[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[duynhan1]

1,[TEX]\frac{{sin}^{4}\frac{x}{2}+{cos}^{4}\frac{x}{2}}{1-sinx}.{tg}^{2}x.sinx=\frac{1+sinx}{2}+{tg}^{2}x[/TEX]
2, [TEX]4{cos}^{2}x+1995{sin}^{1996}x=1995[/TEX]
3,[TEX]cos2x-cos6x+4(3sinx-4{sin}^{3}x+1)=0[/TEX]

[TEX]sin^4 a + cos^4 a = 1 - 2 sin^2a. cos^2 a = 1 - \frac12 sin^2 2a [/TEX]

[TEX]\Rightarrow {sin}^{4}\frac{x}{2}+{cos}^{4}\frac{x}{2} = 1 - \frac12 sin^2 x [/TEX]

[TEX]a = sin x[/TEX]

[TEX] \frac{1 - \frac12 a^2}{1-a}. \frac{a^2}{1-a^2}.a=\frac{1+a}{2}+\frac{a^2}{1-a^2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^3(1- \frac12 a^2) }{(1-a)(1-a^2)}=\frac{(1+a)(1-a^2) + 2a^2 }{2(1-a^2)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^3(2- a^2) }{(1-a)^2(1+a)}=\frac{(1+a)^2(1-a) + 2a^2 }{(1-a)(1+a)} [/TEX]
[TEX]DK: a \not= \pm 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3(2-a^2) = (1-a^2)^2 + 2a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2a^3 - a^5 = 1 + a^4 [/TEX]

[TEX]a^5 + a^4 - 2a^3 + 1 = 0 [/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

bài tiếp đây :
Cho tam giác ABC, với

lần lưột là bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp của các góc A; B; C. chứng minh, tam giác ABC vuông khi :

Trong tam giác ABC góc B lớn hơn góc C. Gọi

là góc nhọn tạo bởi trung tuyến AM với cạnh BC. Chứng minh rằng :

cho tam giác ABC cấn tại A, có A= 20 độ , cạnh bên là b, cạnh đáy là a, chứng minh :

nhận dạng tam giác khi

chuwngs tỏ rằng tồn tại ít nhất một tam giác sao cho các góc của nó đều là nghiệm của phưông trình :

 

[duynhan1]

2, [TEX]4{cos}^{2}x+1995{sin}^{1996}x=1995[/TEX]

[TEX]4{cos}^{2}x+1995{sin}^{1996}x \leq 4 cos^2 x + 1995 sin^2 x \leq 4 + 1991 sin^2x \leq 1995 [/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow sin^2x = 1 \Leftrightarrow sin x = \pm 1[/TEX]

3,[TEX]cos2x-cos6x+4(3sinx-4{sin}^{3}x+1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x - cos 6x + 4 sin 3x + 4 =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x + 2 sin ^2 3x - 1 + 4 sin 3x + 4 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( cos 2x + 1 ) + 2 ( sin 3x + 1)^2 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos^2 x + ( sin 3x +1)^2 = 0 [/TEX]

4,[TEX]3\sqrt{sin3x}+2\sqrt[4]{cos3x}=2[/TEX]

[TEX]DK : sin 3x, cos 3x \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3 \sqrt{sin 3x } \geq 3 sin^2 3x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2 \sqrt[4]{cos 3x } \geq 2 cos^2 3x [/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq 3 sin^2 3x + 2cos^2 3x = 2 + sin^2 3x \geq 2 [/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow \left{ sin 3x = 0 \\ \left[ cos 3x =1 \\ cos 3x = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 3x =1 [/TEX]
hờ phù!!!!!!!!!!!!!!

 

[utit_9x]

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x - ( 4 cos^3 2x - 3 cos 2x ) + 4 sin 3x + 4 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4 cos 2x ( 1- cos^2 2x) + 4 sin 3x + 4 = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4 cos 2x . sin ^2 2x + 4 sin 3x +4 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin 2x . sin 4x + 4 sin 3x + 4 =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x - cos 6x + 4 sin 3x + 4 =0 [/TEX] **************

[TEX]\Leftrightarrow cos 2x + 2 sin ^2 3x - 1 + 4 sin 2x + 4 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( cos 2x + 1 ) + 2 ( sin 3x + 1)^2 = 0 [/TEX]

từ đề có thể \Rightarrowlun cái nì \Leftrightarrow cos 2x - cos 6x + 4 sin 3x + 4 =0 biến đổi nhìu thế @-)

---->Hì quên, mà giải 3 bài thế mà chẳng được cái thanks nào á
Thanks rùi "mình cũng quên"

 

[quyenuy0241]

Trong tam giác ABC góc B lớn hơn góc C. Gọi

là góc nhọn tạo bởi trung tuyến AM với cạnh BC. Chứng minh rằng :

Vẽ hình ra thấy liền .

Kẻ đường cao AH .

[tex]cot {\alpha}=\frac{HM}{AH} \\ cotB=\frac{BH}{AH} \\ cotC=\frac{CH}{AH} [/tex]

Do [tex]2HM=CH-BH (DPCM)[/tex]

 

[quyenuy0241]

bài tiếp đây :
Cho tam giác ABC, với

lần lưột là bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp của các góc A; B; C. chứng minh, tam giác ABC vuông khi :

Có:

[tex]S=pr=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c [/tex]

[tex]Do: r_a=r+r_b+r_c \Leftrightarrow \frac{1}{p-a}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}[/tex]

[tex]\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-b-c}{(p-b)(p-c)}= \frac{a}{(p-b)(p-c)} [/tex]

[tex]p(p-a)=(p-b)(p-c)\Leftrightarrow p(b+c-a)=2bc[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (b+c)^2-a^2=2bc \Leftrightarrow b^2+c^2=a^2 [/tex]

\Rightarrow [tex]\Delta ABC[/tex] Vuông tại A

 

[quyenuy0241]

Cho phương trình :
[tex]x^4-px^3+qx^2-rx+s=0 [/tex]

Có 4 nghiệm [tex]tgA,tgB,tgC,x_4 [/tex] Với [tex]A,B,C[/tex] là góc của 1 tam giác.tính [tex]x_4[/tex] theo [tex]p,q,r,s [/tex]

Tình các góc của tam gíác ABC.biết

[tex]\left{acosB+bsinB=asinA+bcosA \\ sin2A+sin2B+cos2A+cos2B =\sqrt{2} [/tex]

 

[duynhan1]

Tình các góc của tam gíác ABC.biết

[tex]\left{acosB+bsinB=asinA+bcosA (1) \\ sin2A+sin2B+sin2C+cos2B =\sqrt{2} (2) [/tex]

[TEX](1) \Rightarrow a( cos B - sin A ) + b ( sin B - cos A) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin A . cos B - sin^2A + sin^2B - sinB cos A = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin(A-B) + \frac12 ( cos 2A - cos 2B ) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin (A-B) - sin(A+B).sin(A-B) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ sinC = 1 \\ sin(A-B)= 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ C= 90^o \\ A=B [/TEX]

[TEX]TH1: C= 90^o \Rightarrow 2A+2B = 180^o \Rightarrow sin2A = sin2B ; cos 2A = - cos 2B [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow 2 sin 2A = \sqrt{2} => A = \frac{\pi}{8} => B = \frac{3 \pi}{8} [/TEX]

[TEX]TH2: A= B \Rightarrow 2A+C= 180^o => sin 2A = sin 2B = sin C & cos 2A = cos 2B = - cosC [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2 (sin C - cos C ) = \sqrt{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin (C- \frac{\pi}{4} ) = \frac12 [/TEX]

 

[duynhan1]

Cho phương trình :
[tex]x^4-px^3+qx^2-rx+s=0 [/tex]

Có 4 nghiệm [tex]tgA,tgB,tgC,x_4 [/tex] Với [tex]A,B,C[/tex] là góc của 1 tam giác.tính [tex]x_4[/tex] theo [tex]p,q,r,s [/tex]

Theo đề ta có :

[TEX](x- tg A )(x - tg B) ( x- tg C) ( x- x_4) =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^4 - (tg A + tg B + tg C + x_4) x^3 + (tg B . tg C + tg C. tg A + tg A. tg B + x_4 (tg A + tg B + tg C) ) x^2 \\- (tgA.tg B . tg C + x_4(tg A. tg B + tgB. tg C + tg C. tg A) ) x + tg A. tg B . tg C x_4 = 0 [/TEX]

[TEX]m = tgA. tg B. tg C [/TEX]

[TEX] x^4 - (m+x_4)x^3 + m (\sum \frac{1}{tan A} + x_4 ) x^2 - m(1 + x_4 \sum \frac{1}{tan A} ) + m x_4 = 0 [/TEX]

[TEX]n =\sum \frac{1}{tan A} [/TEX]
Đồng nhất hệ số ta có :

[TEX]\left{ p = m + x_4 \\ q = mn + mx_4 \\ r = m + mx_4n \\ s = m x_4 [/TEX]

sao gộp lại nhỉ :|

 

[lamtrang0708]

CM nếu [TEX]tanx.tany=1[/TEX] thì
[TEX]\left{ sin2x= sin2y \\cos2x=-cos2 y[/TEX]

P/s: Đây ko phải hệ bạn ạ

Cho a,b là góc nhọn mà [TEX]\left{ 3sin^2 a +2sin2b = 1 \\ 3sin2a - 2sin2b =0[/TEX] thì [TEX]a+2b=\frac{\pi}{2}[/TEX] (2 góc phụ nhau)

P/s: Cái bài 2 là lạ

 

[duynhan1]

CM nếu [TEX]tanx.tany=1[/TEX] thì
[TEX]\left{ sin2x= sin2y \\cos2x=-cos2 y[/TEX]

[TEX]tan x . tan y = 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos x. cosy - sin x . sin y = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos(x+y) = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{2} + k \pi - y [/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin 2x = sin ( \pi + k 2\pi -2y) = sin (\pi - 2y) = sin 2y[/TEX]
và
[TEX]\Rightarrow cos 2x = cos (\pi + k2\pi - 2y ) = - cos 2y[/TEX]

 

[jerusalem]

với giá trị nào của a thì pt
[tex]sin^24x+(a^2-3)sin4x+a^2-4=0[/tex]
có đúng 4 nghiệm thuộc [ 3pi/2;2pi]

 

[connguoivietnam]

[TEX]sin^24x+(a^2-3)sin4x+a^2-4=0[/TEX]

[TEX](sin4x+1)(sin4x+a^2-4)=0[/TEX]

[TEX]sin4x=-1[/TEX]

[TEX]sin4x+a^2-4=0[/TEX]

với [TEX]sin4x=-1[/TEX]

[TEX]x=\frac{-pi}{8}+\frac{kpi}{2}[/TEX](K thuộc Z)

[TEX]x=\frac{pi}{4}+\frac{kpi}{2}[/TEX]

[TEX]x[/TEX] thuộc khoảng [TEX][\frac{3}{2}pi ; 2pi][/TEX]

[TEX]\frac{3}{2}pi \leq \frac{-pi}{8}+\frac{kpi}{2} \leq 2pi[/TEX]

[TEX]3,25 \leq k \leq 4,25[/TEX]

vậy [TEX]k=4(T/M)[/TEX]

[TEX]\frac{3}{2}pi \leq \frac{pi}{4}+\frac{kpi}{2} \leq 2pi[/TEX]

[TEX]k=3(T/M)[/TEX]

để pt có 4 nghiệm thuộc khoảng [TEX][\frac{3}{2}pi ; 2pi][/TEX]

[TEX]sin4x=4-a^2[/TEX]

[TEX] -1 < 4-a^2 \leq 1[/TEX]

 

[duynhan1]

với giá trị nào của a thì pt
[tex]sin^24x+(a^2-3)sin4x+a^2-4=0[/tex](*)
có đúng 4 nghiệm thuộc [ 3pi/2;2pi]

[TEX]x \in [\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi} \Leftrightarrow 4x \in [6 \pi ; 8 \pi ] [/TEX]

(*) [TEX]\Leftrightarrow \left[ sin 4x = -1 (1) \\ sin 4x = 4- a^2 (2) [/TEX]

Giải (1) :

[TEX]4x = -\frac{\pi}{2} + k 2 \pi [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = \frac{-\pi}{8} + \frac{k}{2} \pi [/TEX]

====> Pt(1) có 1 nghiệm thuộc [TEX][\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi}[/TEX].

TH1: [TEX](2) [/TEX] có đúng 3 nghiệm thuộc [TEX][\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi}[/TEX] khác [TEX]\frac{\pi}{8} [/TEX]

Vẽ đồ thị hàm số y= sin 4x và đường thẳng y = 4-a^2. Xét sự tương giao giữa 2 đồ thị này

TH2: [TEX](2) [/TEX] có đúng 4 nghiệm thuộc [TEX][\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi][/TEX] trong đó có 1 nghiệm bắt buộc là [TEX]\frac{\pi}{8} [/TEX].
TH này thế [TEX]x = \frac{\pi}{8} [/TEX] vào sau đó tìm a rồi thử lại.

 

[duynhan1]

Nhận dạng tam giác

1.
[TEX]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)=0[/TEX]


2.
[TEX]sin (\frac{A}{2} )= \frac{a}{2} \sqrt{bc}[/TEX]
3.
[TEX]\frac{h_a}{h_b}+\frac{h_b}{h_c}+\frac{h_c}{h_a}= \frac{h_b}{h_a}+\frac{h_c}{h_b}+\frac{h_a}{h_c}[/TEX]

4.
[TEX]sin 2A+sin 2B+sin 2C=(1-cos 2C) cot (\frac{C}{2})[/TEX]

5.
[TEX]ha=\sqrt{p(p-a)} [/TEX]

6.
[TEX]a^2b^2=4p(p-c)R^2[/TEX]

7.
[TEX] sin A+ sinB+sin C=1 + cos A+cos B+cos C[/TEX]

8.
[TEX]tan( \frac{ A}{2})+cot (\frac{A}{2})+ 2cot (\frac{C}{2})= \frac{2(b+c)}{a}[/TEX]

 

[huutrang93]

7: Giả sử có điều này luôn:

[TEX]sinA+sinB+sinC=1+cosA+cosB+cosC[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2sin(\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+2sin(\frac{C}{2}).cos(\frac{C}{2})=2cos (\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+2cos^2 \frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos(\frac{C}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+sin(\frac{C}{2}).cos(\frac{C}{2})=sin(\frac{C}{2}).cos(\frac{A-B}{2})+cos^2\frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos(\frac{C}{2})[cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{C}{2})]-sin(\frac{C}{2})[cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{C}{2})]=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow [cos(\frac{A-B}{2})- cos(\frac{C}{2})][cos(\frac{C}{2})-sin(\frac{C}{2})]=0[/TEX]

Giải tiếp ra tam giác vuông tại A hoặc B hoặc C

 

[huutrang93]

5/ Cách 1:Ta có

[TEX]h_a=\sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2S}{a}=\sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a} = \sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4(p-b)(p-c)=a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+c-b)(a+b-c)=a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^2-(b-c)^2=a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b=c[/TEX]

=> tam giác cân tại A


Cách 2: Dùng bất đẳng thức

ta có: [TEX]h_a=\sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2S}{a}=\sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a} = \sqrt{p(p-a)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{(p-b)(p-c)}=a[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

[TEX]2\sqrt{(p-b)(p-c)} \leq a[/TEX]

Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow p-b=p-c[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow b=c[/TEX]

.....tam giác cân tại A

 

[duynhan1]

1.
[TEX]a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^3(b^2-c^2)-b^3(a^2- b^2) - b^3 (b^2 -c^2)+c^3(a^2-b^2)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a^3-b^3)(b^2 - c^2) - (a^2 - b^2 )( b^3 - c^3 ) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a^2 + b^2 + ab)(b+c) - (a-b)(b-c)( b^2 + c^2 + bc )(a+b) = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a^2b + a^2 c + - c^2 a -c^2 b ) =0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc + ac ) = 0[/TEX]

===> tam giác cân.

4.
[TEX]sin 2A+sin 2B+sin 2C=(1-cos 2C) cot (\frac{C}{2}) (4)[/TEX]

Dễ dàng chứng minh :
[TEX]sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A. sin B . sin C [/TEX]

[TEX](4) \Leftrightarrow 4 sin A. sin B . sin C = 2 sin^2 C . cot (\frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ sin C = 0 (loai)\\ sinA . sin B =cos^2 (\frac{C}{2}(4') [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2sinA. sin B = 1 + cos C [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos(A-B) + cos C = 1+ cos C [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos (A-B) = 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A=B [/TEX]


===============> Tam giác cân tại C

6.
[TEX]a^2b^2=4p(p-c)R^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{abc . ab}{4R } = p(p-c) . R.c [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (p-a)(p-b)a.b = R.\sqrt{p(p-c) }.\sqrt{p(p-a) } .c[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (p-a)(p-b)a.b = \frac{abc^2}{4} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4(p-a)(p-b) = c^2[/TEX]

[TEX]Cauchy : \Rightarrow 4(p-a)(p-b) \leq (2p-a-b)^2 =c^2[/TEX]

Dấu "=" [TEX]\Leftrightarrow a=b[/TEX]

====================> Tam giác cân tại C

 

[camnhungle19]

Bài lượng giác nữa nè

Bài 1 : Giải pt sau: [TEX]3 - 4sin^22x = 2cos2x (1+2sinx)[/TEX]

Bài 2:
Tìm các góc của tam giác ABC thỏa:

[TEX]\left{\begin{cos2A + cos2B - cos2C= 2- cosC}\\{cos2(A-B) + cosC=\frac{1}{2}} [/TEX]

 

[duynhan1]

Bài lượng giác nữa nè
Bài 2:
Tìm các góc của tam giác ABC thỏa:
[TEX]\left{\begin{cos2A + cos2B - cos2C= 2- cosC}\\{cos2(A-B) + cosC=\frac{1}{2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ -2 cos C . cos(A-B) = 2 cos^2 C - cos C +1 \\ 2 cos^2(A-B) - 1 + cos C = \frac12[/TEX]

[TEX]\left{ x = cosC \\ y = cos (A-B)[/TEX]

[TEX]\left{ 2x^2 - x + 2xy + 1 = 0 \\ 2y^2 + x = \frac32[/TEX](*)

[TEX]\left{ 2(x^2 + xy) = 1+ x \\ x^2 + y^2 + xy = \frac14[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1+ x = \frac12 +2 y^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = 2y^2 - \frac12[/TEX]

Thế vào (*) [TEX]\Rightarrow 4y^2 =2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2} } [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x= 2* \frac12 - \frac12 = \frac12[/TEX]
[TEX]TH1: \left{ cos C = \frac12 \\ cos(A-B) = \frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ C = 30^o \\ A = 97,5 \\B = 52,5[/TEX]
[TEX]TH1: \left{ cos C = \frac12 \\ cos(A-B) = -\frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ C = 30^o \\ A = 52,5 \\B = 97,5[/TEX]