Chỗ này bác dùng Schwarz ra nhanh hơn đấy :v
[tex]P=\sum \frac{(\frac{1}{a^2})^2}{ab+ac} \geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)} =\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ac}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]P=\sum \frac{(\frac{1}{a^2})^2}{ab+ac} \geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)} =\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ac}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
- 24 Tháng ba 2017
- 231
- 193
- 109
- 22
- Ninh Bình
- Trường THPT Kim Sơn B
| cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b+2ab=12 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |
Viết lại đề:
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b+2ab=12. Tìm GTNN của [tex]\frac{a^{2}+ab}{a+2b}+\frac{b^{2}+ab}{2a+b}[/tex]
___________________
Có [tex]12=a+b+2ab=a+b+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}\geq 6\sqrt[6]{\frac{a^{5}b^{5}}{2^{4}}}\Rightarrow ab\leq 4[/tex] (BĐT Cauchy cho 6 số dương)
BĐT phụ: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]
Áp dụng: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\Rightarrow \frac{1}{a+2b}\leq \frac{1}{9a}+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}\Rightarrow \frac{-ab}{a+2b}\geq \frac{-b}{9}+\frac{-b}{9}+\frac{-a}{9}[/tex]
Tương tự được: $\frac{-ab}{2a+b}\geq \frac{-a}{9}+\frac{-a}{9}+\frac{-b}{9}$
Đặt [tex]P=\frac{a^{2}+ab}{a+2b}+\frac{b^{2}+ab}{2a+b}=a-\frac{ab}{a+2b}+b-\frac{ab}{2a+b}\geq a-\frac{b}{9}-\frac{b}{9}-\frac{a}{9}+b-\frac{a}{9}-\frac{a}{9}-\frac{b}{9}=\frac{2}{3}(a+b)=\frac{2}{3}(12-2ab)\geq \frac{2}{3}(12-2.4)=\frac{8}{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra tại a=b=2
[tex]\sum \frac{a^{2}+1}{ab+a+1}\geqslant \sum \frac{2a}{ab+a+1}=2\sum \frac{a}{ab+a+1}=2[/tex]
Bổ đề: [tex]abc=1[/tex] thì [tex]\sum \frac{a}{ab+a+1}=1[/tex]
cho a, b, c là các số thỏa mãn a>=0, b>=0, c>=0.chứng minh rằng
1/(2a-1)+1/(2b-1)+1/(2c-1)+4ab/(1+ab)+4bc/(1+bc)+4ca/(1+ca)<=9
1/(2a-1)+1/(2b-1)+1/(2c-1)+4ab/(1+ab)+4bc/(1+bc)+4ca/(1+ca)<=9
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ac+abc=2. Tìm Max: M= (a+1)/(a^2+2a+2) + (b+1)/(b^2+2b+2) + (c+1)/(c^2+2c+2)
cho a, b, c là các số thưc dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: (a + bc)/(b + c) + (b + ca)/(c + a) + (c + ab)/(a + b) lớn hơn hoặc bằng 2.
Có: [tex]\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b+ca}{c+a}=\frac{b(a+b+c)+ca}{c+a}=\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}[/tex]
[tex]\frac{c+ab}{a+b}=\frac{c(a+b+c)+ab}{a+b}=\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}[/tex]
Suy ra: $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}$ (*)
Có: [tex]\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}}=2(a+b)[/tex] (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
Tương tự: [tex]\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(b+c);\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(c+a)[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên được:
$2(\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b})\geq 2(a+b+b+c+c+a)$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+b+c)=2$ (**)
Từ (*) và (**) => đpcm
Last edited:
Các anh chị giúp e với
cho các sô thực dương thỏa a+b+c+d=3. CMR:
1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2<=1/(abcd)^2
cho các sô thực dương thỏa a+b+c+d=3. CMR:
1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2<=1/(abcd)^2
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 =3 . Chứng minh rằng
1/(4-căn(ab))+1/(4-căn(bc))+1/(4-căn(ca))<=1
Bài khó quá à, anh chị giúp em với ạ
1/(4-căn(ab))+1/(4-căn(bc))+1/(4-căn(ca))<=1
Bài khó quá à, anh chị giúp em với ạ
- 6 Tháng tám 2017
- 592
- 263
- 134
- 20
- Phú Yên
- THCS Huỳnh Thúc Kháng
Ta có: [tex]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1[/tex]
Lại có [tex]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b+c-c}{b+c}+\frac{c+a-a}{a+c}[/tex]
[tex]=1+1+1-\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a} \right )[/tex]
[tex]=3-\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a} \right )[/tex]
Mà [tex]\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a} >1[/tex]
Nên [tex]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>3-1=2[/tex]
Suy ra đpcm