Toán 9 BẤT ĐẲNG THỨC

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Bài 3:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn [tex]^2+y^2+z^2=2[/tex].cmr [tex]x+y+z\leq 2\sqrt{1+yz}[/tex]
Bài 4:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr
[tex]\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq 6[/tex]
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Bài 3:
Phân tích : Do vế phải xuất hiện yz và trong quá trình đánh giá ta cần sử dụng đến giả thiết [tex]x^2+y^2+z^2=2[/tex] ,nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;x) và (1;y+z)
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
[tex]x+y+z=1.x+1.(y+z)\leq \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=\sqrt{2(2+2yz)}=2\sqrt{1+yz}[/tex]
Bài 4 :
Phân tích
Vì giải thiết cho a+b+c=3 nên ta cần đánh giá vế trái qua tổng a+b+c.Do đó ta cần một đánh giá có dạng [tex]a^2+3b^2\geq (ma+nb)^2[/tex] và đẳng thức xảy ra tại a=b=1
Diều này giúp ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](x;y);(a,\sqrt{3}b)[/tex] (x,y) tìm sau
Ta có
[tex](x^2+y^2)(a^2+3b^2)\geq (xa+y\sqrt{3}b)^2[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}b}[/tex] và a=b=1 nên ta có [tex]x=\frac{y}{\sqrt{3}}[/tex] chọn x=1 ,[tex]y=\sqrt{3}[/tex]
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](1;\sqrt{3}),(a,\sqrt{3}b)[/tex] ta có
[tex](1^2+(\sqrt{3})^2)(a^2+(\sqrt{3}b)^2)\geq (a+3b)^2\\\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a+3b}{2}[/tex]
CMTT suy ra đpcm .
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1



Bài 5: (tương tự):Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr [tex]\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq 9[/tex]
Bài 6 : Cho các số thực dương a,b,c .cmr [tex]\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1[/tex]


Tích cực lên đi các bạn ...bởi biết đâu ta sẽ giúp được một ai đó trong tương lai
 

Học Trò Của Sai Lầm

Học sinh chăm học
Thành viên
17 Tháng bảy 2018
393
498
66
18
Bình Định
THPT Phù Cát 2
Bài 3:
Phân tích : Do vế phải xuất hiện yz và trong quá trình đánh giá ta cần sử dụng đến giả thiết [tex]x^2+y^2+z^2=2[/tex] ,nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;x) và (1;y+z)
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
[tex]x+y+z=1.x+1.(y+z)\leq \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=\sqrt{2(2+2yz)}=2\sqrt{1+yz}[/tex]
Bài 4 :
Phân tích
Vì giải thiết cho a+b+c=3 nên ta cần đánh giá vế trái qua tổng a+b+c.Do đó ta cần một đánh giá có dạng [tex]a^2+3b^2\geq (ma+nb)^2[/tex] và đẳng thức xảy ra tại a=b=1
Diều này giúp ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](x;y);(a,\sqrt{3}b)[/tex] (x,y) tìm sau
Ta có
[tex](x^2+y^2)(a^2+3b^2)\geq (xa+y\sqrt{3}b)^2[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]\frac{x}{a}=\frac{y}{\sqrt{3}b}[/tex] và a=b=1 nên ta có [tex]x=\frac{y}{\sqrt{3}}[/tex] chọn x=1 ,[tex]y=\sqrt{3}[/tex]
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số [tex](1;\sqrt{3}),(a,\sqrt{3}b)[/tex] ta có
[tex](1^2+(\sqrt{3})^2)(a^2+(\sqrt{3}b)^2)\geq (a+3b)^2\\\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2}\geq \frac{a+3b}{2}[/tex]
CMTT suy ra đpcm .
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1



Bài 5: (tương tự):Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 .cmr [tex]\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}+\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq 9[/tex]
Bài 6 : Cho các số thực dương a,b,c .cmr [tex]\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1[/tex]


Tích cực lên đi các bạn ...bởi biết đâu ta sẽ giúp được một ai đó trong tương lai
[tex]\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1[/tex]
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị

Tư Âm Diệp Ẩn

Học sinh gương mẫu
HV CLB Hội họa
Hội viên CLB Ngôn từ
Thành viên
18 Tháng bảy 2018
1,872
2,036
301
18
Vĩnh Phúc
THPT Nguyễn Viết Xuân
Bài 5: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
[tex](1+(\frac{\sqrt{14}}{2})^2)(2a^2+\frac{7}{b^2})\geq (\sqrt{2}a+\frac{7\sqrt{2}}{2b})^2\\ \Rightarrow \sqrt{2a^2+7b^2}\geq \frac{(a+\frac{7}{2b})2}{3}=\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}[/tex]
CMTT có: [tex]\sqrt{2b^2+\frac{7}{c^2}}\geq \frac{2b+\frac{7}{c}}{3};\sqrt{2c^2+\frac{7}{a^2}}\geq \frac{2c+\frac{7}{a}}{3}\\[/tex]
Mà: [tex]\frac{2a+\frac{7}{b}}{3}+\frac{2b+\frac{7}{c}}{3}+\frac{2c+\frac{7}{a}}{3}=\frac{2(a+b+c)+7(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{3}\\ \geq \frac{2(a+b+c)+7.\frac{9}{a+b+c}}{3}=9\\ \Rightarrow dpcm[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Bài 6:
[tex]\frac{a}{a+2b}=\frac{a^2}{a^2+2ab};\frac{b}{b+2c}=\frac{b^2}{b^2+2bc};\frac{c}{c+2a}=\frac{c^2}{c^2+2ac}\\ =>\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Mặc dù còn rất rất nhiều nhưng chúng ta tạm kết thúc ở đây
...
Tiếp theo đó là Làm quen với việc sử dụng các kĩ thuật ghép cauchy,cauchy ngược dấu...
Đầu tiên :Kĩ thuật ghép cauchy (hay còn gọi là kĩ thuật cân bằng hệ số)

Đó chính à sử dụng cauchy sao cho xảy ra dấu bằng
Chúng ta sẽ đến luôn phần bài tập

Bài 1:Cho các số thực dương a,b .CMR [tex](a+b)(ab+4)\geq 8ab[/tex]
Bài 2 :Cho các số thực dương a,b,c .chứng minh rằng
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Bài 3:[tex](a^2+\frac{1}{bc})^{m}+(b^2+\frac{1}{ca})^{m}+(c^2+\frac{1}{ab})^{m}\geq 3.2^m[/tex]

Bài 4 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 .chứng minh rằng [tex]a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2[/tex]

Mọi người tag thêm bạn bè vào làm cho vui đi ~~
 

Minh Dora

Siêu sao Hóa học
Thành viên
5 Tháng chín 2017
1,751
1,638
251
Thanh Hóa
Ở đâu đó
Mặc dù còn rất rất nhiều nhưng chúng ta tạm kết thúc ở đây
...
Tiếp theo đó là Làm quen với việc sử dụng các kĩ thuật ghép cauchy,cauchy ngược dấu...
Đầu tiên :Kĩ thuật ghép cauchy (hay còn gọi là kĩ thuật cân bằng hệ số)

Đó chính à sử dụng cauchy sao cho xảy ra dấu bằng
Chúng ta sẽ đến luôn phần bài tập

Bài 1:Cho các số thực dương a,b .CMR [tex](a+b)(ab+4)\geq 8ab[/tex]
Bài 2 :Cho các số thực dương a,b,c .chứng minh rằng
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Bài 3:[tex](a^2+\frac{1}{bc})^{m}+(b^2+\frac{1}{ca})^{m}+(c^2+\frac{1}{ab})^{m}\geq 3.2^m[/tex]

Bài 4 : Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 .chứng minh rằng [tex]a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2[/tex]

Mọi người tag thêm bạn bè vào làm cho vui đi ~~
1,Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
(a+b)(ab+4)>=[tex]2\sqrt{ab}.2\sqrt{4ab}=8ab[/tex]
Dấu = xảy ra <=> a=b=2
2,
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2(1)
<=> (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) ≥ 3/2 + 3 = 9/2 (cộng 2 vế cho 3)
<=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 9
<=>[(b+c) + (c+a) + (a+b)].[(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9(1)
Áp dụng cô-si:
[tex](b+c) + (c+a) + (a+b) >= 3.\sqrt[3]{(b+c).(c+a).(a+b)}[/tex]
(1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)>= [tex]3.\sqrt[3]{\frac{1}{(b+c).(c+a).(a+b)}}[/tex]
Suy ra (1) luôn đúng
Dấu = xảy ra <=> a=b=c
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Chúng ta tiếp tục nhỉ ~~
Bài 3 :
[tex](a^2+\frac{1}{bc})^{m}\geq (2.\sqrt{\frac{a^2}{bc}})^m[/tex]
Tương tự
Suy ra [tex]VT\geq 2^m[{(\sqrt{\frac{a^2}{bc}}})^m+{(\sqrt{\frac{b^2}{ca}}})^m+{(\sqrt{\frac{c^2}{ab}}})^m]\\\geq 2^m.3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{ab.bc.ca}})}=2^m.3=3.2^m[/tex]
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Bài 4 :
Áp dụng bđt Cauchy ta có
[tex]a^3+a^3+1\geq 3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2[/tex]
Tương tự
Suy ra [tex]2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2[/tex]
Lại có
[tex]a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3[/tex]
[tex]\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3\\\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
 

Tư Âm Diệp Ẩn

Học sinh gương mẫu
HV CLB Hội họa
Hội viên CLB Ngôn từ
Thành viên
18 Tháng bảy 2018
1,872
2,036
301
18
Vĩnh Phúc
THPT Nguyễn Viết Xuân
À thì, cái bài từ hôm khảo sát nào rồi mà vẫn không biết làm :(
Nhờ mọi người cho mình xin phương pháp giải.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 13a + 5b +12c - 9 = 0
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leq 1[/tex]
Ngu bất quá mà :(
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
À thì, cái bài từ hôm khảo sát nào rồi mà vẫn không biết làm :(
Nhờ mọi người cho mình xin phương pháp giải.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 13a + 5b +12c - 9 = 0
Chứng minh rằng:
[tex]\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leq 1[/tex]
Ngu bất quá mà :(
Áp dụng Schwarz ta có
[tex]\frac{ab}{2a+b}=\frac{ab}{9}(\frac{9}{a+a+b})\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\=\frac{2b}{9}+\frac{a}{9}[/tex]
Maáy cái sau tách tương tự
Cộng lại có [tex]VT\leq \frac{13a+5b+12c}{9}=1[/tex]
Dấu = xảy khi [tex]a=b=c=\frac{3}{10}[/tex]
 

Tư Âm Diệp Ẩn

Học sinh gương mẫu
HV CLB Hội họa
Hội viên CLB Ngôn từ
Thành viên
18 Tháng bảy 2018
1,872
2,036
301
18
Vĩnh Phúc
THPT Nguyễn Viết Xuân
Áp dụng Schwarz ta có
[tex]\frac{ab}{2a+b}=\frac{ab}{9}(\frac{9}{a+a+b})\leq \frac{ab}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\=\frac{2b}{9}+\frac{a}{9}[/tex]
Maáy cái sau tách tương tự
Cộng lại có [tex]VT\leq \frac{13a+5b+12c}{9}=1[/tex]
Dấu = xảy khi [tex]a=b=c=\frac{3}{10}[/tex]
Mình hỏi ngu ak, cái này bạn dự đoán dấu = trước hay làm kiểu gì vậy? Với cả sao bạn nghĩ đến xài Schwarz and tách ra như thế vậy, mình ngồi cả buổi vẫn không biết làm :(
Please chỉ mình đi mà!
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Mình hỏi ngu ak, cái này bạn dự đoán dấu = trước hay làm kiểu gì vậy? Với cả sao bạn nghĩ đến xài Schwarz and tách ra như thế vậy, mình ngồi cả buổi vẫn không biết làm :(
Please chỉ mình đi mà!
Theo mình thấy thì cứ làm thôi ... nhưng thông thường thì thấy cái mẫu như vậy là tách nó ra ..hôm đấy chắc hên nên thử phát ra luôn
Mình thấy bất k có phương pháp ...nó chỉ có cách làm và 1 sự xử lí hợp lí thôi
 
  • Like
Reactions: Tư Âm Diệp Ẩn

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
chúng ta tiếp tục nhỉ ~
Cho [tex]0\leq x;y;z\leq 1[/tex] thỏa mãn x+y+z=1,5 .tìm max của [tex]x^2+y^2+z^2[/tex]
topic có vẻ chán nhỉ ...sôi nổi lên đi mọi người
C1 :
[tex](x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\\\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx-1+x+y+z\leq 0\\\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+x+y+z-1\geq 0+1,5-1=0,5[/tex]
lại có
[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\\leq 2,25-2.0.5=1,25[/tex]
Dấu = xảy ra khi 1 số =0 ,1 số=1 ,1 số=0.5
C2:
[tex]x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2xy\\=(x+y)^2+z^2\\=(1,5-z)^2+z^2\leq ...[/tex]
 

Phượng's Nguyễn's

Học sinh
Thành viên
27 Tháng mười hai 2018
165
115
46
17
Nghệ An
Quỳnh Lâm
topic có vẻ chán nhỉ ...sôi nổi lên đi mọi người
C1 :
[tex](x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\\\Leftrightarrow xyz-xy-yz-zx-1x+y+z\leq 0\\\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+x+y+z-1\geq 0+1,5-1=0,5[/tex]
lại có
[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\\leq 2,25-2.0.5=1,25[/tex]
Dấu = xảy ra khi 1 số =0 ,1 số=1 ,1 số=0.5
C2:
[tex]x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2xy\\=(x+y)^2+z^2\\=(1,5-z)^2+z^2\leq ...[/tex]
trời thế mà mk nghĩ mái..=)))god bất
 
  • Like
Reactions: Hoàng Vũ Nghị
28 Tháng ba 2019
343
953
71
12
Thái Bình
Lag..............Reconnect......Loading
Cho a,b,c>0 và a+4b+9c=6.cmr [tex]a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{6}[/tex]
[tex]a^{3}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}\geq \frac{1}{12}a\\b^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}b\\c^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}c\\\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{12}(a+4b+9c)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]
a=1/6 b= 1/2 c=1/3
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
[tex]a^{3}+\frac{1}{216}+\frac{1}{216}\geq \frac{1}{12}a\\b^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}b\\c^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}c\\\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{12}(a+4b+9c)-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]
a=1/6 b= 1/2 c=1/3
Vậy câu hỏi đặt ra la làm sao làm được như vậy ~
 
28 Tháng ba 2019
343
953
71
12
Thái Bình
Lag..............Reconnect......Loading
Vậy câu hỏi đặt ra la làm sao làm được như vậy ~
thấy điểm rơi khi a=1/6 b= 1/3 c=1/2 cái này mình mò :)))
khi đó a^3=216 sau đó mình nghĩ cần giản ước về a nên mình cộng thêm 2 cái 1/216 2 cái kia tương tự ai ngờ nó ra =)))
 

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,291
2,631
486
18
Vĩnh Phúc
Top Bottom