# Toán 9BẤT ĐẲNG THỨC

#### You Know

##### Trùm vi phạm
Thành viên
Đặt a+1=x,b+1=y,c+1=z suy ra $$1\leq z\leq y\leq x\leq 2$$
Khi đó A=$$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$$$=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$$
Lại có $$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$$
$$(1-\frac{z}{y})(1-\frac{y}{x})\geq 0\Rightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1$$
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2$$
$$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2$$
Đặt $$\frac{x}{z}=t$$ suy ra $$1\leq t\leq 2$$
$$\frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{y}=\frac{t^2+1}{t}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\\\Rightarrow A\leq 3+2.\frac{5}{2}+2=10$$
Dấu = khi a=b=0,c=1
x+y+z = a+b+c+3 mà kia mih tưởng a+b+c thui mà....

#### Minh Dora

##### Siêu sao Hóa học
Thành viên
Đặt a+1=x,b+1=y,c+1=z suy ra $$1\leq z\leq y\leq x\leq 2$$
Khi đó A=$$[COLOR=#ff0000](x+y+z)[/COLOR][COLOR=#000000](\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/COLOR]=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$$
Lại có $$(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$$
$$(1-\frac{z}{y})(1-\frac{y}{x})\geq 0\Rightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1$$
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2$$
$$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2$$
Đặt $$\frac{x}{z}=t$$ suy ra $$1\leq t\leq 2$$
$$\frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{y}=\frac{t^2+1}{t}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\\\Rightarrow A\leq 3+2.\frac{5}{2}+2=10$$
Dấu = khi a=b=0,c=1
Phần bôi đỏ
a+b+c=x+y+z-3 chứ

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
E có bài này chưa làm được:
Cho a, b, c>0.
CM: $$\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ca+b^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
BĐt tương đương
$$\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Giả sử c= max{a,b,c}
$$\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Ta có
$$\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0$$
Suy ra đpcm

Phần bôi đỏ
a+b+c=x+y+z-3 chứ
bạn xem lại đề nha

Last edited by a moderator:

#### linh's chi''ss

##### Học sinh chăm học
Thành viên
Mk có mấy bài mà ko giải được
Hơi khó

Thành viên

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
View attachment 108758 Mk có mấy bài mà ko giải được
Hơi khó
1, ta có
$$\sum \frac{a^2}{b-1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3}$$
Đặt a+b+c=x
Ta cần cm $$\frac{x^2}{x-3}\geq 12\\\Leftrightarrow x^2\geq 12x-36\\\Leftrightarrow (x-6)^2\geq 0$$ (đúng )
Suy ra đpcm
3,Cs lẽ bạn nhân bung ra rồi áp dụng đk có nghiệm
4, để mình nghĩ đã

#### Minh Dora

##### Siêu sao Hóa học
Thành viên
Bạn đặt a+1=x; b+1=y;c+1=z thì a+b+c+3=x+y+z chứ
Đề bài tìm max A=(a+b+c)(1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)) thì thay vào phải là A=(x+y+z-3)/(1/x+1/y+1/z) chứ nhỉ

#### You Know

##### Trùm vi phạm
Thành viên
Help me mih xin cách giải bài neh vs

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
Bạn đặt a+1=x; b+1=y;c+1=z thì a+b+c+3=x+y+z chứ
Đề bài tìm max A=(a+b+c)(1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)) thì thay vào phải là A=(x+y+z-3)/(1/x+1/y+1/z) chứ nhỉ
bạn xem lại được k?
Schwarz ..bạn xem lại mấy trang trước nha ..đã nói về bđt này

#### harder & smarter

##### Học sinh chăm học
Thành viên
BĐt tương đương
$$\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Giả sử c= max{a,b,c}
$$\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Ta có
$$\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0$$
Suy ra đpcm
4 dòng đầu chưa hiểu...

Thành viên

#### Minh Dora

##### Siêu sao Hóa học
Thành viên
bạn xem lại được k?

Schwarz ..bạn xem lại mấy trang trước nha ..đã nói về bđt này
Xem lại hộ
K liên quan đến cái t vừa nói ở trên nhé

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
Xem lại hộ
K liên quan đến cái t vừa nói ở trên nhé
ý là bạn xem lại đề
còn câu ở dưới là mình trả lời bạn kia mà quên chưa bấm trả lời ~
Cái này ko áp dụng dc bđt khác à bạn
mình k biết bạn à
4 dòng đầu chưa hiểu...
là mình lấy phân số 1 bên phải trừ đi phân số 1 bên trái rồi quy đồng lên
tiếp tục với 2 phân số kia
Cộng lại thì nó sẽ lớn hơn hoặc bằng 0

harder & smarter

#### tfs-akiranyoko

##### Học sinh chăm học
Thành viên
BĐt tương đương
$$\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Giả sử c= max{a,b,c}
$$\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0$$
Ta có
$$\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0$$
Suy ra đpcm
bạn cho mình hỏi sao nghĩ tới viếc đặt c= max{a,b,c} thế bạn , mà nó tuwccs là sao z

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
bạn cho mình hỏi sao nghĩ tới viếc đặt c= max{a,b,c} thế bạn , mà nó tuwccs là sao z
để mình chứng minh 2 cái sau lớn hơn 0 ..đặt vậy cho nó đơn giản hơn xíu

tfs-akiranyoko

#### Phượng's Nguyễn's

##### Học sinh
Thành viên
x+y+z = a+b+c+3 mà kia mih tưởng a+b+c thui mà....
có lẽ là đề phải điều chỉnh chỗ đó thành $$(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$$

#### tfs-akiranyoko

##### Học sinh chăm học
Thành viên
để mình chứng minh 2 cái sau lớn hơn 0 ..đặt vậy cho nó đơn giản hơn xíu
c= max{a,b,c} tức là sao hả bạn ý nghĩa của nó là gì vậy?? c>=a>=b hả bạn

#### Hoàng Vũ Nghị

##### Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
Last edited by a moderator:
tfs-akiranyoko