Toán Bất đẳng thức

V

vipboycodon

áp dụng bdt cô-si cho 3 số không âm ta có:
$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{x}} \ge 3$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x}$
 
V

vipboycodon

áp dụng bdt cô-si ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$a+c \ge 2\sqrt{ac}$
nhân vế với vế ta có:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2}$
<=> $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.
 
M

monokuru.boo

Nhân 2 vô 2 vế sau đó biến đổi tương đương ta luôn được 1 BĐT đúng
@congchuaanhsang: Chúng ta đang xét đến bđt Cauchy^^
 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

Áp dụng bdt cô-si ta có:
$x+y \ge 2\sqrt{xy}$
$x+z \ge 2\sqrt{xz}$
$y+z \ge 2\sqrt{yz}$
Cộng vế với vế ta có:
$2(x+y+z) \ge 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})$
<=> $x+y+z \ge \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y =z$
 
B

braga

Bắt đầu từ giờ, anh em đánh số thứ tự bài nha:D
Bài 1: Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$ chứng minh:
$$\sum \dfrac{a}{(ab+a+1)^2}\ge \dfrac{1}{a+b+c}$$
p/s: bài nay ai tinh mắt chỉ có 1 phát là ra thôi :p
 
C

congchuaanhsang

Tạm biệt Cauchy đến với Bunyakovsky nha!

Cho a,b,c>0 và a+b+c=9

Tìm min C=$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}$
 
Last edited by a moderator:
P

popstar1102


áp dụng bdt Cauchy-Schwarz ta có

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(1+2+3)^2}{a+b+c}[/TEX]=[TEX]\frac{36}{9}[/TEX]=4

dấu''='' xảy ra \Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}[/TEX]
và a+b+c =9
\Rightarrow tìm a,b,c nha bạn
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

OK đáng ra mình sẽ post đề khác nhưng các bạn thử xem xem bài trên có giải theo Cauchy được không^^
 
B

braga

Anh em làm bài bđt khá mạnh sau :D
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge 9+3\sqrt[3]{\left(\dfrac{(b-a)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right)^2}$$
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Áp dụng Cauchy cho 3 số :

$3\sqrt[3]{ ( \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} )^2 }$

\leq $\dfrac{(a-b)(b-c)}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{(b-c)(c-a)}{(b+c)(c+a)}+\dfrac{(a-b)(c-a)}{(a+b))(c+a)}$

\Rightarrow $3\sqrt[3] { ( \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} )^2 }$+6

\leq $\dfrac{(a-b)(b-c)(c+a)+(b-c)(c-a)(a+b)+(a-b)(c-a)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+6$

\leq $\dfrac{(a-b)(b-c)(c+a)+(b-c)(c-a)(a+b)+(a-b)(c-a)(b+c)}{8abc}+6$

\Rightarrow VP-3\leq$\dfrac{54abc-ac^2-ab^2-a^2b-a^2c-b^2c-bc^2}{8abc}$

VT=$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+3$

=$\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b+b^2c+a^2b+c^2a}{abc}+3$

Ta phải chứng minh:

$\dfrac{54abc-ac^2-b^2a-a^2b-a^2c-b^2c-bc^2}{8abc}$

\leq $\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b+b^2c+a^2b+c^2a}{abc}$

\Leftrightarrow $8(a^2c+b^2a+c^2b+b^2c+a^2b+c^2a)$ \geq $54abc-ac^2-b^2a-a^2b-a^2c-b^2c-bc^2$

\Leftrightarrow $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$\geq$6abc$

\Leftrightarrow $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$\geq$8abc$

\Leftrightarrow $(a+b)(b+c)(c+a)$\geq$8abc$ (luôn đúng theo Cauchy)

Vậy bđt được cm
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

OK bđt của anh braga quá mạnh^^
Tiếp nào:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm min:
A=$a^3+b^3+c^3$
 
S

soicon_boy_9x

$a^3+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{27} \geq \dfrac{a}{3}$

Tương tự cộng tưng vế

Nếu được sử dụng cố thể áp dụng luôn Holder

Tiếp một bài.Bài này sử dụng điểm rơi AM-GM

Cho $x,y >0$ và $x+y \geq 6$.Tìm gtnn $3x^2+\dfrac{6y}{x}+2y^2+\dfrac{8x}{y}+5xy$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom