Toán Bất đẳng thức

C

congchuaanhsang

xinchao2000 said:
Bài này ko phải đùa..........:D..........hơi đau não đấy!:)

$\fbox{3}$. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+ y + z = 3. CMR:

$\dfrac{x^3}{y^3 + 8} + \dfrac{y^3}{z^3 + 8} + \dfrac{z^3}{x^3 + 8}$ \geq $\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{27}.(xy + yz + zx)$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
$xy+yz+xz$\leq$\dfrac{(x+y+z)^2}{3}$\RightarrowVP \leq $\dfrac{1}{3}$ (1)

Giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x,y,z

Xét A=VT-$\dfrac{1}{3}$=$\dfrac{x^3}{y^3+8}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{y^3}{z^3+8}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{1}{9}$

=$\dfrac{9x^3-y^3-8}{x^3+8}+\dfrac{9y^3-z^3-8}{y^3+8}+\dfrac{9z^3-x^3-8}{x^3+8}$

\geq$\dfrac{8(x^3+y^3+z^3)-24}{x^3+8}$

Áp dụng Cauchy:
$x^3+1+1$\geq3x ; $y^3+1+1$\geq3y ; $z^3+1+1$\geq3z

\Rightarrow$x^3+y^3+z^3$\geq$3(x+y+z)-6$=3

\Rightarrow$8(x+y+z)$\geq24\RightarrowA\geq0 \Rightarrow VT\geq$\dfrac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2)\RightarrowVT\geqVP


@braga: $x,y,z$ có dương đấu mà $Cauchy$ em :D
 
Last edited by a moderator:
H

huy14112

congchuaanhsang said:
$xy+yz+xz$\leq$\dfrac{(x+y+z)^2}{3}$\RightarrowVP \leq $\dfrac{1}{3}$ (1)

Giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x,y,z

Xét A=VT-$\dfrac{1}{3}$=$\dfrac{x^3}{y^3+8}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{y^3}{z^3+8}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{1}{9}$

=$\dfrac{9x^3-y^3-8}{x^3+8}+\dfrac{9y^3-z^3-8}{y^3+8}+\dfrac{9z^3-x^3-8}{x^3+8}$

\geq$\dfrac{8(x^3+y^3+z^3)-24}{x^3+8}$

Áp dụng Cauchy:
$x^3+1+1$\geq3x ; $y^3+1+1$\geq3y ; $z^3+1+1$\geq3z

\Rightarrow$x^3+y^3+z^3$\geq$3(x+y+z)-6$=3

\Rightarrow$8(x+y+z)$\geq24\RightarrowA\geq0 \Rightarrow VT\geq$\dfrac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2)\RightarrowVT\geqVP
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

cái chỗ màu đỏ ấy chị suy ra ở dâu ý em nghĩ là x,y,z phải dương mới kiểu đấy chứ .........................
 
X

xinchao2000

Đúng rồi, bài này ko cho số dương~ tiếp tục nào! Cố lên......chaizo^^^^^^

vipboycodon said:
2. Theo bdt cô-si ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Thay vào S ta có: $\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b} \ge \dfrac{2\sqrt{ab}}{ \sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} \ge 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Sai rồi.........vipboycodon..........đây là dạng điểm rơi~ phải tách ra :) ...........................................................................................................................................
 
Last edited by a moderator:
X

xinchao2000

Trong khi suy nghĩ bài 3 ấy thì chúng ta hãy thử sức với bài 4 để giải tỏa Street đã nào.................;))

$\fbox{4}$. Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y = 1. CM bđt:

$\dfrac{1}{x^3 + y^3} + \dfrac{1}{xy}$ \geq $4 + 2\sqrt[]{3}$

Nguồn: bài 4 là đề thi hsg huyện tớ:), còn bài thứ 3 là đề thi hsg "......":D
<Ai giải được tớ sẽ nói nguồn sau>
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Làm gì mọi người công kích em ghê thế? Em nhầm đề chút thôi mà!:((

$x^3+y^3+z^3$=$\dfrac{x^4}{x}+\dfrac{y^4}{y} + \dfrac{z^4}{z}$

\geq$\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}$ = $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}$

$x^2+y^2+z^2$\geq$\dfrac{(x+y+z)^2}{3}$=3

\Rightarrow$x^3+y^3+z^3$\geq3

Theo Cauchy - Schwarz
 
C

congchuaanhsang

xinchao2000 said:
Trong khi suy nghĩ bài 3 ấy thì chúng ta hãy thử sức với bài 4 để giải tỏa Street đã nào.................;))

$\fbox{4}$. Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y = 1. CM bđt:

$\dfrac{1}{x^3 + y^3} + \dfrac{1}{xy}$ \geq $4 + 2\sqrt[]{3}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài này đơn giản mà:)

$\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy}$=$\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{3}{3xy}$

\geq$\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{(x+y)^2}$=$4+2\sqrt{3}$
 
V

vipboycodon

Làm bài này nhá mọi người:
5. Cho a,b > 0.
Cm: $\dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \le \sqrt{\sqrt{ab}}$
 
X

xinchao2000

Ừ, thì như mình đã nói bài 4 làm chỉ để xả Xì-chét thôi mừ :p........ Thế còn bài 3 thì sao? ~ Không cho x,y,z dương mà ..............................sao ............................áp dụng Cauchy được?
 
Last edited by a moderator:
X

xinchao2000

Áp dụng Cauchy:
$x^3+1+1$\geq3x ; $y^3+1+1$\geq3y ; $z^3+1+1$\geq3z

\Rightarrow$x^3+y^3+z^3$\geq$3(x+y+z)-6$=3

\Rightarrow$8(x+y+z)$\geq24\RightarrowA\geq0 \Rightarrow VT\geq$\dfrac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2)\RightarrowVT\geqVP
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đó chỗ đó đó....................................................................................................................
 
X

xinchao2000

@vipboycodon: Thôi, những bài dễ thì ghi PP là được- làm ra mất thời gian :);))
.........................................................................................................
 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

Thì làm để giải trí mà sao bạn lại ghi thế , còn gì mà hứng thú.................................
 
X

xinchao2000

:DNói tóm lại thì bài 3 của tớ ai giải ra chưa********************************************************************************************************************************************?????
 
X

xinchao2000

Phiền bạn làm rõ ra lại để dễ đọc được chứ?
+Mình post thêm bài được ko?:D
+Nguồn của bài 3: Thi Iran Mo - 2008
 
B

baochauhn1999

mọi người thử đọc: Những viên kim cương trong bất đẳng thức-của Trần Phương chưa
 
B

braga

xinchao2000 said:
Bài này ko phải đùa..........:D..........hơi đau não đấy!:)

$\fbox{3}$. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+ y + z = 3. CMR:

$\dfrac{x^3}{y^3 + 8} + \dfrac{y^3}{z^3 + 8} + \dfrac{z^3}{x^3 + 8}$ \geq $\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{27}.(xy + yz + zx)$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta đưa bài toán về chứng minh. $P=\dfrac{x^3}{y^3 + 8} + \dfrac{y^3}{z^3 + 8} + \dfrac{z^3}{x^3 + 8}- \dfrac{2}{27}.(xy + yz + zx)\ge \dfrac{1}{9}$
Ta có $$y^3+8=(y+2) (y^2-2y+4).$$
Đánh giá đại diện theo AM-GM:
$$\dfrac{x^3}{y^3+8}+ \dfrac{y+2}{27}+ \dfrac{y^2-2y+4}{27} \geq \dfrac{x}{3}.$$
$$\Rightarrow P \geq \dfrac{\sum x}{3}-3.\dfrac{6}{27}+ \dfrac{2}{27} \sum x -\dfrac{1}{27} \sum x+\dfrac{1}{27} (\sum x )^2 .$$
Với $\sum x=3$ ta có ngay dpcm.
 
S

sytuoi123

cho a, b,c>0 và a+b+c=abc. tìm max
$\dfrac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca(1+b^ 2)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom