]

[TEX]=> \sqrt{ sin A}+ \sqrt{ sin B} \leq2 \sqrt {cos {\frac{ C} {2}}}[/TEX]

tương tự rồi cộng từng vế đc đ pcm


câu a:

gợi ý ta cần cm : [TEX]tg A. tg B \geq cot ^2 {\frac{ C} {2}}[/TEX]

qui đồng đc : [TEX]cos C ( cos ( A-B) - 1) \leq 0[/TEX] ( đúng ) => đúng

do đó :[TEX] cot ^ 2{\frac{ C} {2}}\leq tg A. tg B => \sqrt{cot {\frac{ C} {2}}} \leq \sqrt[4]{tg A. tg B} \leq \frac{sqrt{tg A}+ sqrt{tg B}}{2}[/TEX]

tương tự = > đfcm .........done

 

[duynhan1]

Tiếp tục ......

[TEX]1. \Delta ABC \ \ have: \ \ (1 + cot A )(1+ cot B) =2 [/TEX]

Tính C.

[TEX]2. sin A + sin B + sin C - 2 sin {\frac{A}{2}} sin {\frac{B}{2}} = 2 sin {\frac{C}{2}}[/TEX]

Tính C.

[TEX]3. \Delta \ \ have : \ \ \frac{b}{cos B} + \frac{c}{cos C} = \frac{a}{sin B.sin C} [/TEX]
Nhận dạng [TEX] \Delta ABC[/TEX]

[TEX]4. tan A + tan B = 2 cot {\frac{C}{2}}[/TEX]. Nhận dạng [TEX]\Delta ABC[/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]1[TEX]3. \Delta \ \ have : \ \ \frac{b}{cos B} + \frac{c}{cos C} = \frac{a}{sin B.sin C} [/TEX]
Nhận dạng [TEX] \Delta ABC[/TEX]

. \Leftrightarrow[TEX] \frac{2Rsin B}{cos B} + \frac{2R sin C} {cos C} = \frac{2R sin A}{sin B.sin C}[/TEX]


\Leftrightarrow [TEX]\frac{ sin B co s C + sin C co sB}{cos C. co s C } =\frac{2R sin A}{sin B.sin C}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{ sin (B+C)}{cos C. co s B} =\frac{ sin A}{sin B.sin C}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] cos C. co s B=sin B.sin C( sin A>0)[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]cos (B+C) = 0=> A= \pi/2[/TEX]

[TEX]4. tan A + tan B = 2 cot {\frac{C}{2}}[/TEX]. Nhận dạng [TEX]\Delta ABC[/TEX]

câu này y như câu trên kia ấy sử dụng cô si vào đó

có cách thứ 2 là qui đồng ra bước cuối là [TEX]cos (A-B)=1[/TEX] => tg cân

 

[camnhungle19]

[TEX]1. \Delta ABC \ \ have: \ \ (1 + cot A )(1+ cot B) =2 [/TEX]

Tính C.

[TEX]2. sin A + sin B + sin C - 2 sin {\frac{A}{2}} sin {\frac{B}{2}} = 2 sin {\frac{C}{2}}[/TEX]

Tính C.

Mấy bài ni trong phần giải tam giác chứ nhỉ..), thôi làm đại.
[TEX]1, \Leftrightarrow cotA + cotB +cotA.cotB +1 = 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{tanA} + \frac{1}{B} = 1- \frac{1}{tan A. tanB}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow tan A + tanB = tan A.tanB -1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{tan A + tanB}{1- tan A. tanB}= -1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow tan(A+B) =-1 \Leftrightarrow -tanC =-1 \Leftrightarrow C= 45^o[/TEX]

2. ta có: [TEX] sinA+sinB+sinC = 4.cos{\frac{A}{2}}cosB{\frac{B}{2}}cos{\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]2 \Leftrightarrow 4.cos{\frac{A}{2}}cosB{\frac{B}{2}}cos{\frac{C}{2}}- 2sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}} = 2.cos{\frac{A+B}{2}} [/TEX]


[TEX] \Leftrightarrow 2.cos{\frac{A}{2}}cosB{\frac{B}{2}}cos{\frac{C}{2}}- sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}} = cos{\frac{A}{2}}cos{\frac{B}{2}} - sin{\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}} [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow cos{\frac{A}{2}}cos{\frac{B}{2}}(2.cos{\frac{C}{2}}-1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos{\frac{C}{2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow C=120^o[/TEX]

 

[camnhungle19]

bài mới

[TEX]1, \frac{acosA+bcosB+ccosC}{asinB+bsinC+csinA}= \frac{a+b+c}{9R}[/TEX]

[TEX]2, \frac{1}{cosA} + \frac{1}{cosB} +\frac{1}{cosC}= \frac{1}{sin A/2}+\frac{1}{sin B/2} +\frac{1}{sinC/2} [/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]1, \frac{acosA+bcosB+ccosC}{asinB+bsinC+csinA}= \frac{a+b+c}{9R}[/TEX]

[TEX]2, \frac{1}{cosA} + \frac{1}{cosB} +\frac{1}{cosC}= \frac{1}{sin A/2}+\frac{1}{sin B/2} +\frac{1}{sinC/2} [/TEX]

câu b là cm tg đều

ta có [TEX]\frac{1}{cosA} + \frac{1}{cosB} \geq \frac{4}{cosB + cos A} = \frac{2}{ sin {\frac{C}{2}}. cos {\frac{A-B}{2}} }\geq \frac{2}{ sin {\frac{C}{2}}}[/TEX]

tương tự rồi cộng từng vế ; dấu = \Leftrightarrow tg đều

câu thứ 1 hehe đưa hết về cạnh )

 

[duynhan1]

Chủ đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Trước hết là các BDT cơ bản :

[TEX]1, \ \ 1< cos A + cos B + cos C \leq \frac32[/TEX]

[TEX]2, \ \ sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C \leq \frac94[/TEX]

[TEX]3, \ \ sin {\frac{A}{2}} . sin {\frac{B}{2}} . sin {\frac{C}{2}} \leq \frac18[/TEX]

[TEX]4, \ \ cos A.cos B .cos C \leq \frac18[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

cho các số a1, a2, a3,.. , an( n>0) biết tana1. tana2...tanan= 1. tìm min : sina1.sina2....sinan.

sao không thấy ai làm vậy, cho bài khác nha :

 

[duynhan1]

sao không thấy ai làm vậy, cho bài khác nha :

Mãi mới xong

[TEX]LHS: =\sum \frac{cos {\frac{A}{2}}}{sinB.sinC} \\ = \sum \frac{2cos {\frac{A}{2}}}{cos {\frac{B-C}{2} } - sin {\frac{A}{2}}} \\ = \sum \frac{4cos ^2 {\frac{A}{2}}}{sin B + sin C - sin A} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow LHS \geq \frac{ (2 \sum cos {\frac{A}{2}})^2 }{sin A + sin B + sin C} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow LHS \geq \frac{ (6 \sqrt[3]{cos {\frac{A}{2}}. cos {\frac{B}{2}}.cos {\frac{C}{2}} } )^2. }{4 cos {\frac{A}{2}}. cos {\frac{B}{2}}.cos {\frac{C}{2}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow LHS \geq \frac{ 9 }{ \sqrt[3]{cos {\frac{A}{2}}. cos {\frac{B}{2}}.cos {\frac{C}{2}}} [/TEX]

[TEX]cos {\frac{A}{2}}.cos {\frac{B}{2}}.cos {\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow LHS \geq \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \sqrt{3}[/TEX] (điều phải chứng minh)

:-SS

 

[utit_9x]

Giải pt nao` :
[TEX]sin(\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi }{10}+\frac{3x}{2})[/TEX]

 

[duynhan1]

Giải pt nao` :
[TEX]sin(\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi }{10}+\frac{3x}{2})[/TEX]

[TEX]sin(\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi }{10}+\frac{3x}{2})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin(\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}sin(\frac{9 \pi }{10}-\frac{3x}{2}) [/TEX]

[TEX]t =\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin x = \frac12 sin 3x[/TEX]

Áp dụng công thức nhân ba

 

[camnhungle19]

Trước hết là các BDT cơ bản :

[TEX]1, \ \ 1< cos A + cos B + cos C \leq \frac32[/TEX]

[TEX]2, \ \ sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C \leq \frac94[/TEX]

[TEX]3, \ \ sin {\frac{A}{2}} . sin {\frac{B}{2}} . sin {\frac{C}{2}} \leq \frac18[/TEX]

[TEX]4, \ \ cos A.cos B .cos C \leq \frac18[/TEX]

Câu 2 trước:
A/d công thức hạ bậc

[TEX]\Leftrightarrow 1- \frac{cos2A +cos2B}{2} +sin^2 C \leq \frac{9}{4} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos^2 C - cosC.cos(A-B) + \frac{1}{4} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [cosC - \frac{1}{2}cos(A-B)]^2 + \frac{1}{4}sin^2(A-B) \geq 0[/TEX] (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow cosC - \frac{1}{2}cos(A-B) =0 va sin (A-B)=0[/TEX]
tg ABC đều.

 

[duynhan1]

Vào mục chính :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 vài bài tập đầu tiên

[TEX]1) (1+cos x)(2 sinx - cos x)= sin ^2 x[/TEX]

[TEX]2) cos ^3 4x = cos 3x cos ^3 x + sin 3xsin^3 x[/TEX]

[TEX]3) 8 sin x = \frac{\sqrt{3}}{ cos x} + \frac{1}{sin x}[/TEX]

[TEX]4) | sinx - cos x | + 4 sin 2x =1[/TEX]

 

[camnhungle19]

Sao chẳng ai làm b nhỉ, quên top này rùi sao

bài 1 dễ tớ chém trước

[TEX]1) (1+cos x)(2 sinx - cos x)= sin ^2 x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (1+cos x)(2 sinx - cos x) + cos^2 x -1 =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (1+cos x)(2 sinx -1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{cos x=-1}\\{sinx = \frac{1}{2}} [/TEX]
________________________

 

[utit_9x]

Chém típ đi ne`
[TEX]2\sqrt{3}sin(x-\frac{\pi }{8})cos(x-\frac{\pi }{8})+2{cos}^{2}(x-\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}+4[{sin}^{2}x+cos(\frac{\pi }{3}-x)cos(\frac{\pi }{3}+x)][/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

Vào mục chính :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 vài bài tập đầu tiên

[TEX]1) (1+cos x)(2 sinx - cos x)= sin ^2 x[/TEX]

[TEX]2) cos ^3 4x = cos 3x cos ^3 x + sin 3xsin^3 x[/TEX]

[TEX]3) 8 sin x = \frac{\sqrt{3}}{ cos x} + \frac{1}{sin x}[/TEX]

[TEX]4) | sinx - cos x | + 4 sin 2x =1[/TEX]

[TEX]3) 8 sin x = \frac{\sqrt{3}}{ cos x} + \frac{1}{sin x}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4sin2x.sinx=\sqrt{3}.sinx + cosx[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2(cosx-cos3x)=\sqrt{3}.sinx+cosx[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]cosx-\sqrt{3}.sinx=2cos3x[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]cos(x+\frac{\pi}{3}=cos 3x[/TEX]
...


[TEX]4) | sinx - cos x | + 4 sin 2x =1[/TEX][/QUOTE]
Đặt : [TEX]t= |sinx- cos x|[/TEX] [TEX]Dk:|t|[/TEX] \leq[TEX]\sqrt{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4sin2x=4(1-t^2)[/TEX]
Pt đã cho tương đương:
[TEX]4t^2-t-3=0[/TEX]
[TEX]t=3[/TEX] (loại) hoặc [TEX]t=1[/TEX](thoả)

Vào mục chính :

[TEX]2) cos ^3 4x = cos 3x cos ^3 x + sin 3xsin^3 x[/TEX]

[TEX]VT= \frac{3cosx + cos3x}{4}. cos3x + \frac{3sinx-sin3x}{4}. sin3x[/TEX]
.......
[TEX]= \frac{3cos2x+cos6x}{4}= cos^3 2x[/TEX]
\Rightarrow [TEX]cos^3 4x=cos^3 2x[/TEX]...

 

[dinhchau2603]

Giúp mình với mọi người ơi!!!!!!
CMR : Trong 1 tam giác
SABC = R^2/2 (sin 2A + sin 2B + sin2C)
SABC = ¼ (a^2 sin2B + b^2 sin 2A)
(a^2–b^2)/c^2 = sin(A–B)/sin C
a sin(B–C) + b sin(C–A) + c sin(A–B) = 0
(b+c)cos^2 A/2 + (c+a)cos^2 B/2 + (a+b)cos^2 C/2 = 3