Chú ý các e 10A1 vào đây làm nhé

[thaosida]

Câu 18:
ĐK: $x \leq1-\sqrt{2}\bigcup x \geq 1+\sqrt{2}$
$2\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$
Đặt x=a+1
PT $\Rightarrow \sqrt{(a+1)^2-2(a+1)-1}+ \sqrt[3]{(a+1)^3-14}=a - 1$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2-2}+ \sqrt[3]{a^3+3^2-13}-(a-1)=0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2-2}+ \frac{6(a^2-2a)}{A}=0$
$\Rightarrow \sqrt{a^2-2}= 0$
$\Rightarrow(x-1)^2-2=0$
$\Leftrightarrow x=1-\sqrt{2}\bigcup x=1+\sqrt{2}$

 

[truongduong9083]

Chào các em


Bài 18. Có thể làm như sau nhé
Đk: $$x^2-2x - 1 \geq 0$$
Cách 1: Đánh giá
Phương trình viết lại thành:
$$\sqrt{x^2-2x-1} = x-2-\sqrt[3]{x^3-14}$$
Nhận xét:
1. $VT \geq 0$
2. $VP = x-2-\sqrt[3]{x^3-14} \leq 0$
Thật vậy ta có:
$$x-2-\sqrt[3]{x^3-14} \leq 0$$
$$\Leftrightarrow (x - 2)^3\leq x^3-14$$
$$\Leftrightarrow 6(x^2-2x-1)\geq 0$$ (Luôn đúng)
Vậy dấu "= " xảy ra khi
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2-2x-1 = 0 \\ x-2-\sqrt[3]{x^3-14} = 0 \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow x^2-2x-1 = 0$$
Cách 2: Liên hợp
Các e liên hợp lượng: $\sqrt[3]{x^3-14} - (x-2)$ nhé

 

[truongduong9083]

Chào các em

Bình luận bài 17.: Cách làm của bạn thảo có vẻ không tự nhiên lắm. Ta thử tham khảo cách này nhé
Giải phương trình:
$$2x^2-6x-1 = \sqrt{4x+5}$$
Hướng làm: Đưa về hệ đối xứng loại 2
Đặt $\sqrt{4x+5} = 2y - 3 \Rightarrow 4x+5 = (2y-3)^2$
Ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2-6x-1 = 2y - 3 \\ 4y^2-12y+9= 4y+5 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x^2 - 6x = 2y-2 \\ 2y^2-6y =2y-2 \end{array} \right.$$
Đến đây thì làm được rồi
Giải thích cách đặt $2y -3 = \sqrt{4x+5}$ nhé
Đặt $\sqrt{4x+5} = ay+b$
Ta đưa về hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2-6x-1 = ay+b \\ a^2y^2+2aby+b^2 = 4x+5 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x^2-6x -1-b = ay \\ a^2y^2+2aby+b^2 - 5 = 4x \end{array} \right.$$
Để hệ là hệ đối xứng loại 2 thì cần có điều kiện
$$\dfrac{a^2}{2} = \dfrac{ab}{-3} = \frac{b^2-5}{-1-b} = \dfrac{4}{a}$$
$$\Rightarrow a = 2; b = -3$$.
Đến đây bài toán giải quyết được rồi nhé

 

[try_mybest]

17/ ý tưởng : đưa về hằng đẳng thức
$$2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$$
dk x\geq$\dfrac{-5}{4}$ , $2x^2-6x-1$ \geq0 \Leftrightarrowx\leq $\frac{3-\sqrt{11}}{2}$,x\geq$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$ \Rightarrow x\geq $\frac{3+\sqrt{11}}{2}$
(1)\Rightarrow $$4x^4+36x^2+1-24x^3+12x-4x^2=4x+5$$
\Leftrightarrow$$4x^4-24x^3+32x^2+8x-4=0$$\Leftrightarrow$$x^4-6x^3+8x^2+2x-1=0$$
\Leftrightarrow$$x^4-6x^3+9x^2-(x^2-2x+1)=0$$\Leftrightarrow$$(x^2-3x)^2-(x-1)^2=0$$\Leftrightarrow$$(x^2-3x-x+1)(x^2-3x+x-1)=0$$
\Leftrightarrow$$(x^2-4x+1)(x^2-2x-1)=0$$
\Leftrightarrowx=$2-\sqrt{3}$(loại) ,
x=$2+\sqrt{3}$(tm)
x=$1+\sqrt{2}$(tm)
,x=$1-\sqrt{2}$(loại)

 

[truongduong9083]

Chào các em

Bình luận câu 6 nhé
Giải phương trình:
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} = x^2-6x+11$$
Hướng 1: Sử dụng liên hợp
Các e thấy ngay x = 3 là một nghiệm của phương trình. Nên bài toán ta cố gắng đưa về cấu trúc dạng:
$$f(x) = 0\Leftrightarrow (x - 3)g(x) = 0$$
Chú ý: Ta sử dụng công thức $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{a - b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
Phương trình biến đổi thành:
$$x^2-6x+9 +(1 - \sqrt{x-2})+(1-\sqrt{4-x}) = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-3)^2-\dfrac{x-3}{1 + \sqrt{x-2}}+\dfrac{x-3}{1+\sqrt{4-x}} = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-3)(x - 3 - \dfrac{1}{1 + \sqrt{x-2}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}}) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x - 3 - \dfrac{1}{1 + \sqrt{x-2}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}} = 0 (2) \end{array} \right.$$
Nhận xét phương trình (2) vẫn có nghiệm x = 3. Nên ta lại sử dụng ý tưởng liên hợp 1 lần nữa nhé
$$x - 3 - \dfrac{1}{1 + \sqrt{x-2}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}} = 0$$
$$\Leftrightarrow x - 3+ \dfrac{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4-x}}{(1 + \sqrt{x-2})(1+\sqrt{4-x})} = 0$$
$$\Leftrightarrow x - 3+\dfrac{2(x - 3)}{(1 + \sqrt{x-2})(1+\sqrt{4-x})(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4-x})} = 0$$
$$\Leftrightarrow (x - 3)(1+\dfrac{2}{(1 + \sqrt{x-2})(1+\sqrt{4-x})(\sqrt{x - 2} +\sqrt{4-x})}) = 0$$
$$\Rightarrow x = 3$$
(Phương trình còn lại vô nghiệm nhé)
KL: phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Hướng 2: Đánh giá
Ta sử dụng ý tưởng VT = VP
Thì Chứng minh:
$$\left\{ \begin{array}{l}VT \geq A \\ VP \leq A \end{array} \right.$$
Thật vậy ta có
VT $= \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \leq \sqrt{(1^2+1^2)(x-2+4-x)} = 2$ (Sử dụng BĐT Bunhiaxcopki)
VP = $x^2-6x+11 = (x-3)^2+2 \geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi
$$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\sqrt{x-2}}{1} = \dfrac{\sqrt{4-x}}{1} \\ x- 3 = 0 \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow x = 3$$
Hướng 3: Đặt ẩn phụ
Đặt $t = \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \Rightarrow t^2 = 2+2\sqrt{-x^2+6x-8}$
$\Rightarrow -x^2+6x - 8 = (\dfrac{t^2-2}{2})^2$
Phương trình biến đổi thành:
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}+(-x^2+6x - 8) - 3 = 0$$
$$\Rightarrow t + (\frac{t^2-2}{2})^2 - 3 = 0$$
Đến đây các em giải được rồi nhé (Vì có nghiệm t = 2)
Ngoài ra có thể sử dụng cách đưa về hệ đối xứng loại 1 của bạn châu
Chú ý: Trình bày cẩn thận, gọn gàng nhé.

 

[try_mybest]

câu 13/ hướng làm : nhân với biểu thức liên hợp
$$\frac{x^3-2x}{x^2-1-\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{3}$$
đk : $x^2-1$\geq 0\Leftrightarrow x\geq1 U x\leq -1

$x^2-1-\sqrt{x^2-1}$ #0 \Leftrightarrow x # + -1 , x #+ - $\sqrt{2}$
(1) \Leftrightarrow $$\frac{x(x^2-2)}{\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-1)}=\sqrt{3}$$
\Leftrightarrow $$\frac{x(x^2-2).(\sqrt{x^2-1}+1)}{\sqrt{x^2-1}(x^2-2)}=\sqrt{3}$$
\Leftrightarrow $$\frac{x(\sqrt{x^2-1}+1)}{\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{3}$$
\Leftrightarrow $$x^2(x^2+2\sqrt{x^2-1})=3(x^2-1)$$
\Leftrightarrow $$x^4+2x^2\sqrt{x^2-1}-3(x^2-1)=0$$
\Leftrightarrow $$(x^2-\sqrt{x^2-1})(x^2+3\sqrt{x^2-1})=0$$
\Rightarrow $x^2-\sqrt{x^2-1}$=0 (2) U $x^2+3\sqrt{x^2-1}=0$(3)

(2) \Leftrightarrow $x^2=x^2-1$ \Leftrightarrow -1=0 (vô lí)

(3) \Leftrightarrow $x^2=-3\sqrt{x^2-1}$ (loại vì với đk x\geq 1 U x\leq -1 thì VT >VF)
vậy pt vô nghiệm

 

[try_mybest]

CAU 6 : ý tưởng : dùng bất đẳng thức cô si
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$$
đặt A=$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$

\Rightarrow $A^2=x-2+4-x+2.\sqrt{(x-2)(4-x)}$\leq $2+2.\dfrac{x-2+4-x}{2}$\leq4

\Rightarrow$A^2$\leq4 \Rightarrow0<A\leq2 . dau bằng xảy ra \Leftrightarrow $\sqrt{x-2}$=$\sqrt{4-x}$ \Leftrightarrowx=3

mặt khác VF=$(x-3)^2$ +2 \geq2 dấu bằng xảy ra \Leftrightarrowx=3
vậy x=3 là nghiệm của pt

 

[truongduong9083]

Chào các em

Ta tiếp tục nhé
Bình luận câu 16
Giải phương trình:
$$2x^2-11x+21 = 3\sqrt[3]{4x-4}$$
Hướng 1: Sử dụng liên hợp
Ta nhẩm được phương trình có 1 nghiệm là x = 3
Nên phương trình biến đổi thành:
$$2x^2-11x+15 - 3(\sqrt[3]{4x-4} - 2) = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-3)(2x - 5) - \dfrac{12(x-3)}{\sqrt[3]{(4x-4)^2}+2\sqrt[3]{4x-4}+4} = 0$$
$$\Leftrightarrow (x - 3)(2x-5 - \dfrac{12}{+2\sqrt[3]{4x-4}+4} ) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ 2x-5 - \dfrac{12}{\sqrt[3]{(4x-4)^2}+2\sqrt[3]{4x-4}+4} = 0 (2) \end{array} \right.$$
Giải phương trình (2)
$$2x-5 = \dfrac{12}{\sqrt[3]{(4x-4)^2}+2\sqrt[3]{4x-4}+4}$$
Nhận xét:
- Với $x > 3$ thì VT > 1; VP < 1. Nên phương trình vô nghiệm
- Với $x < 3$ thì VT < 1; VP > 1. Nên phương trình vô nghiệm
KL: phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Hướng 2: Sử dụng BĐT
Nhận xét: Do VT = $2x^2-11x+21 > 0 \Rightarrow 4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 1$
Ta có:
$$3\sqrt[3]{4x-4}.2.2 \leq {4x-4+8+8} (?)$$
$$\Rightarrow 3\sqrt[3]{4x-4} \leq x + 3$$
$$\Rightarrow 2x^2-11x+21 \leq x+3$$
$$\Leftrightarrow 2(x-3)^2 \leq 0$$
Dấu ''= '' xảy ra khi $x- 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$

 

[truongduong9083]

Chào các em

Tiếp nhé
Gợi ý câu 19.
Giải phương trình:
$$(6x-5)\sqrt{x+1}-(6x+2)\sqrt{x-1}+4\sqrt{x^2-1} = 4x - 3$$
Tư tưởng: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Đặt $a = \sqrt{x+1}; b = \sqrt{x-1} \Rightarrow a^2-b^2 = 2$ ($a, b \geq 0$)
phương trình viết lại thành:
$$\dfrac{a(a^2+11b^2)}{2}-(4a^2+2b^2)b+4ab = \dfrac{a^2+7b^2}{2} (?)$$
$$\Leftrightarrow (a-b)(a^2-7ab+4b^2-a+7b) = 0 (?)$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a-b = 0 (L)\\ a^2-7ab+4b^2-a+7b = 0 \end{array} \right.$$
Đến đây ta xét hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} a^2 - b^2 = 2 \\ a^2-7ab+4b^2-a+7b = 0 \end{array} \right.$$
Các e cộng hai vế hai phương trình sẽ ra nhé (Đưa được về phương trình tích)

 

[truongduong9083]

Chào các em

BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 4​

$$1. \sqrt{x}+\sqrt{x-5} = x^2-5x+7$$
$$2. x^2-4x-3 = \sqrt{x+5}$$
$$3. \sqrt{3x+1} = -4x^2+13x - 5$$
$$4. 4\sqrt{x+1} -1 = 3x+2\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x^2}$$
$$5. 2\sqrt{x^2+3} - \sqrt{8+2x-x^2} = x$$
$$6. x- 5(5x^2-1)^2 = -1$$
$$7. \sqrt[3]{x-2} = 8x^3-60x^2+151x-128$$
$$8. \sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}-\sqrt[3]{4x-3} = 0$$
$$9. \sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} = 3$$
$$10. \sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14} = 4 - 2x - x^2$$
$$11. 4x^2+7x+1=2\sqrt{x+2}$$
$$12. 2(2\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2})-\sqrt{1-x^4} = 3x^2+1$$
$$13. x^2\sqrt[4]{2-x^4}-1 = x^4-x^3$$
$$14. (x^2+x+1)^3+3 = 10\sqrt[3]{10(x^2+x+1)-3}$$
$$15. \sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt[3]{2x^2-4x+10} = -x^2+2x+1$$

........Hết.......​

 

[codon9083]

Câu 2 :
Hướng làm : sd liên hợp

$$x^2-4x-3=\sqrt[]{x+5} (2)$$

ĐK : x\geq-5
PT(2)
\Leftrightarrow$$x^2-4x-3-2=\sqrt[]{x+5}-2$$
\Leftrightarrow$$x^2-4x-5=\dfrac{x+1}{\sqrt[]{x+5}+2}$$
\Leftrightarrow$$(x-5)(x+1)=\dfrac{x+1}{\sqrt[]{x+5}+2}$$
\Leftrightarrow$$(x+1)(x-5-\dfrac{x+1}{\sqrt[]{x+5}+2})=0$$
\Leftrightarrow$$x=-1 (TM)$$hoặc $$x-5=\dfrac{x+1}{\sqrt[]{x+5}+2}(L)$$
Vậy pt (2) có 1 no duy nhất x=-1

 

[codon9083]

Híc ... em làm thiếu no phải k LT , e làm cách khác nha .

$$x^2-4x-3=\sqrt[]{x+5} (2)$$
ĐK : x\geq-5
Vì x\geq-5 nên 2 vế của PT đều không âm , ta bình phương 2 vế

PT (2)
\Leftrightarrow$$x^4+16x^2+9-8x^3-6x^2+24x=x+5$$
\Leftrightarrow$$x^4-8x^3+10x^2+23x+4=0$$
\Leftrightarrow$$(x+1)(x^3-9x^2+19x+4)=0$$
\Leftrightarrow$$(x+1)(x-4)(x^2-5x-1)=0$$
\Leftrightarrow$$x=-1$$ hoặc $$x=\frac{5+\sqrt[]{29}}{2}$$(TM)
$$x=4$$ hoặc $$x=\frac{5-\sqrt[]{29}}{2}$$(L)
Vậy PT (2) có 2 no là $$x=-1$$ , $$x=\frac{5+\sqrt[]{29}}{2}$$

 

[try_mybest]

9/ $$\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}=3$$
đk $1-x^2$ \geq 0 \Rightarrow -1\leq x \leq1

đặt $\sqrt[4]{1-x} = a$ (a \geq 0) , $\sqrt[4]{1+x}$ =b (b\geq 0) \Rightarrow $a^4+b^4=2$(2)
(1) \Leftrightarrow $ab+a+b=3$(3)
ta có hệ
$$\left\{ \begin{array}{l} a^4+b^4=2 \\ ab+a+b=3 \end{array} \right.$$
\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l} (a+b)^4 -2ab(a+b)^2 +2a^2b^2=2 \\ a+b+ab =3 \end{array} \right.$$
đặt a+b=S (S\geq 0), ab=P (P\geq 0)
\Rightarrow $$\left\{ \begin{array}{l} S^4-2PS^2+2P^2=2 \\ S+P=3 \end{array} \right.$$
giải hệ đk S=2 ,P=1 \Rightarrow a=b=1 \Rightarrow x=0
vay x=0

 

[codon9083]

e k biết có đúng k nữa ???????

Câu 5 :
Chuyển vế, bình phương rồi sd liên hợp

$$2\sqrt[]{x^2+3}-\sqrt[]{8+2x-x^2}=x (5)$$

Đk : -2\leqx\leq4

PT (5)
\Leftrightarrow$$2\sqrt[]{x^2+3}=x+\sqrt[]{8+2x-x^2}$$
\Leftrightarrow$$4(x^2+3)=x^2+8+2x-x^2+2\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}$$
\Leftrightarrow$$4x^2+12-2x-8=2\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}$$
\Leftrightarrow$$2x^2-x+2=\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}$$
\Leftrightarrow$$2x^2-x+2-3=\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}-3$$
\Leftrightarrow$$(x-1)(2x+1)=\dfrac{-x^2+2x-1}{\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}+3}$$
\Leftrightarrow$$(x-1)(2x+1+\dfrac{x-1}{\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}+3})=0$$
\Leftrightarrow$$x=1$$(TM) hoặc $$\dfrac{x-1}{\sqrt[]{x(8+2x-x^2)}+3}=0$$(L)
Vậy PT (5) có 1 no là $$x=1$$

 

[huyentrang1996]

Câu 10:
Hương làm :sử dụng liên hợp

$\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{x^2+10x+14}=4-2x-x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+6x+7}-2+\sqrt{5x^2+10x+14}-3=-x^2-2x-1$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+6x+7-4}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{5x^2+10x+14-9}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}=x+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{x+1}{\sqrt {5x^2+10x+14}+3}=x+1$
$\Leftrightarrow (x+1)(\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+\dfrac{1}{ \sqrt {5x^2+10x+14}+3}-1)(2)=0$
$\Rightarrow x=-1$
pt(2)$\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+6x+7}+2}+ \dfrac{ 1}{\sqrt{5x^2+10x+14}+3}=1$(vô lý)

 

[codon9083]

có cách khác của câu 2 nè bà con ơi

Câu 2

Hướng làm : Đưa về hệ đối xứng loại 2
$$x^2-4x-3=\sqrt[]{x+5} (2)$$
Đk : $x\geq -5$
Đặt $$\sqrt{x+5}=y-2$$
$$\Leftrightarrow x+5=(y-2)^2$$
$$\Leftrightarrow y^2-4y+4=x+5(1)$$
PT (2) $$\Leftrightarrow x^2-4x-3=y-2 (3)$$
Từ (1) và (3) , ta có hệ pt ... (tự viết ra nhé !)
$$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-3)=0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 3 -y \end{array} \right.$$
1. x=y , ta có
$$x^2-4x=x+1$$
$$\Leftrightarrow x^2-5x-1=0$$
$$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$$
hoặc $$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$
2. x=3-y , ta có
$$y^2-3y-4=0$$
$$\Leftrightarrow y=-1$$
$$\Rightarrow x=4$$
hoặc $$y=4 \Rightarrow x=-1$$
PT (2) có 2 no là $x=-1$ và $x=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$

 

[jet_nguyen]

$$3. \sqrt{3x+1} = -4x^2+13x - 5$$

Thấy bài này có nhiều cách giải nên gợi ý cho mấy bạn tham khảo nhé.
$\bullet$ Cách 1: Cách này hơi dài.
Điều kiện: $\dfrac{13-\sqrt{89}}{8}\le x\le \dfrac{13+\sqrt{89}}{8}$
Phương trình tương đương:$$\sqrt{3x+1}=-\left(2x-3 \right)^2-\left(2x-3 \right)+\left(3x+1 \right)$$
Đặt:$a=2x-3,b=\sqrt{3x+1}$ thì ta được:
$b=-a^2-a+b^2 \Longleftrightarrow a^2-b^2+a+b=0\Longleftrightarrow \left(a+b \right)\left(a-b+1 \right)=0$
( * ) Với $-a=b$ thì: $$3-2x=\sqrt{3x+1}$$$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} x \le \dfrac{3}{2} \\ 4x^2-15x+8=0 \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8}$$
( * ) Với$a+1=b$ thì: $$2x-2=\sqrt{3x+1}$$$$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1}
x\ge 1 \\ 4x^2-11x+3=0 \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$$
Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8},x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$
$\bullet$ Cách 2: Nhẹ hơn hơn rất nhiều .
Biến đổi phương trình thành:
$$\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2=\left(\sqrt{3x+1}-\dfrac{1}{2}\right)^2$$
$\bullet$ Cách 3: Đặt ẩn phụ không toàn phần, cách này thì còn xem có may mắn không , nếu $\Delta$ xấu thì .
Phương trình tương đương:
$$(3x+1)-\sqrt{3x+1}-4{{x}^{2}}+10x-6=0$$ Đặt: $t=3x+1$ thì ta được:
$${{t}^{2}}-t-4{{x}^{2}}+10x-6=0$$ May mắn ta có: $\Delta ={{(4x+5)}^{2}}$

 

[jet_nguyen]

$$4. 4\sqrt{x+1} -1 = 3x+2\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x^2}$$

Gợi ý:
ĐK:....
Đặt: $\sqrt{1 + x}=a,\sqrt{1 - x}= b.$ Thì BPT trở thành:
$$4a - 1 = 3(a^2 - 1) + 2b + ab$$$$\Longleftrightarrow 3a^2 - 2 + 2b + ab - 4a=0$$$$\Longleftrightarrow3a^2 - a^2 - b^2 + 2b + ab - 4a= 0$$$$\Longleftrightarrow 2a^2 - b^2 + ab - 4a + 2b = 0$$$$\Longleftrightarrow(a + b - 2)(2a - b) = 0$$ Tới đây thì nhẹ nhàng hơn rồi nhé.

 

[jet_nguyen]

7.$$\sqrt[3]{x-2} = 8x^3-60x^2+151x-128$$

Bài này mình cũng tìm được 2 cách giải, mấy bạn tham khảo nhé.
$\bullet$ Cách 1: Nhẩm được nghiệm $x=3$ nghĩ ngay đến liên hợp.
Ta biến đổi phương trình như sau:
$$\sqrt[3]{x-2} - 1 = 8x^3 - 60x^2 + 151x - 129$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{x-2-1}{(\sqrt[3]{x-2})^{2} + \sqrt[3]{x-2} + 1} = (x-3)(8x^2 - 36x +43)$$$$\Longleftrightarrow (x-3)( \dfrac{1}{(\sqrt[3]{x-2})^{2} + \sqrt[3]{x-2} + 1} - 8x^2 + 36x -43)=0.$$ Bước chứng minh $\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x-2})^{2} + \sqrt[3]{x-2} + 1} = 8x^2 - 36x +43.$( * ) vô nghiệm là rối nhất, phần trên thì chắc đơn giản rồi.
Biến đổi ( * ) như sau: $$8x^2 - 36x + 43 = 8(x^2 - \dfrac{9}{2}x + \dfrac{43}{8}) = 8(x^2 - 2.x.\dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{16} + \dfrac{5}{16}) = 8(x - \dfrac{9}{2})^{2} + \dfrac{5}{2} \ge \dfrac{5}{2}$$
Vậy $x = 3$ là nghiệm duy nhất của phuong trình.
$\bullet$ Cách 2: Cách này mình thấy hay hơn cách 1, từ phương trình ta biến đổi thành hệ phương trình.
Phương trình tương đương:
$$\sqrt[3]{x-2}=(2x-5)^3+x-3$$ Đặt: $\sqrt[3]{x-2}=2y-5$ ta được hệ sau:$$ \left\{\begin{array}{1} (2x-5)^3=-x+2y-2(1) \\ (2y-5 )^3=x-2 (2) \end{array}\right.$$ Lấy (1) trừ (2) thì công việc đơn giản rồi.

 

[jet_nguyen]

1.$$\sqrt{x}+\sqrt{x-5} = x^2-5x+7$$6.$$8x- 5(5x^2-1)^2 = -8$$

Anh xem lại giúp em 2 bài này nhé.
Bài 1 Vô nghiệm rồi anh ơi.
Bài 6 Nghiệm xấu quá anh ơi. Nghiệm là: $x=-\dfrac{3}{5}, x= \dfrac{1}{75}\left(15 +\sqrt[3]{13500-1500\sqrt{69}}+5+2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3(9+\sqrt{69})} \right)$