BẤT ĐẲNG THỨC

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi Hoàng Vũ Nghị, 1 Tháng ba 2019.

Lượt xem: 6,165

?

Bạn thấy topic này như thế nào?

  1. Hay

    86.9%
  2. Nhàm chán

    3.3%
  3. Ý kiến khác (comment)

    9.8%

  1. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Bài 3:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn [tex]^2+y^2+z^2=2[/tex].cmr [tex]x+y+z\leq 2\sqrt{1+yz}[/tex]
    Bài 4:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr
    [tex]\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq 6[/tex]
     
    Lê Văn Đôngdangtiendung1201 thích bài này.
  2. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Bài 3:
    Phân tích : Do vế phải xuất hiện yz và trong quá trình đánh giá ta cần sử dụng đến giả thiết [tex]x^2+y^2+z^2=2[/tex] ,nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;x) và (1;y+z)
    Lời giải
    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
    [tex]x+y+z=1.x+1.(y+z)\leq \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=\sqrt{2(2+2yz)}=2\sqrt{1+yz}[/tex]
    Bài 4 :
    Phân tích
    Vì giải thiết cho a+b+c=3 nên ta cần đánh giá vế trái qua tổng a+b+c.Do đó ta cần một đánh giá có dạng [tex]a^2+3b^2\geq (ma+nb)^2[/tex] và đẳng thức xảy ra tại a=b=1
    Diều này giúp ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](x;y);(a,\sqrt{3}b)[/tex] (x,y) tìm sau
    Ta có
    [tex](x^2+y^2)(a^2+3b^2)\geq (xa+y\sqrt{3}b)^2[/tex]
    Đẳng thức xảy ra khi [tex]\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}b}[/tex] và a=b=1 nên ta có [tex]x=\frac{y}{\sqrt{3}}[/tex] chọn x=1 ,[tex]y=\sqrt{3}[/tex]
    Lời giải
    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](1;\sqrt{3}),(a,\sqrt{3}b)[/tex] ta có
    [tex](1^2+(\sqrt{3})^2)(a^2+(\sqrt{3}b)^2)\geq (a+3b)^2\\\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a+3b}{2}[/tex]
    CMTT suy ra đpcm .
    Dấu = xảy ra khi a=b=c=1



    Bài 5: (tương tự):Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr [tex]\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq 9[/tex]
    Bài 6 : Cho các số thực dương a,b,c .cmr [tex]\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1[/tex]


    Tích cực lên đi các bạn ...bởi biết đâu ta sẽ giúp được một ai đó trong tương lai
     
    Võ Hồng PhúVTR♚Shiro♛ thích bài này.
  3. Học Trò Của Sai Lầm

    Học Trò Của Sai Lầm Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    393
    Điểm thành tích:
    66
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Phù Cát 2

    [tex]\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1[/tex]
     
    Hoàng Vũ Nghị thích bài này.
  4. Tư Âm Diệp Ẩn

    Tư Âm Diệp Ẩn Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hội họa Hội viên CLB Ngôn từ

    Bài viết:
    1,829
    Điểm thành tích:
    251
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Đồng

    Bài 5: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
    [tex](1+(\frac{\sqrt{14}}{2})^2)(2a^2+\frac{7}{b^2})\geq (\sqrt{2}a+\frac{7\sqrt{2}}{2b})^2\\ \Rightarrow \sqrt{2a^2+7b^2}\geq \frac{(a+\frac{7}{2b})2}{3}=\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}[/tex]
    CMTT có: [tex]\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}\geq \frac{2b+\frac{7}{c}}{3};\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq \frac{2c+\frac{7}{a}}{3}\\[/tex]
    Mà: [tex]\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}+\frac{2b+\frac{7}{c}}{3}+\frac{2c+\frac{7}{a}}{3}=\frac{2(a+b+c)+7(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{3}\\ \geq \frac{2(a+b+c)+7.\frac{9}{a+b+c}}{3}=9\\ \Rightarrow dpcm[/tex]
    Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
    Bài 6:
    [tex]\frac{a}{a+2b}=\frac{a^2}{a^2+2ab};\frac{b}{b+2c}=\frac{b^2}{b^2+2bc};\frac{c}{c+2a}=\frac{c^2}{c^2+2ac}\\ =>\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1[/tex]
    Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
     
  5. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Mặc dù còn rất rất nhiều nhưng chúng ta tạm kết thúc ở đây
    ...
    Tiếp theo đó là Làm quen với việc sử dụng các kĩ thuật ghép cauchy,cauchy ngược dấu...
    Đầu tiên :Kĩ thuật ghép cauchy (hay còn gọi là kĩ thuật cân bằng hệ số)

    Đó chính à sử dụng cauchy sao cho xảy ra dấu bằng
    Chúng ta sẽ đến luôn phần bài tập

    Bài 1:Cho các số thực dương a,b .CMR [tex](a+b)(ab+4)\geq 8ab[/tex]
    Bài 2 :Cho các số thực dương a,b,c .chứng minh rằng
    [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
    Bài 3:[tex](a^2+\frac{1}{bc})^{m}+(b^2+\frac{1}{ca})^{m}+(c^2+\frac{1}{ab})^{m}\geq 3.2^m[/tex]

    Bài 4 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 .chứng minh rằng [tex]a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2[/tex]

    Mọi người tag thêm bạn bè vào làm cho vui đi ~~
     
    Minh DoraTư Âm Diệp Ẩn thích bài này.
  6. Minh Dora

    Minh Dora Siêu sao Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,692
    Điểm thành tích:
    251
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    Ở đâu đó

    1,Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
    (a+b)(ab+4)>=[tex]2\sqrt{ab}.2\sqrt{4ab}=8ab[/tex]
    Dấu = xảy ra <=> a=b=2
    2,
    a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2(1)
    <=> (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) ≥ 3/2 + 3 = 9/2 (cộng 2 vế cho 3)
    <=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 9
    <=>[(b+c) + (c+a) + (a+b)].[(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9(1)
    Áp dụng cô-si:
    [tex](b+c) + (c+a) + (a+b) >= 3.\sqrt[3]{(b+c).(c+a).(a+b)}[/tex]
    (1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)>= [tex]3.\sqrt[3]{\frac{1}{(b+c).(c+a).(a+b)}}[/tex]
    Suy ra (1) luôn đúng
    Dấu = xảy ra <=> a=b=c
     
    Hoàng Vũ Nghị thích bài này.
  7. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Chúng ta tiếp tục nhỉ ~~
    Bài 3 :
    [tex](a^2+\frac{1}{bc})^{m}\geq (2.\sqrt{\frac{a^2}{bc}})^m[/tex]
    Tương tự
    Suy ra [tex]VT\geq 2^m[{(\sqrt{\frac{a^2}{bc}}})^m+{(\sqrt{\frac{b^2}{ca}}})^m+{(\sqrt{\frac{c^2}{ab}}})^m]\\\geq 2^m.3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{ab.bc.ca}})}=2^m.3=3.2^m[/tex]
    Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
    Bài 4 :
    Áp dụng bđt Cauchy ta có
    [tex]a^3+a^3+1\geq 3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2[/tex]
    Tương tự
    Suy ra [tex]2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2[/tex]
    Lại có
    [tex]a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3[/tex]
    [tex]\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3\\\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
     
  8. Tư Âm Diệp Ẩn

    Tư Âm Diệp Ẩn Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hội họa Hội viên CLB Ngôn từ

    Bài viết:
    1,829
    Điểm thành tích:
    251
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Đồng

    À thì, cái bài từ hôm khảo sát nào rồi mà vẫn không biết làm :(
    Nhờ mọi người cho mình xin phương pháp giải.
    Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 13a + 5b +12c - 9 = 0
    Chứng minh rằng:
    [tex]\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leq 1[/tex]
    Ngu bất quá mà :(
     
    Hoàng Vũ Nghị thích bài này.
  9. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Áp dụng Schwarz ta có
    [tex]\frac{ab}{2a+b}=\frac{ab}{9}(\frac{9}{a+a+b})\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\=\frac{2b}{9}+\frac{a}{9}[/tex]
    Maáy cái sau tách tương tự
    Cộng lại có [tex]VT\leq \frac{13a+5b+12c}{9}=1[/tex]
    Dấu = xảy khi [tex]a=b=c=\frac{3}{10}[/tex]
     
  10. Tư Âm Diệp Ẩn

    Tư Âm Diệp Ẩn Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hội họa Hội viên CLB Ngôn từ

    Bài viết:
    1,829
    Điểm thành tích:
    251
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Đồng

    Mình hỏi ngu ak, cái này bạn dự đoán dấu = trước hay làm kiểu gì vậy? Với cả sao bạn nghĩ đến xài Schwarz and tách ra như thế vậy, mình ngồi cả buổi vẫn không biết làm :(
    Please chỉ mình đi mà!
     
  11. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Theo mình thấy thì cứ làm thôi ... nhưng thông thường thì thấy cái mẫu như vậy là tách nó ra ..hôm đấy chắc hên nên thử phát ra luôn
    Mình thấy bất k có phương pháp ...nó chỉ có cách làm và 1 sự xử lí hợp lí thôi
     
    Tư Âm Diệp Ẩn thích bài này.
  12. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    chúng ta tiếp tục nhỉ ~
    Cho [tex]0\leq x;y;z\leq 1[/tex] thỏa mãn x+y+z=1,5 .tìm max của [tex]x^2+y^2+z^2[/tex]
     
    Last edited: 5 Tháng tư 2019
    You Knownguyen van ut thích bài này.
  13. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    topic có vẻ chán nhỉ ...sôi nổi lên đi mọi người
    C1 :
    [tex](x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\\\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx-1+x+y+z\leq 0\\\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+x+y+z-1\geq 0+1,5-1=0,5[/tex]
    lại có
    [tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\\leq 2,25-2.0.5=1,25[/tex]
    Dấu = xảy ra khi 1 số =0 ,1 số=1 ,1 số=0.5
    C2:
    [tex]x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2xy\\=(x+y)^2+z^2\\=(1,5-z)^2+z^2\leq ...[/tex]
     
    shorlochomevn@gmail.com thích bài này.
  14. Phượng's Nguyễn's

    Phượng's Nguyễn's Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    165
    Điểm thành tích:
    46
    Nơi ở:
    Nghệ An
    Trường học/Cơ quan:
    Quỳnh Lâm

    trời thế mà mk nghĩ mái..=)))god bất
     
    Hoàng Vũ Nghị thích bài này.
  15. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Cho a,b,c>0 và a+4b+9c=6.cmr [tex]a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{6}[/tex]
     
    ~ Hồng Vân ~You Know thích bài này.
  16. ~ Hồng Vân ~

    ~ Hồng Vân ~ Học sinh gương mẫu Thành viên

    Bài viết:
    1,106
    Điểm thành tích:
    416
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    Sao Hoả

    Bạn đưa lời giải sớm đc ko, cô mk ra đề thi bài này thử nhưng mk ko làm đc!
     
  17. The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫

    The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫ Banned Banned Thành viên

    Bài viết:
    343
    Điểm thành tích:
    71
    Nơi ở:
    Thái Bình
    Trường học/Cơ quan:
    Lag..............Reconnect......Loading

    [tex]a^{3}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}\geq \frac{1}{12}a\\b^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}b\\c^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}c\\\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{12}(a+4b+9c)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]
    a=1/6 b= 1/2 c=1/3
     
  18. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    Vậy câu hỏi đặt ra la làm sao làm được như vậy ~
     
  19. The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫

    The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫ Banned Banned Thành viên

    Bài viết:
    343
    Điểm thành tích:
    71
    Nơi ở:
    Thái Bình
    Trường học/Cơ quan:
    Lag..............Reconnect......Loading

    thấy điểm rơi khi a=1/6 b= 1/3 c=1/2 cái này mình mò :)))
    khi đó a^3=216 sau đó mình nghĩ cần giản ước về a nên mình cộng thêm 2 cái 1/216 2 cái kia tương tự ai ngờ nó ra =)))
     
  20. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Cựu Mod Toán | Yêu lao động Thành viên

    Bài viết:
    2,249
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    đó là khi bạn nhẩm ra thôi ..có cách nào tổng quát hơn không ?
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->