Toán 9 BẤT ĐẲNG THỨC

You Know

Trùm vi phạm
Thành viên
30 Tháng bảy 2018
617
236
101
Hà Nội
youknow
Đặt a+1=x,b+1=y,c+1=z suy ra [tex]1\leq z\leq y\leq x\leq 2[/tex]
Khi đó A=[tex](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex][tex][/tex][tex]=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}[/tex]
Lại có [tex](1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1[/tex]
[tex](1-\frac{z}{y})(1-\frac{y}{x})\geq 0\Rightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1[/tex]
[tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2[/tex]
[tex]\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2[/tex]
Đặt [tex]\frac{x}{z}=t[/tex] suy ra [tex]1\leq t\leq 2[/tex]
[tex]\frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{y}=\frac{t^2+1}{t}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\\\Rightarrow A\leq 3+2.\frac{5}{2}+2=10[/tex]
Dấu = khi a=b=0,c=1
x+y+z = a+b+c+3 mà kia mih tưởng a+b+c thui mà....
 

Minh Dora

Siêu sao Hóa học
Thành viên
5 Tháng chín 2017
1,751
1,638
251
Thanh Hóa
Ở đâu đó
Đặt a+1=x,b+1=y,c+1=z suy ra [tex]1\leq z\leq y\leq x\leq 2[/tex]
Khi đó A=[tex][COLOR=#ff0000](x+y+z)[/COLOR][COLOR=#000000](\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/COLOR]=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}[/tex]
Lại có [tex](1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1[/tex]
[tex](1-\frac{z}{y})(1-\frac{y}{x})\geq 0\Rightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1[/tex]
[tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2[/tex]
[tex]\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2[/tex]
Đặt [tex]\frac{x}{z}=t[/tex] suy ra [tex]1\leq t\leq 2[/tex]
[tex]\frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{y}=\frac{t^2+1}{t}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\\\Rightarrow A\leq 3+2.\frac{5}{2}+2=10[/tex]
Dấu = khi a=b=0,c=1
Phần bôi đỏ
a+b+c=x+y+z-3 chứ
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
E có bài này chưa làm được:
Cho a, b, c>0.
CM: [tex]\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ca+b^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
BĐt tương đương
[tex]\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Giả sử c= max{a,b,c}
[tex]\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Ta có
[tex]\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0[/tex]
Suy ra đpcm

Phần bôi đỏ
a+b+c=x+y+z-3 chứ
bạn xem lại đề nha
 
Last edited by a moderator:

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
View attachment 108758 Mk có mấy bài mà ko giải được
Hơi khó
1, ta có
[tex]\sum \frac{a^2}{b-1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c-3}[/tex]
Đặt a+b+c=x
Ta cần cm [tex]\frac{x^2}{x-3}\geq 12\\\Leftrightarrow x^2\geq 12x-36\\\Leftrightarrow (x-6)^2\geq 0[/tex] (đúng )
Suy ra đpcm
3,Cs lẽ bạn nhân bung ra rồi áp dụng đk có nghiệm
4, để mình nghĩ đã
 

harder & smarter

Học sinh chăm học
Thành viên
26 Tháng tám 2018
600
363
101
Nam Định
KHÔNG CÓ TÊN
BĐt tương đương
[tex]\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Giả sử c= max{a,b,c}
[tex]\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Ta có
[tex]\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0[/tex]
Suy ra đpcm
4 dòng đầu chưa hiểu...:(
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Xem lại hộ
K liên quan đến cái t vừa nói ở trên nhé
ý là bạn xem lại đề
còn câu ở dưới là mình trả lời bạn kia mà quên chưa bấm trả lời ~
Cái này ko áp dụng dc bđt khác à bạn
mình k biết bạn à
4 dòng đầu chưa hiểu...:(
là mình lấy phân số 1 bên phải trừ đi phân số 1 bên trái rồi quy đồng lên
tiếp tục với 2 phân số kia
Cộng lại thì nó sẽ lớn hơn hoặc bằng 0
 
  • Like
Reactions: harder & smarter

tfs-akiranyoko

Học sinh chăm học
Thành viên
13 Tháng ba 2019
242
583
86
17
Hải Phòng
Sword School
BĐt tương đương
[tex]\sum \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Giả sử c= max{a,b,c}
[tex]\Rightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{abc+c^3}\geq 0[/tex]
Ta có
[tex]\frac{(a-b)(a-c)}{abc+a^3}+\frac{(b-c)(b-a)}{abc+b^3}\\\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.[(a-c)(abc+b^3)-(b-c)(abc+a^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}[abc(a-b)+c(a^3-b^3)]\\=\frac{a-b}{(abc+a^3)(abc+b^3)}.c[(a-b)(a+b)^2]\\=\frac{c(a-b)^2(a+b)^2}{(abc+a^3)(abc+b^3)}\geq 0[/tex]
Suy ra đpcm
bạn cho mình hỏi sao nghĩ tới viếc đặt c= max{a,b,c} thế bạn , mà nó tuwccs là sao z
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: tfs-akiranyoko
Top Bottom