Toán Bất đẳng thức

C

congchuaanhsang

Mình nghĩ mình phải đính chính lại một số chuyện:
- Pic này lập ra không phải để giải trí mà để mọi người trao đổi các bài toán cũng như kinh nghiệm cm bđt.
- Các bạn có thể post thoải mái các bài với các dạng khác nhau.
- Nghiêm cấm spam tại pic này; các bài viết phải gõ latex
Mong các bạn tiếp tục ủng hộ :)
 
X

xuanquynh97

[1] Cho a,b,c >0 ; abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(a+1)(c+1)}$\leq $\frac{3}{4}$
[2] Cho các số a,b,c >0 thỏa mãn abc=1
Chứng minh $\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+a+c}+\frac{c}{1+a+b}$ \geq 1

Mình có 2 bài BĐT này mọi người giải coi
 
V

vuonghao159357

BĐT thi dai hoc ra khó lăm khong nhỉ........................................................................................
 
S

soicon_boy_9x

Mọi người khởi động dạng chứng minh bất đẳng thức bằng sáng tạo bất đẳng thức riêng nhé

Chứng minh với $a ;b;c \geq 1$ thì

$\dfrac{1}{a^3+1}+\dfrac{1}{b^3+1}+\dfrac{1}{c^3+1} \geq \dfrac{3}
{abc+1}$


 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

Chứng minh với $a ;b;c \ge 1$ thì
$\dfrac{1}{a^3+1}+\dfrac{1}{b^3+1}+\dfrac{1}{c^3+1} \ge \dfrac{3}{xyz+1}$
Anh ơi sao lại có xyz ở đây........................................................................................
 
Last edited by a moderator:
H

hoamattroi_3520725127

Có : $\dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + y^2}$ \geq $\dfrac{2}{1 + xy}$

Thật vậy : $\dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{1}{1 + xy} + \dfrac{1}{y^2 + 1} - \dfrac{1}{xy + 1}$
$= \dfrac{x(y - x)}{(1 + x^2)(1 + xy)} + \dfrac{y(x - y)}{(1 + y^2)(1 + xy)}$

$= \dfrac{(y - x)^2(xy - 1)}{(1 + x^2)(1 + y^2)(1 + xy)}$ \geq 0

(vì x,y,z \geq 1)

Áp dụng BĐT trên có :

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{y^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xy + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$ (vì z \geq 1)

Tương tự có :

$\dfrac{1}{y^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{2}{xyz + 1}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên được ta suy ra được :

$\dfrac{1}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{y^2 + 1} + \dfrac{1}{z^2 + 1}$ \geq $\dfrac{3}{xyz + 1}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
 
C

congchuaanhsang

Lâu rồi em không gửi bài nhỉ^^

Cho x,y,z>0 và $(x+z)(y+z)$=1. Cm

A=$xyz(x+y+z)$<$\dfrac{1}{4}$
 
Last edited by a moderator:
H

hoamattroi_3520725127

Mn giải 5 bài này trước nhé, lần sau mình post tiếp 5 bài còn lại :D


Bài 1 : CMR với a,b,c > 0 có :

$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})(a + b + c)$ \geq 9.

Bài 2 : Cho a,b,c > 0 thỏa $a^2 + b^2 + c^2$ \leq 1.

CMR : $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab}$ \geq $\dfrac{9}{2}$

Bài 3 : Với mọi a,b,c > 0 thỏa abc = 1, CMR :

$\dfrac{a^2}{1 + b} + \dfrac{b^2}{1 + c} + \dfrac{c^2}{1 + a}$ \geq $\dfrac{3}{2}$

Bài 4 : Cho a,b,c > 0; a + b + c = 1

Tìm Min của $\dfrac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{abc}$

Bài 5 : Cho a,b,c > 0 thỏa 3(ab + bc + ac) = 1.

CMR : $\dfrac{a}{a^2 - bc + 1} + \dfrac{b}{b^2 - ac + 1} + \dfrac{c}{c^2 - ab + 1}$ \geq $\dfrac{1}{a + b + c}$
 
V

vipboycodon

Bài 1:
Áp dụng bdt cô-si cho 3 số không âm ta có:
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$
Nhân vế với vế ta có:
$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}$
<=> $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 9$
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} a = b = c \\ \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{c} \end{cases}$
 
C

congchuaanhsang

2, Áp dụng Cauchy - Schwarz:

VT\geq$\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$\geq$\dfrac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$=$\dfrac{9}{2}$

3, Giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a,b,c

VT-VP=$\dfrac{a^2}{b+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b^2}{c+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c^2}{a+1}-\dfrac{1}{2}$

\geq$\dfrac{2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)-3}{a+1}$

Theo Cauchy $a+b+c$\geq$3\sqrt[3]{abc}$=3

Theo Cauchy - Schwarz: $a^2+b^2+c^2$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

\RightarrowVT-VP\geq$\dfrac{\dfrac{2(a+b+c)^2}{3}-(a+b+c)-3}{a+1}$

\LeftrightarrowVT-VP\geq$\dfrac{(a+b+c-3)[2(a+b+c)+3]}{a+1}$\geq0

\RightarrowVT\geqVP
 
C

congchuaanhsang

Bài toán số 3 do bạn xinchao2000 gửi có đk a,b,c dương. Đây là 1 câu trong đề thi vô địch toán quốc gia Iran năm 2008:)
 
H

hoamattroi_3520725127

17thuy36.bmp


Đây là 1 định lí được suy ra từ bổ đề : $(x + y + z - t)^2 + (y + z + t - x)^2 + (z + t + x - y)^2 + (t + x + y - z)^2 = 4(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)$

Đây là trích đoạn phần chứng minh định lý, nhưng mà em không hiểu, mn giải thích giúp! :D
 
H

hoamattroi_3520725127

congchuaanhsang said:
2, Áp dụng Cauchy - Schwarz:

VT\geq$\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$\geq$\dfrac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$=$\dfrac{9}{2}$

3, Giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a,b,c

VT-VP=$\dfrac{a^2}{b+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b^2}{c+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c^2}{a+1}-\dfrac{1}{2}$

\geq$\dfrac{2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)-3}{a+1}$

Theo Cauchy $a+b+c$\geq$3\sqrt[3]{abc}$=3

Theo Cauchy - Schwarz: $a^2+b^2+c^2$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

\RightarrowVT-VP\geq$\dfrac{\dfrac{2(a+b+c)^2}{3}-(a+b+c)-3}{a+1}$

\LeftrightarrowVT-VP\geq$\dfrac{(a+b+c-3)[2(a+b+c)+3]}{a+1}$\geq0

\RightarrowVT\geqVP
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Có một số chỗ trong bài làm của bạn mình không rõ :D

Mấy chỗ in đỏ ấy. Giải thích chi tiết giúp mình với! :)
 
V

vipboycodon

Bạn đăng cách làm đi..............................................................................
Mình nghĩ không ra.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom