Toán Bất đẳng thức

[congchuaanhsang]

Bạn thấy nhầm dấu chưa

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2001 số ta được:

$(1+x^2y+xy^2)^{2001}+2000 \geq 2011(1+xy^2+x^2y)$

$\leftrightarrow B \geq 2002$

Có thể áp dụng bđt Becnully

$(1+x^2y+xy^2)^{2001}$\geq$1+2001xy(x+y)$

\Rightarrow$b$\geq$1+2001=2002$

Nhanh gọn nhẹ

 

[congchuaanhsang]

Tiếp nhé. Bài này cải biên từ bài của anh Sói con

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=1. Tìm max:

$\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$

 

[hoamattroi_3520725127]

Mn giải thích giúp em bất đẳng thức này với ạ!

Em mới học nên đọc mấy cái tài liệu về BĐT không được hiểu cho lắm, có gì nhờ mn giải thích giúp ạ!

Trên là phần chứng minh bđt Nesbitt nhưng tại sao N + S lớn hơn hoặc bằng 4 em chưa hiểu. Mong mn giải đáp sớm

 

[xuanquynh97]

Cho a,b,c dương $a+b+c$ \geq 12 Tìm min $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Tớ có bài bất đẳng thức này m.n làm nhé

 

[braga]

Mn giải thích giúp em bất đẳng thức này với ạ!

Em mới học nên đọc mấy cái tài liệu về BĐT không được hiểu cho lắm, có gì nhờ mn giải thích giúp ạ!

Trên là phần chứng minh bđt Nesbitt nhưng tại sao N + S lớn hơn hoặc bằng 4 em chưa hiểu. Mong mn giải đáp sớm

Cái $\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+d}=(a+c)\left(\frac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)\ge \dfrac{4(a+c)}{a+b+c+d}$

 

[soicon_boy_9x]

Cho a,b,c dương $a+b+c$ \geq 12 Tìm min $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Tớ có bài bất đẳng thức này m.n làm nhé

Đề phải là $a;b;c \geq 0$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})
\geq 12+0=12$

$\leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \sqrt{12}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 số bằng 0 và 1 số bằng 12

 

[baochauhn1999]

ai giải dùm em bài này k0

Giả sử |a| + |b| + |c| > 17 . Chứng minh rằng tồn tại x thuộc [0,1] sao cho |ax^2 +bx+c|>1

ai giúp em với em thanks nhiều

 

[xuanquynh97]

Đề phải là $a;b;c$ \geq $0$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) $
\geq $12+0=12$

\leftrightarrow $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ \geq $\sqrt{12}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2 số bằng 0 và 1 số bằng 12

Chỗ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ \geq 0 bạn làm hơi khó hiểu theo mình làm thế sai
thực ra bài toán này đề của nó là tìm min $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

 

[lamdetien36]

Cho em hỏi là bđt này chứng minh thế nào ạ
$x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$
Em mới nghĩ ra cách xét từng trường hợp của x thôi

 

[angleofdarkness]

Bài này hay:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm min của $P=\dfrac{ab}{2b+c}+\dfrac{cb}{2c+a}+\dfrac{ca}{2a+b}$

 

[soicon_boy_9x]

Cho em hỏi là bđt này chứng minh thế nào ạ
$x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$
Em mới nghĩ ra cách xét từng trường hợp của x thôi

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x^{12}+x^{12}+x^{12}+1 \geq 4|x^9| \geq 4x^9$

$x^4+1+1+1 \geq 4|x| \geq 4x$

$\rightarrow 3x^{12}+x^4+4 \geq 4x^9+4x$

$\rightarrow 4x^{12}+4x^4+4 \geq 4x^9+4x$

$\leftrightarrow x^{12}-x^9+x^4-x+1 \geq 0$

Dấu "=" không xảy ra

Bài này hay:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm min của $P=\dfrac{ab}{2b+c}+\dfrac{cb}{2c+a}+\dfrac{ca}{2a+b}$

Tồn tại 3 số x,y,z dương sao cho $a=\dfrac{x}{y} \ \ \ \ \ b=\dfrac{y}{z}$ khi đó vì $abc=1$ nên $c=\dfrac{z}{x}$

$\rightarrow \dfrac{ab}{2b+c}=\dfrac{\dfrac{xy}{yz}}{\dfrac{2y}
{z}+\dfrac{z}{x}}=\dfrac{\dfrac{xy}{yz}}{\dfrac{2xy+z^2}{xz}}=
\dfrac{x^2yz}{2xy^2z+yz^3}=\dfrac{x^2}{2xy+z^2}$

Tương tự ...

Cộng từng vế ta có:

$P=\dfrac{x^2}{2xy+z^2}+\dfrac{y^2}{2yz+x^2}+ \dfrac{z^2}{2xz+y^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\rightarrow P \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} =1$

Vậy $min_P=1 \leftrightarrow a=b=c=1$

 

[soicon_boy_9x]

Chỗ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ \geq 0 bạn làm hơi khó hiểu theo mình làm thế sai
thực ra bài toán này đề của nó là tìm min $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Bạn phải đưa đề gốc lên chứ. Cách làm áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của bạn sai rồi

Đặt $A=\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}$.
Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$A(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}) \geq (a+b+c)^2$

$\leftrightarrow A \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c
\sqrt{a}}$

Áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki ta có:

$(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2 \leq (a+b+c)(ab+bc+ca) \leq
\dfrac{(a+b+c)^3}{3}=576$

$\leftrightarrow a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \leq 24$

$\leftrightarrow A \geq \dfrac{144}{24}=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=4$

 

[braga]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x^{12}+x^{12}+x^{12}+1 \geq 4|x^9| \geq 4x^9$

$x^4+1+1+1 \geq 4|x| \geq 4x$

$\rightarrow 3x^{12}+x^4+4 \geq 4x^9+4x$

$\rightarrow 4x^{12}+4x^4+4 \geq 4x^9+4x$

$\leftrightarrow x^{12}-x^9+x^4-x+1 \geq 0$

Dấu "=" không xảy ra

Dạo này thích đánh giá!!!!

+ Xét $x\ge 1$
$VT=x^9(x^3-1)+x(x^3-1)+1>0$
+ Xét $x<1$
$VT=x^{12}+x^4(1-x^5)+(1-x)>0$

 

[lamdetien36]

Bài này thì làm thế nào nhỉ
Chứng minh: $\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + ... + \dfrac{1}{n^2} < \dfrac{3}{4}$

 

[baochauhn1999]

Bài này thì làm thế nào nhỉ
Chứng minh: $\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + ... + \dfrac{1}{n^2} < \dfrac{3}{4}$

Xét n=2 thì: A =1/4 <3/4 (hiển nhiên )
Giả sử n=k đúng thì: A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) < 3/4 (với k >= 2;k thuộc N*)
Xét n=k+1 thì:
A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) + 1/(k+1)^2 < 3/4 + 1/(k+1)^2 < 3/4
Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

 

[lamdetien36]

Xét n=2 thì: A =1/4 <3/4 (hiển nhiên )
Giả sử n=k đúng thì: A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) < 3/4 (với k >= 2;k thuộc N*)
Xét n=k+1 thì:
A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) + 1/(k+1)^2 < 3/4 + 1/(k+1)^2 < 3/4
Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Chỗ đỏ đó là sao thế :|

 

[hoamattroi_3520725127]

Xét n=2 thì: A =1/4 <3/4 (hiển nhiên )
Giả sử n=k đúng thì: A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) < 3/4 (với k >= 2;k thuộc N*)
Xét n=k+1 thì:
A = 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(k^2) + 1/(k+1)^2 < 3/4 + 1/(k+1)^2 < 3/4
Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Uầy, đề có cho $x \in N^*$; x \geq 2 đâu bạn

 

[hoamattroi_3520725127]

Thầy cho em cái đề cương về BĐT mà có mấy câu em chưa nghĩ ra, hỏi mn

Tạm thời là mấy câu này, em mới làm dc nửa đề, lần sau em post tiếp

Bài 1 : Cho a,b là 2 số khác 0 và $A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$

CMR :
a) A \geq 2 nếu a,b cùng dấu
A \leq - 2 nếu a,b khác dấu.

b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.

Bài 2 : Cho abc $\not= 0$. CMR :

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 4$ \geq 3. $(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$

Bài 3 : Cho abc = 1 và $a^3 > 36$. CMR : $a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$

Bài 4 : Cho các số dương x,y,z,t. CMInh :

$\dfrac{x}{y + z + t} + \dfrac{y}{z + t + x} + \dfrac{z}{t + x + y} + \dfrac{t}{x + y + z} + \dfrac{y + z + t}{x} + \dfrac{z + t + x}{y} + \dfrac{t + x + y}{z} + \dfrac{x + y + z}{t}$ \geq 40/3

Bài 5 :

Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = 1. CMR : a + 2b + c \geq 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)

 

[huuthuyenrop2]

ko biết đúng ko vì mình cũng đang học

Bài 1 : Cho a,b là 2 số khác 0 và $A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$

CMR :
a) A \geq 2 nếu a,b cùng dấu
A \leq - 2 nếu a,b khác dấu.

b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.
Cái bài a nhé:
$A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}= \frac{a^2+b^2}{ab}$ \geq $\frac{2ab}{ab} = 2$( BĐT cô-sin nhé)
Cái câu còn lại đang nghĩ
b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.
\Leftrightarrow (A-1)(A-2) \geq 0
\Leftrightarrow $\frac{a^2+b^2-ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}$ \geq 0
Ta có: $\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} =0$

$\frac{a^2+b^2-ab}{ab}$ \geq $\frac{2ab-ab}{ab}= 1$
\Leftrightarrow $\frac{a^2+b^2-ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}$ \geq 0

 

[lamdetien36]

Thầy cho em cái đề cương về BĐT mà có mấy câu em chưa nghĩ ra, hỏi mn

Tạm thời là mấy câu này, em mới làm dc nửa đề, lần sau em post tiếp

Bài 1 : Cho a,b là 2 số khác 0 và $A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$

CMR :
a) A \geq 2 nếu a,b cùng dấu
A \leq - 2 nếu a,b khác dấu.

b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.

Bài 2 : Cho abc $\not= 0$. CMR :

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 4$ \geq 3. $(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$

Bài 3 : Cho abc = 1 và $a^3 > 36$. CMR : $a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$

Bài 4 : Cho các số dương x,y,z,t. CMInh :

$\dfrac{x}{y + z + t} + \dfrac{y}{z + t + x} + \dfrac{z}{t + x + y} + \dfrac{t}{x + y + z} + \dfrac{y + z + t}{x} + \dfrac{z + t + x}{y} + \dfrac{t + x + y}{z} + \dfrac{x + y + z}{t}$ \geq 40/3

Bài 5 :

Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = 1. CMR : a + 2b + c \geq 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)

Bài 2:
$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 4 >= 3(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$
$<=> \dfrac{a^4 + b^4 + 4a^2b^2 - 3a^3b - 3ab^3}{a^2b^2} >= 0$
$<=> \dfrac{(a^4 + b^4 + a^2b^2 - 2a^3b - 2ab^3 + 2a^2b^2) - (a^3b - a^2b^2 + ab^3)} >= 0$
$<=> \dfrac{(a^2 - ab + b^2)^2 - ab(b^2 - ab + a^2)}{a^2b^2} >= 0$
$<=> \dfrac{(a^2 - ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)}{a^2b^2} >= 0$
BDT cuối luôn đúng.
Vậy ta có ĐPCM.