0
0973573959thuy
Câu b thì lm sao chứng minh dc $\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = 0$
Có cho a = b đâu bạn
Last edited by a moderator:
Câu b thì lm sao chứng minh dc $\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = 0$
Có cho a = b đâu bạn
H
huuthuyenrop2
Làm lại câu b nhé.
Áp dụng BĐT cô-si:
$\frac{a^2+b^2}{ab} \geq \frac{2ab}{ab}$
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0$
Ta có:
$A^2 - 3A + 2$
= (A-1)(A-2)
$=\frac{a^2+b^2-ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}$
Ta có:
$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0$
$\frac{a^2+b^2-ab}{ab} \geq \frac{2ab-ab}{ab}= 1$
\Rightarrow $A^2 - 3A + 2 \geq 0$
Áp dụng BĐT cô-si:
$\frac{a^2+b^2}{ab} \geq \frac{2ab}{ab}$
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0$
Ta có:
$A^2 - 3A + 2$
= (A-1)(A-2)
$=\frac{a^2+b^2-ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}$
Ta có:
$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0$
$\frac{a^2+b^2-ab}{ab} \geq \frac{2ab-ab}{ab}= 1$
\Rightarrow $A^2 - 3A + 2 \geq 0$
T
thinhrost1
Thầy cho em cái đề cương về BĐT mà có mấy câu em chưa nghĩ ra, hỏi mn
Tạm thời là mấy câu này, em mới làm dc nửa đề, lần sau em post tiếp
Bài 1 : Cho a,b là 2 số khác 0 và $A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$
CMR :
a) A \geq 2 nếu a,b cùng dấu
A \leq - 2 nếu a,b khác dấu.
b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.
Bài 2 : Cho abc $\not= 0$. CMR :
$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 4$ \geq 3. $(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$
Bài 3 : Cho abc = 1 và $a^3 > 36$. CMR : $a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$
Bài 4 : Cho các số dương x,y,z,t. CMInh :
$\dfrac{x}{y + z + t} + \dfrac{y}{z + t + x} + \dfrac{z}{t + x + y} + \dfrac{t}{x + y + z} + \dfrac{y + z + t}{x} + \dfrac{z + t + x}{y} + \dfrac{t + x + y}{z} + \dfrac{x + y + z}{t}$ \geq 40/3
Bài 5 :
Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = 1. CMR : a + 2b + c \geq 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)
Bài 2 mình có cách này:
$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+4\geq 3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\\\Leftrightarrow (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2+2\geq 3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})$
Đặt $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=a$
Thì áp dụng theo câu 1 ta có đpcm
B
baochauhn1999
..
thì A bắt đầu từ 1/2^2 mà..............................................
Uầy, đề có cho $x \in N^*$; x \geq 2 đâu bạn
thì A bắt đầu từ 1/2^2 mà..............................................
B
baochauhn1999
mình k0 bít gõ Latex
Bài 4:
A = [ x/(y+z+t) + y/(z+t+x) + z/(t+x+y) + t/(x+y+z) + (y+z+t)/9x + (z+t+x)/9y + (t+x+y)/9z + (x+y+z)/9t ] + 8(y+z+t)/9x + 8(z+t+x)/9y + 8(t+x+y)/9z + 8(x+y+z)/9t
>= 8 căn bậc 8 của [x/(y+z+t) . y/(z+t+x) . z/(t+x+y) . t/(x+y+z) . (y+z+t)/9x . (z+t+x)/9y . (t+x+y)/9z (x+y+z)/9t ] +8/9( y/x + z/x + t/x + z/y + t/y+ x/y + t/z + x/z + y/z + z/t + x/t + y/t ) Theo bdt AM-GM
>= 8/3 + 8/9 . 12 căn bậc 12 của ( y/x . z/x . t/x . z/y . t/y. x/y . t/z . x/z . y/z . z/t . x/t . y/t ) Theo bdt AM-GM
>= 8/3 + 8/9 . 12 = 8/3 + 32/3 = 40/3 dpcm
Thầy cho em cái đề cương về BĐT mà có mấy câu em chưa nghĩ ra, hỏi mn
Tạm thời là mấy câu này, em mới làm dc nửa đề, lần sau em post tiếp
Bài 1 : Cho a,b là 2 số khác 0 và $A = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$
CMR :
a) A \geq 2 nếu a,b cùng dấu
A \leq - 2 nếu a,b khác dấu.
b) $A^2 - 3A + 2$ \geq 0.
Bài 2 : Cho abc $\not= 0$. CMR :
$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 4$ \geq 3. $(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$
Bài 3 : Cho abc = 1 và $a^3 > 36$. CMR : $a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$
Bài 4 : Cho các số dương x,y,z,t. CMInh :
$\dfrac{x}{y + z + t} + \dfrac{y}{z + t + x} + \dfrac{z}{t + x + y} + \dfrac{t}{x + y + z} + \dfrac{y + z + t}{x} + \dfrac{z + t + x}{y} + \dfrac{t + x + y}{z} + \dfrac{x + y + z}{t}$ \geq 40/3
Bài 5 :
Cho a,b,c > 0 thỏa a + b + c = 1. CMR : a + 2b + c \geq 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)
Bài 4:
A = [ x/(y+z+t) + y/(z+t+x) + z/(t+x+y) + t/(x+y+z) + (y+z+t)/9x + (z+t+x)/9y + (t+x+y)/9z + (x+y+z)/9t ] + 8(y+z+t)/9x + 8(z+t+x)/9y + 8(t+x+y)/9z + 8(x+y+z)/9t
>= 8 căn bậc 8 của [x/(y+z+t) . y/(z+t+x) . z/(t+x+y) . t/(x+y+z) . (y+z+t)/9x . (z+t+x)/9y . (t+x+y)/9z (x+y+z)/9t ] +8/9( y/x + z/x + t/x + z/y + t/y+ x/y + t/z + x/z + y/z + z/t + x/t + y/t ) Theo bdt AM-GM
>= 8/3 + 8/9 . 12 căn bậc 12 của ( y/x . z/x . t/x . z/y . t/y. x/y . t/z . x/z . y/z . z/t . x/t . y/t ) Theo bdt AM-GM
>= 8/3 + 8/9 . 12 = 8/3 + 32/3 = 40/3 dpcm
F
forum_
Các em trích dẫn vừa thôi, mất thẩm mĩ ="=
Bài 5 chưa ai làm .......
Từ: $a+b+c = 1 => 1-c=a+b$
Ta có: $4.(1-a).(1 - c) = 4.(1-a).(a+b)$ \leq $(1-a+a+b)^2$ = $(1+b)^2$
=> $4.(1-a).(1 - b).(1-c)$ \leq $(1+b)^2.(1-b) = (1 - b^2).(1 + b)$ \leq $(1+b) = a+b+c+b = a+2b+c$
=> $a+2b+c$ \geq $4.(1-a).(1 - b).(1-c)$
0
0973573959thuy
Bài 3 làm thế này không biết đúng không, sai thì thôi
$a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} > ab +ac + bc - b^2 - c^2$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - ab - ac - bc + b^2 + c^2 > 0$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + b^2 + c^2 + 2bc - 3bc > 0$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + (b + c)^2 - 3bc > 0$ (1)
Có : abc = 1 $\rightarrow bc = \dfrac{1}{a} \rightarrow (1) \leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + (b + c)^2 - \dfrac{3}{a} > 0$
$\rightarrow \dfrac{a^3}{3} - a^2(b + c) + a(b + c)^2 - 3 > 0$ (Nhân 2 vế BĐT với a > 0 vì $a^3 > 36$)
Đặt $b + c = x$ ta có : $ax^2 - a^2x + \dfrac{a^3}{3} - 3 > 0$
$\leftrightarrow \Delta = a^4 - 4a(\dfrac{a^3}{3} - 3) < 0$
$\leftrightarrow a^4 - \dfrac{4a^4}{3} + 12a < 0$
$\leftrightarrow \dfrac{-a^4}{3} + 12a < 0$
$\leftrightarrow -12a^4 + 36.12a < 0$ (nhân 2 vế bđt với 36)
$\leftrightarrow 12a(36 - a^3) < 0$ đúng vì $a^3 > 36, a > 0$
$\rightarrow Q.E.D$
$a^2 > 3(ab + ac + bc - b^2 - c^2)$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} > ab +ac + bc - b^2 - c^2$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - ab - ac - bc + b^2 + c^2 > 0$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + b^2 + c^2 + 2bc - 3bc > 0$
$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + (b + c)^2 - 3bc > 0$ (1)
Có : abc = 1 $\rightarrow bc = \dfrac{1}{a} \rightarrow (1) \leftrightarrow \dfrac{a^2}{3} - a(b + c) + (b + c)^2 - \dfrac{3}{a} > 0$
$\rightarrow \dfrac{a^3}{3} - a^2(b + c) + a(b + c)^2 - 3 > 0$ (Nhân 2 vế BĐT với a > 0 vì $a^3 > 36$)
Đặt $b + c = x$ ta có : $ax^2 - a^2x + \dfrac{a^3}{3} - 3 > 0$
$\leftrightarrow \Delta = a^4 - 4a(\dfrac{a^3}{3} - 3) < 0$
$\leftrightarrow a^4 - \dfrac{4a^4}{3} + 12a < 0$
$\leftrightarrow \dfrac{-a^4}{3} + 12a < 0$
$\leftrightarrow -12a^4 + 36.12a < 0$ (nhân 2 vế bđt với 36)
$\leftrightarrow 12a(36 - a^3) < 0$ đúng vì $a^3 > 36, a > 0$
$\rightarrow Q.E.D$
C
chuotdelux
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=188702
Mọi người giải thích giúp em tại sao phần cuối anh harrypham suy ra được $\dfrac{a^4 + b^4}{(a + b)(a^2 + b^2)}$ \geq $\dfrac{a + b}{4}$
Đây có phải là 1 hằng bất đẳng thức k ạ ?
H
huy14112
Áp dụng bất đẳng thức cauchy- Schwarz có :
$a^4+b^4=\dfrac{4(a^4+b^4)}{4} \ge \dfrac{2(a^2+b^2)^2}{4} \ge \dfrac{(a+b)^2(a^2+b^2)}{4} . $
$a^4+b^4=\dfrac{4(a^4+b^4)}{4} \ge \dfrac{2(a^2+b^2)^2}{4} \ge \dfrac{(a+b)^2(a^2+b^2)}{4} . $
F
forum_
Tiếp nào.............
Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
$\dfrac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{(a + b + c )^3}{abc}$
Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
$\dfrac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{(a + b + c )^3}{abc}$
Last edited by a moderator:
B
bosjeunhan
Đã thành một ổ spam
Mod đi đâu hết rồi @@
Cho $a,b,c > 0$ tìm GTNN và GTLN của biếu thức
$P= \dfrac{2a^2}{(a+b)^2} + \dfrac{2b^2}{(b+c)^2} + \dfrac{2c^2}{(c+a)^2} + \dfrac{4a^2b^2}{(a+b)^2(b+c)^2}$
Mod đi đâu hết rồi @@
Cho $a,b,c > 0$ tìm GTNN và GTLN của biếu thức
$P= \dfrac{2a^2}{(a+b)^2} + \dfrac{2b^2}{(b+c)^2} + \dfrac{2c^2}{(c+a)^2} + \dfrac{4a^2b^2}{(a+b)^2(b+c)^2}$
C
congchuaanhsang
Đề thi HSG cấp huyện năm nay của Hoằng Hoá
Áp dụng $(a+b+c)^3$\geq$a^3+b^3+c^3+24abc$
F
forum_
Vậy hả? Nhưng nếu theo cách em thì mới được biểu thức sau thôi
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
Tất nhiên là phải kết hợp với biến đổi biểu thức đầu
Vậy hả? Nhưng nếu theo cách em thì mới được biểu thức sau thôi
Mình nghĩ đây là một bài bđt hay nên tạm thời mình chưa post lời giải. Các bạn cùng suy nghĩ nhé^^
@forum: pm lời giải của chị cho em coi có giống của em ko^^
F
forum_
Chị thấy đáp án giải cách rất hay nhưng ko sử dụng bdt phụ là
$(a+b+c)^3$\geq$a^3+b^3+c^3+24abc$. Em post cách em lên đi...
$(a+b+c)^3$\geq$a^3+b^3+c^3+24abc$. Em post cách em lên đi...
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
Chị thấy đáp án giải cách rất hay nhưng ko sử dụng bdt phụ là
$(a+b+c)^3$\geq$a^3+b^3+c^3+24abc$. Em post cách em lên đi...
A\geq$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}$
\LeftrightarrowA\geq$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}+24$
A\geq$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+24$ (Cauchy - Schwarz)
A\geq$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+26$
A\geq2+26=28 (Cauchy)
C
congchuaanhsang
Các bạn làm thử bài bđt trong đề thi của huyện mình vừa rồi (thi ngày 27/11)
Cho 0<x,y,z\leq1. Cm
$\dfrac{x}{1+y+xz}+\dfrac{y}{1+z+xy}+\dfrac{z}{1+x+yz}$\leq$\dfrac{3}{x+y+z}$
Cho 0<x,y,z\leq1. Cm
$\dfrac{x}{1+y+xz}+\dfrac{y}{1+z+xy}+\dfrac{z}{1+x+yz}$\leq$\dfrac{3}{x+y+z}$
B
braga
Chia 3 VP ra rồi biến đổi tương đương !!!
p/s: đang cai nghiện Bđt nên không chém
@congchua: Nói nghe hay nhỉ^^
@vipboy : giải ra luôn đi.
@braga: nhìn , đoán là thế
Last edited by a moderator:
F
forum_
Giải:
0 < x,y,z \leq 1 \Rightarrow $(1 -z )(1 -x)$ \geq 0 \Leftrightarrow 1 + zx \geq z + x
\Leftrightarrow $\dfrac{x}{1 + y + zx}$ \leq $\dfrac{x}{x + y + z}$
Tương tự ta cũng có: $\dfrac{y}{1 + z + xy}$ \leq $\dfrac{y}{x + y + z}$
và $\dfrac{z}{1 + x + yz}$ \leq $\dfrac{z}{x + y + z}$
Suy ra: $\dfrac{x}{1 + y + zx}$ + $\dfrac{y}{1 + z + xy}$ + $\dfrac{z}{1 + x + yz}$ \leq $\dfrac{x + y +z}{x + y + z}$
Mặt khác từ 0 < x,y,z \leq 1 \Rightarrow x + y + z \leq 3
Vậy bđt được chứng minh
C
congchuaanhsang
Làm theo cách của anh braga cũng được chỉ có điều ta sẽ xét $(y-1)(y+z+1)$
Sẽ ra trực tiếp VT\leqVP
Sẽ ra trực tiếp VT\leqVP