Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[mathvn]

Cho các số [TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn
[TEX]ab+bc+ac=3abc [/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a} \le 1[/TEX]

[TEX]VT\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[mathvn]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa [TEX]ab+bc+ca \geq 1[/TEX].


Chứng minh:

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

chém bừa, nếu có ai giải rùi thì sr nhé
BDDT \Leftrightarrow [TEX]VT\ge \sum\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge \frac{3a}{4}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\sum\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}\ge \frac{a+b+c}{4}\ge \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}\ge \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

 

[mathvn]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{ab+1}{ab+c}+\frac{bc+1}{bc+a}+\frac{ac+1}{ac+b} \ge \frac{15}{2}[/TEX]

[TEX]Vt\sum\frac{ab+1}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum \ ab(a+b)+2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{15}{2}[/TEX]
BĐT \Leftrightarrow [TEX]2pq-6r+4\ge 15 pg -15r[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]9r+4 \ge 13q[/TEX] (p=1)
mà [TEX]9r\ge \ p(4q-p)=4q-1 (Shur)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]9r+4\ge \ 4q+3\ge \ 13 q ( beacause q\le \frac{1}{3} [/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thoả mãn [TEX]a^4+b^4+c^4=3[/TEX] .Chứng minh

[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac} \le 1[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[TEX]Vt\sum\frac{ab+1}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum \ ab(a+b)+2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)\ge \frac{15}{2}[/TEX]
BĐT \Leftrightarrow [TEX]2pq-6r+4\ge 15 pg -15r[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]9r+4 \ge 13q[/TEX] (p=1)
mà [TEX]9r\ge \ p(4q-p)=4q-1 (Shur)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]9r+4\ge \ 4q+3\ge \ 13 q ( beacause q\le \frac{1}{3} [/TEX]

Toàn chém bài mình thế mới nản!!!

Thế a+b+c=1 ta được:
[TEX]\frac{ab+1}{ab+c}=\frac{ab+a+b+c}{ab+c}=1+\frac{a+b}{ab+c(a+b+c)}=1+\frac{a+b}{(a+c)(c+b)}[/TEX]
[tex]a+b =x,b+c=y,a+c=z \Rightarrow x+y+z=2[/tex]
Vậy cần [tex]CM \sum{\frac{x}{yz} \ge \frac{9}{2}[/tex]
Thật vậy :theo [tex]AM-GM[/tex]
[tex]\sum{\frac{x}{yz} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}} \ge \frac{9}{2}[/tex]

[TEX]\frac{a^3}{b^2+1} \ge \frac{a^3}{b^2+ab+ac+bc}=\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}[/TEX]
[tex]\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8} \ge \frac{3a}{4}[/tex]
[TEX]\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{4} \ge \frac{\sqrt{3}}{4}[/TEX]

.....................................................................................................................................

 

[bigbang195]

Đề giải toán qua thử của Tạp trí Toán tuôi thơ, ai làm được thì gửi về
taolavanson@yahoo.com nhá =))=))

 

[mathvn]

Toàn chém bài mình thế mới nản!!!


.....................................................................................................................................

ak,lúc đầu em đã nói trước,em ko nhớ đã có ai giải chưa tại em chỉ lấy để chứ ko xem giải,nếu anh đã làm rùi thì thui,cho em sr cái

 

[mathvn]

Cho a,b,c ko âm t/m [TEX]a+b+c=5[/TEX]
Tìm min :
[TEX]P=\sqrt{a+1} + \sqrt{2b+1} + \sqrt{3c+1}[/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt{a+1} =x ;\sqrt{2b+1}=y ; \sqrt{3c+1}=z[/TEX] \Rightarrow [TEX]x\le \sqrt{6};y\ge 1; z\ge 1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a=x^2-1;b=\frac{y^2-1}{2};c=\frac{z^1-1}{3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]6x^2+2y^2+3z^2=41[/TEX]
\Rightarrow [TEX]41=3(x+y+z)^2-6x(y+z)-6yz+3x^2-y^2\le \ 3(x+y+z)^2-12\sqrt{6}-6+18-1[/TEX] do [TEX]x\le \sqrt{6};y\ge 1; z\ge 1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3(x+y+z)^2\ge \ 30+12\sqrt{6}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x+y+z\ge \sqrt{6}+2[/TEX]
p/s:có sai xót gì xin đc cho ý kiến,ai có cách khác post xem chơi,nhất là đáp án

 

[letrang3003]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương . Chứng minh

thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh

[TEX]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \ge ab+bc+ac[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX] a+b+c=3 => 1\ge abc[/TEX]

mặt khác,ta Cm đc [TEX]\sum{\sqrt[3]{ac} \ge \sum{ab}[/TEX]

[TEX]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \ge ab+bc+ac[/TEX]

để Cm điều này,ta sẽ CM [TEX]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\ge \sum{\sqrt[3]{ac}[/TEX]

thật vậy,khi chuyển vế ta sẽ đc [TEX]\sum{\sqrt[3]{a}(1-\sqrt[3]{b)}}\ge 0[/TEX]
=>đpcm

P/S mình làm thấy sai sai nhưng ko bít thế nào nên cứ post lên nhờ mọi ng chỉ giáo,mọi ng` chém nhẹ thui nha! !

 

[letrang3003]

Bạn sai ở chỗ này nè

[TEX]\sum \sqrt[3]{ab} \ge \sum ab[/TEX]

 

[bigbang195]

Mọi người quay lại với TOPIC Với 1 số dạng bdt không thuần nhất khá hay

Bài 1:
Cho các số [TEX]a,b,c >0 .[/TEX] Chứng minh

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{2+abc}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \ge \frac{9}{1+2abc}[/TEX]

Bài 2 :

Cho[TEX] a,b,c \ge 0 [/TEX]Chứng minh

[TEX] 2(a^2+b^2+c^2) +abc +8 \ge 5(a+b+c)[/TEX]

Bài 3:
Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX].Chứng minh
[TEX]a^3+b^3+c^3 +4(a+b+c)+9abc \ge 8(ab+bc+ac)[/TEX]

Bài 4:
Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX].chứng minh

[TEX](ab+bc+ac)\left (1+\frac{1}{abc} \right ) \ge \sqrt{12(a+b+c)}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX]sao cho [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ac}+\frac{1}{9-ab} \le \frac{3}{8}[/TEX]

 

[bigbang195]

(China 2005)
Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX]sao cho [TEX]ab+bc+ac = \frac{1}{3}[/TEX]. Chứng minh
[TEX]\frac{1}{a^2-bc+1}+\frac{1}{b^2-ac+1} +\frac{1}{c^2-ab+1} \le 3[/TEX]

Cho các số [TEX]x,y [/TEX]dương sao cho [TEX]x^9+y^9=2[/TEX].Chứng minh rằng :
[TEX]x^3+y^3 \ge 2xy[/TEX]

Cho các số thực dương thoả mãn [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{a}{a^3+1}+\frac{b}{b^3+1}+\frac{c}{c^3+1} \le \frac{3}{2}[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX].thoả mãn [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX]. Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a,b,c \ge 0[/TEX].thoả mãn [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX]. Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2[/tex]
AM-GM:
[tex](a+b+c)(ab+bc+ac) \ge 9abc \Rightarrow a+b+c \ge 3abc[/tex]

[tex]BDT---> a^2+b^2+c^2+3 \ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+abc(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)^2 \ge 3(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+3abc(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ac(a^2+c^2) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ac(a-c)^2 \ge 0 [/tex]

 

[letrang3003]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thoả mãn [TEX]a^4+b^4+c^4=3[/TEX] .Chứng minh

[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac} \le 1[/TEX]

Do[TEX] \sum a^4=3 [/TEX]nên[TEX] \sum a^2 \le 3[/TEX]

ta cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{ab}{8(a^2+b^2+c^2)-6ab}\le \frac{1}{6}[/TEX]

mặt khác [TEX]8(a^2+b^2+c^2)-6ab=3(a-b)^2+5a^2+5b^2+8c^2[/TEX]

cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{ab}{5a^2+5b^2+8c^2} \le \frac{ab}{9}\left ( \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{2}{3(a^2+b^2+2c^2)}+\frac{2}{3(a^2+b^2+2c^2)}\right )[/TEX]

dến đây thì dễ rùi

 

[quyenuy0241]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c [/TEX]sao cho [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ac}+\frac{1}{9-ab} \le \frac{3}{8}[/TEX]

[tex]Dat ab=x,ac=y,bc=z[/tex]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1-x}{9-x}+\frac{1-y}{9-y}+\frac{1-z}{9-z} \ge 0[/TEX]

[TEX]\frac{(1-x)(x+6)}{(9-x)(x+6)}+\frac{(1-y)(y+6)}{(9-y)(y+6)}+\frac{(1-z)(z+6)}{(9-z)(z+6)} \ge 0[/TEX]

[tex]By ---Chebyshev---[/tex]
cho 2 dãy cùng chiều :

[tex](1-x)(x+6),(1-y)(y+6),(1-z)(z+6)[/tex]

[tex]\frac{1}{(9-x)(x+6)},\frac{1}{(9-y)(y+6)},\frac{1}{(9-z)(z+6)},[/tex]

[tex]VT \ge \sum[(1-x)(x+6)].\sum{\frac{1}{(9-x)(x+6)}}[/tex]

Vậy chỉ cần CM:
[tex]\sum[(1-x)(x+6)=18-5(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2) \ge 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) \le 18 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)+(ab+bc+ac)^2 \le 18+6abc(1)[/tex]

Theo CHUR:
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le 3abc \Leftrightarrow (3-2a)(3-2b)(3-2c) \le abc \Rightarrow3abc \ge 4(ab+bc+ac)-9[/tex] Thế vào (1) suy ra:
[tex]ab+bc+ac \le 3 (DONE!!!!!)[/tex]

 

[quyenuy0241]

Bài 1:
Cho các số [TEX]a,b,c >0 .[/TEX] Chứng minh

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{9}{2+abc}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \ge \frac{9}{1+2abc}[/TEX]

(*) a) [tex]\Leftrightarrow \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+ab+bc+ac \ge 9[/tex]
[tex]By---->AM-GM :VT =\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+ab+bc+ac \ge 9\sqrt[9]{1} DONE!!![/tex]
Câu b) tương tự:
[tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+a+a+b+b+c+c \ge 9 DONE!!![/tex]

 

[bigbang195]

Anh có bài nào post dùm em đi, em hết bài rùi

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=12[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=a.\sqrt[3]{b^2+c^2}+b.\sqrt[3]{c^2+a^2}+c.\sqrt[3]{a^2+b^2}[/TEX].

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq \sqrt{a+b+c}[/TEX].

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}[/TEX].