Toán Bất đẳng thức

[soicon_boy_9x]

Có : $\dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + y^2}$ \geq $\dfrac{2}{1 + xy}$

Thật vậy : $\dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{1}{1 + xy} + \dfrac{1}{y^2 + 1} - \dfrac{1}{xy + 1}$
$= \dfrac{x(y - x)}{(1 + x^2)(1 + xy)} + \dfrac{y(x - y)}{(1 + y^2)(1 + xy)}$

$= \dfrac{(y - x)^2(xy - 1)}{(1 + x^2)(1 + y^2)(1 + xy)}$ \geq 0

(vì x,y,z \geq 1)

Áp dụng BĐT trên có :

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{y^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xy + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$ (vì z \geq 1)

Tương tự có :

$\dfrac{1}{y^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên được ta suy ra được :

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{y^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{3}{xyz + 1}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Bạn làm sai hết rồi nhé

Đề của mình là $\dfrac{1}{a^3+1}+\dfrac{1}{b^3+1}+\dfrac{1}
{c^3+1}$ cơ mà
Sao bạn lại sửa thành mũ 2 được

Với lại làm gì có chuyện $xy+1 \geq xyz+1 \rightarrow \dfrac{2}{xy+1} \geq \dfrac{2}{xyz+1}$ được. Ngược dấu nhé

Mời các bạn làm tiếp. Không thì mình sẽ đăng cách làm

 

[soicon_boy_9x]

Chém bài 4 của bạn hoa mặt trời

$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+
\dfrac{1}{3abc}+\dfrac{2}{3abc}$

$=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}+ \dfrac { 2 } { 3 a b c } $

$=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3abc}+\dfrac{2}
{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+\dfrac{2}{3abc}$

$\geq \dfrac{2}{\sqrt{3abc}}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{9}{a+b+c}+\dfrac{2}
{3abc}$

Ta có: $1=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\rightarrow abc \leq \dfrac{1}{27}$

$\rightarrow 3abc \leq \dfrac{1}{9}$

$\rightarrow VT \geq 6+6+18=30$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[soicon_boy_9x]

Lâu rồi em không gửi bài nhỉ^^

Cho x,y,z>0 và $(x+z)(y+z)$=1. Cm

A=$xyz(x+y+z)$<$\dfrac{1}{4}$

Bài này ngắn chém luôn

$(x+z)(y+z)=1 \leftrightarrow xy+z(x+y+z)=1 \leftrightarrow
[xy+z(x+y+z)]^2=1$

$\leftrightarrow 1=[xy+z(x+y+z)]^2 \geq 4xyz(x+y+z)$

$\leftrightarrow xyz(x+y+z) \leq 0,25$

Dấu "=" không xảy ra

 

[soicon_boy_9x]

Bài 5 của bạn hoamattroi

$\sum \dfrac{a}{a^2-bc+1}=\sum \dfrac{a^2}{a^3-abc+a} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{1}{a+b+c}$

Lời giải bài của mình

Dễ chứng minh được bất đẳng thức $\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1} \geq \dfrac{2}{xy+1}$

Ta có: $\dfrac{1}{x^3+1}+\dfrac{1}{y^3+1 } \geq \dfrac{2}
{xy^{1,5}+1}$

$\dfrac{1}{z^3+1}+\dfrac{1}{xyz+1} \geq \dfrac{2}{z^2\sqrt{xy}+1}$

Cộng từng vế

$\dfrac{1}{x^3+1}+\dfrac{1}{y^3+1}+\dfrac{1}{z^3+1}+\dfrac{1}{xyz+1}$
\geq $\dfrac{2}{xy^{1,5}+1}+\dfrac{2}{z^2\sqrt{xy}+1} \geq \dfrac{4}{xyz+1}$

Ta có dpcm



Quá tuyệt^^

 

[congchuaanhsang]

Có một số chỗ trong bài làm của bạn mình không rõ

Mấy chỗ in đỏ ấy. Giải thích chi tiết giúp mình với!

Bài 1, Áp dụng Cauchy - Schwarz và do $a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$
Bài 2, Bạn trừ từng cặp rồi đưa về cùng mẫu a+1

 

[forum_]

Mọi người ở đây chém bài khiếp quá, còn mạnh hơn cả bão vô Miền Trung đợt vừa rồi nữa!!!

[.....] Cho các số thực a,b,c \geq 1. CMR: $abc + 6029$ \geq $2010.(\sqrt[2010]{a} + \sqrt[2010]{b} + \sqrt[2010]{c})$

+Bài số mấy đây? Thôi ghi "....." cũng được
+Đối với các Mod ở đây thì chắc bài này là "muỗi" đúng không?

 

[congchuaanhsang]

Mọi người ở đây chém bài khiếp quá, còn mạnh hơn cả bão vô Miền Trung đợt vừa rồi nữa!!!

[.....] Cho các số thực a,b,c \geq 1. CMR: $abc + 6029$ \geq $2010.(\sqrt[2010]{a} + \sqrt[2010]{b} + \sqrt[2010]{c})$

OK

Áp dụng Cauchy cho 2010 số:

$2010\sqrt[2010]{a}=\sqrt[2010]{a.1.1...1}$\leq$a+2009$

$2010\sqrt[2010]{b}$\leq$b+2009$ ; $2010\sqrt[2010]{c}$\leq$c+2009$

\RightarrowVP\leq$a+b+c+6027$

Ta phải cm: $a+b+c+6027$\leq$abc+6029$

\Leftrightarrow$a+b+c$\leq$abc+2$ \Leftrightarrow $abc-a$\geq$b+c-2$\Leftrightarrow$a(bc-1)$\geq$b+c-2$ (1)

*Xét bc=1\Rightarrowb=c=1\RightarrowVP(1)=VT(1)=0

*Xét bc>1

(1)\Leftrightarrowa\geq$\dfrac{b+c-2}{bc-1}$

Xét hiệu b+c-2-(bc-1)=b+c-bc-1=(b-1)(1-c)\leq0\Leftrightarrowb+c-2\leqbc-1

\Rightarrow$\dfrac{b+c-2}{bc-1}$\leq1\leqa

Dấu "=" ở trường hợp này ko xảy ra

Như vậy với mọi a,b,c\geq1 ta luôn có (1) đúng

Vậy bđt đc cm

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1

 

[congchuaanhsang]

Tiếp nhé

Cho a,b,c,d>0

Cm $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+d} + \dfrac{d}{a+b}$ \geq 2

 

[vipboycodon]

$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+d} + \dfrac{d}{a+b} \ge 2$ (1)
Ta có: $VT = \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+d} + \dfrac{d}{a+b}$
$VT = \dfrac{a^2}{a(b+c)}+\dfrac{b^2}{b(a+c)}+\dfrac{c^3}{c(a+d)}+\dfrac{d^2}{d(a+b)}$
Áp dụng bdt schwartz ta có:
$\dfrac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+ab+bc+ac+cd+ad+bd}$
Để chứng minh (1) ta phải chứng minh:
$\dfrac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+ab+bc+ac+cd+ad+bd} \ge 2$
<=> $a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+bc+bd+ad+dc) \ge 2(ab+ac+ab+bc+ac+cd+ad+bd)$
<=> $a^2-2ab+b^2+c^2-2cd+d^2 \ge 0$
<=> $(a-b)^2+(c-d)^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$
Bài này dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d

 

[soicon_boy_9x]

Tiếp một bài nữa này. Bất đẳng thức này khá nhẹ

Cho $a;b;c > 0$ và $ab+bc+ca=1$

Tìm gtln $\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}
{\sqrt{1+c^2}}$

 

[soicon_boy_9x]

Bài này mình này có gì phức tạp đâu nhỉ. Điểm rơi thôi

Thay $ab+bc+ca=1$ vào thì biểu thức trở thành:

$A=\dfrac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+
\dfrac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leftrightarrow A=\dfrac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{2b}
{\sqrt{4(b+c)(b+a)}}+\dfrac{2c}{\sqrt{(c+a)4(c+b)}}$

$\leftrightarrow A \leq 2a(\dfrac{1}{2a+2b}++\dfrac{1}
{2a+2c})+2b(\dfrac{1}{8b+8c}+\dfrac{1}{2b+2a})+2c(\dfrac{1}
{8b+8c}+\dfrac{1}{2a+2c})$

$\leftrightarrow A \leq \dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+c}
{4(b+c)}=2,25$

Dấu $"="$ xảy ra khi $b=c=\dfrac{1}{\sqrt{15}} \ \ \ \ \ \ \ \ a=\dfrac{7}
{\sqrt{15}}$

 

[vipboycodon]

.Bạn cho bài tiếp đi (đơn giản hơn 1 tí nữa nhá)...........................................................

 

[soicon_boy_9x]

Đơn giản nữa hả. Tiếp một bài này:

Tìm min,max của $A=2x+\sqrt{5-x^2}$

 

[janbel]

Đơn giản nữa hả. Tiếp một bài này: Tìm min,max của $A=2x+\sqrt{5-x^2}$

Xét hàm $A(x)=2x+\sqrt{5-x^2} \to A'(x)=2-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}$
$A'(x)=0 \to x=2$. Vẽ bảng biến thiên ra nhận dc $A_{min}=-2\sqrt{5}$ tại $x=-\sqrt{5}$ và $A_{max}=5$ tại $x=2$.


@braga: máu đạo hàm thế =))

 

[congchuaanhsang]

Đến lượt em

Tìm min: B=$(1+x^2y+xy^2)^{2001}-2001xy(x+y)+2001$ với $x^2y+xy^2$\geq0

 

[braga]

Xét hàm $A(x)=2x+\sqrt{5-x^2} \to A'(x)=2-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}$
$A'(x)=0 \to x=2$. Vẽ bảng biến thiên ra nhận dc $A_{min}=-2\sqrt{5}$ tại $x=-\sqrt{5}$ và $A_{max}=5$ tại $x=2$.


@braga: máu đạo hàm thế =))

Theo yêu cầu của ku
Từ đk: $-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}$ suy ra ngày được $\min$
$A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\le 5(x^2+5-x^2)=25$

 

[braga]

Đến lượt em

Tìm min: B=$(1+x^2y+xy^2)^{2001}-2001xy(x+y)+2001$ với $x^2y+xy^2$\geq0

Thấy ngay $\min B=2002$ mà!!!

 

[vipboycodon]

$B = (1+x^2+xy^2)^{2001}-2001xy(x+y)+2001$ với $x^2y+xy^2 \ge 0$
=> $xy(x+y) \ge 0$
Thay vào B ta có:
$(1+0)^{2001}-2001.0+2001 = 2002.$
Vậy $min B = 2002$.
Sai nhé

 

[janbel]

$B = (1+x^2+xy^2)^{2001}-2001xy(x+y)+2001$ với $x^2y+xy^2 \ge 0$
=> $xy(x+y) \ge 0$
Thay vào B ta có:
$(1+0)^{2001}-2001.0+2001 = 2002.$
Vậy $min B = 2002$.

Sai rồi bác@@.!............................................

 

[soicon_boy_9x]

$B = (1+x^2+xy^2)^{2001}-2001xy(x+y)+2001$ với $x^2y+xy^2 \ge 0$
=> $xy(x+y) \ge 0$
Thay vào B ta có:
$(1+0)^{2001}-2001.0+2001 = 2002.$
Vậy $min B = 2002$.

Bạn thấy nhầm dấu chưa

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2001 số ta được:

$(1+x^2y+xy^2)^{2001}+2000 \geq 2011(1+xy^2+x^2y)$

$\leftrightarrow B \geq 2002$