J
janbel
Nói chung là bài này nhiều cách AM-GM cũng được; Holder cũng được hay Cauchy-Schwarz cũng được tất...
Nói chung là bài này nhiều cách AM-GM cũng được; Holder cũng được hay Cauchy-Schwarz cũng được tất...
C
congchuaanhsang
Có nhiều cách làm
Theo Cauchy - Schwarz;
$a^3+b^3+c^3$ \geq$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}$=$(a^2+b^2+c^2)^2$
$a^2+b^2+c^2$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$=$\dfrac{1}{3}$
\Rightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2$\geq$\dfrac{1}{9}$
S
soicon_boy_9x
Còn 1 cách biến đổi tương đương nữa.
$(a-\dfrac{1}{3})^2(a+\dfrac{1}{3}) \geq 0$
$\leftrightarrow (a^2-\dfrac{1}{9})(a-\dfrac{1}{3}) \geq 0$
$\leftrightarrow a^3-\dfrac{1}{3}a^2-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{1}{27} \geq
0$
Tương tự cộng từng vế ta được:
$a^3+b^3+c^3-\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{1}{9}(a+b+c)+
\dfrac{1}{9} \geq 0$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) \geq
\dfrac{1}{9}(a+b+c)^2=\dfrac{1}{9}$
B
braga
Nối tiếp loại này anh em chém liên tiếp 2 bài sau!!Anh em làm bài bđt khá mạnh sau
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge 9+3\sqrt[3]{\left(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right)^2}$$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge 9+3\sqrt[3]{\left(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{abc}\right)^2}$$
và $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}+3\sqrt[3]{\left(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right)^2}$$
Có vẻ là nhẹ hơn bài kia!!
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
1, Áp dụng Cauchy cho 3 số:
$3\sqrt[3]{(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{abc})^2}+9$
\leq $(\dfrac{(b-a)^2}{ab}+\dfrac{(c-b)^2}{bc}+\dfrac{(c-a)^2}{ac}+6)+3$
=$\dfrac{cb^2+ca^2+ac^2+ab^2+bc^2+ba^2}{abc}+3$
=$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3$
=$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
$3\sqrt[3]{(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{abc})^2}+9$
\leq $(\dfrac{(b-a)^2}{ab}+\dfrac{(c-b)^2}{bc}+\dfrac{(c-a)^2}{ac}+6)+3$
=$\dfrac{cb^2+ca^2+ac^2+ab^2+bc^2+ba^2}{abc}+3$
=$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3$
=$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
C
congchuaanhsang
2, Vẫn Cauchy cho 3 số:
$3\sqrt[3]{(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)})^2}+\dfrac{3}{2}$
\leq $\dfrac{(b-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{(c-b)(a-c)}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{(b-a)(a-c)}{(a+b)(c+a)} + \dfrac{3}{2}$
=$\dfrac{6abc-b^2a-a^2b-bc^2-b^2c-ca^2-c^2a+\dfrac{3}{2}(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
=$\dfrac{9abc+\dfrac{1}{2}(a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
VT=$\dfrac{a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
\geq $\dfrac{6abc+a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
(Vì $a^3+b^3+c^3$ \geq$3abc$)
Như vậy ta phải chứng minh:
$6abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$ \geq $9abc+ \dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$\geq$3abc$
Mà $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$=$(a+b)(b+c)(c+a)$ \geq$8abc$
\Rightarrow $a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a$\geq6abc
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$\geq$3abc$
Vật bđt được cm
@braga: có lẽ là dài
$3\sqrt[3]{(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)})^2}+\dfrac{3}{2}$
\leq $\dfrac{(b-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{(c-b)(a-c)}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{(b-a)(a-c)}{(a+b)(c+a)} + \dfrac{3}{2}$
=$\dfrac{6abc-b^2a-a^2b-bc^2-b^2c-ca^2-c^2a+\dfrac{3}{2}(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
=$\dfrac{9abc+\dfrac{1}{2}(a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
VT=$\dfrac{a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
\geq $\dfrac{6abc+a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
(Vì $a^3+b^3+c^3$ \geq$3abc$)
Như vậy ta phải chứng minh:
$6abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$ \geq $9abc+ \dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$\geq$3abc$
Mà $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$=$(a+b)(b+c)(c+a)$ \geq$8abc$
\Rightarrow $a^2b+b^2a+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a$\geq6abc
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{2}(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$\geq$3abc$
Vật bđt được cm
@braga: có lẽ là dài
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
OK rất cảm ơn anh braga ^^
Chúng ta hãy làm bài tiếp theo:
Cho a.b.c>0. Cm $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$\geq$ab+bc+ca$
Chúng ta hãy làm bài tiếp theo:
Cho a.b.c>0. Cm $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$\geq$ab+bc+ca$
B
braga
Đơn giản là $Cauchy-Schwarz$:
$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$$
$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}$\geq$ab+bc+ca$ chứ
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
Tiếp bài nữa nhé
Cho a,b,c>0
Cm $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}$ \geq $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Cho a,b,c>0
Cm $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}$ \geq $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
X
xuanquynh97
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=335272
Bài bất đẳng thức này mình làm không ra hỏi mọi người ạ
Bài bất đẳng thức này mình làm không ra hỏi mọi người ạ
H
huy14112
Tiếp bài nữa nhé
Cho a,b,c>0
Cm $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}$ \geq $\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}= \dfrac{a^4+b^4+c^4}{abc}=\dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{27abc} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^3}=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3}=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
TRong bài trên em có sử dụng AM-GM và Cauchy-Schwarz nhá !
S
soicon_boy_9x
Tiếp bài nữa nhé:
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)} \geq \dfrac{3}
{1+abc}$
Cho a,b,c dương. Chứng minh
$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)} \geq \dfrac{3}
{1+abc}$
C
congchuaanhsang
BĐT cần cm tương đương với:
$\dfrac{abc+1}{a(b+1)}+\dfrac{abc+1}{b(c+1)} + \dfrac{abc+1}{c(a+1)}$ \geq 3
\Leftrightarrow$[\dfrac{abc+1}{a(b+1)}+1]+[\dfrac{abc+1}{b(c+1)}+1]+[\dfrac{abc+1}{c(a+1)}]$\geq6
\Leftrightarrow$\dfrac{abc+ab+a+1}{a(b+1)}+\dfrac{abc+bc+b+1}{b(c+1)}+\dfrac{abc+ac+c+1}{c(a+1)}$ \geq 6
\Leftrightarrow$[\dfrac{a+1}{a(b+1)}+\dfrac{a(b+1)}{a+1}]+[\dfrac{b(c+1)}{b+1}+\dfrac{b+1}{b(c+1)}]+[\dfrac{c(a+1)}{c+1}+\dfrac{c+1}{c(a+1)}]$\geq6
BĐT này luôn đúng theo Cauchy
Vậy bài toán giải xong.
X
xinchao2000
^^Nãy giờ toàn làm bài nhiều số cả, bây giờ anh em thử bài 2 số xem nhé!
$\fbox{1}$ Cho a \geq 2. Tìm min $S = a + \dfrac{1}{a^2}$
$\fbox{2}$ Cho a,b > 0. Tìm min $S = \dfrac{a+b}{\sqrt[]{ab}} + \dfrac{\sqrt[]{ab}}{a+b}$
/Đánh số thứ tự bài nữa để tiện theo dõi
V
vipboycodon
2. Theo bdt cô-si ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Thay vào S ta có: $\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b} \ge \dfrac{2\sqrt{ab}}{ \sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} \ge 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Thay vào S ta có: $\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b} \ge \dfrac{2\sqrt{ab}}{ \sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} \ge 2+\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$
Last edited by a moderator:
X
xinchao2000
Bài này ko phải đùa....................hơi đau não đấy!
$\fbox{3}$. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+ y + z = 3. CMR:
$\dfrac{x^3}{y^3 + 8} + \dfrac{y^3}{z^3 + 8} + \dfrac{z^3}{x^3 + 8}$ \geq $\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{27}.(xy + yz + zx)$
..........hơi đau não đấy!$\fbox{3}$. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+ y + z = 3. CMR:
$\dfrac{x^3}{y^3 + 8} + \dfrac{y^3}{z^3 + 8} + \dfrac{z^3}{x^3 + 8}$ \geq $\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{27}.(xy + yz + zx)$
X
xinchao2000
Đáp số chính xác! nhưng chỗ này nó.......sao sao ấy
$\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b} = \dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}$
Là \geq
$\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b} = \dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}$
Là \geq
Last edited by a moderator:
C
congchuaanhsang
$\fbox{1}$
^^Nãy giờ toàn làm bài nhiều số cả, bây giờ anh em thử bài 2 số xem nhé!
$\fbox{1}$ Cho a \geq 2. Tìm min $S = a + \dfrac{1}{a^2}$
$\fbox{2}$ Cho a,b > 0. Tìm min $S = \dfrac{a+b}{\sqrt[]{ab}} + \dfrac{\sqrt[]{ab}}{a+b}$
/Đánh số thứ tự bài nữa để tiện theo dõi
S=$\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3a}{4}$
\geq$3\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}+\dfrac{3.2}{4}$=$\dfrac{9}{4}$ (Cauchy 3 số)
X
xinchao2000
X
xuanquynh97
Cho a,b,c >0 ; abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(a+1)(c+1)}$\leq $\frac{3}{4}$
Chứng minh rằng : $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(a+1)(c+1)}$\leq $\frac{3}{4}$