Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[letrang3003]

Cho các số [TEX]a, b, c > 0[/TEX] Chứng minh

Chỉ bằng Holder

[TEX]LHS^2(a^2+b^2+c^2) \ge \sum (\frac{a}{a+2b})^3 \ge \left (\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} \right )^3=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow LHS^2 \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]

Cần chứng minh
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{1}{3}\frac{(a+b+c)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2[/TEX]

[TEX]DONE[/TEX]

 

[oicaicuocdoi]

Cho các số dương x,y,z có tích bằng 1. Cmr:
[tex]\frac{1}{x^5z+y^5z+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{xy^5+xy^5+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{yz^5+x^5y+1}[/tex]\leq1

 

[quyenuy0241]

Cho các số dương x,y,z có tích bằng 1. Cmr:
[tex]\frac{1}{x^5z+y^5z+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{xy^5+xy^5+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{yz^5+x^5y+1}[/tex]\leq1

[tex]x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)[(x-y)^2.(x^2+xy+y^2)+x^2y^2 \ge (x+y)x^2y^2][/tex]
[tex]\frac{1}{x^5z+y^5z+1}=\frac{xy}{x^5+y^5+xy} \le \frac{xy}{(x+y)x^2y^2+xy} = \frac{1}{(x+y)xy+1}=\frac{z}{x+y+z} [/tex]
Các BDT khác tương tự suy ra [tex]DPCM[/tex]

 

[bigbang195]

Cho các số dương x,y,z có tích bằng 1. Cmr:
[tex]\frac{1}{x^5z+y^5z+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{xy^5+xy^5+1}[/tex]+[tex]\frac{1}{yz^5+x^5y+1}[/tex]\leq1

[TEX]z(x^5+y^5) \ge xyz(x^3+y^3)=x^3+y^3[/TEX]

Quay trở về bài toán quen thuộc :

[TEX]\frac{1}{1+a^3+b^3}+\frac{1}{1+b^3+c^3}+\frac{1}{1+a^3+c^3} \le \frac{1}{abc}[/TEX]

 

[rua_it]

For positive real numbers a,b,c

Prove that:

[tex]3.\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \geq \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a} [/tex]

[tex]a,b,c \geq 0[/tex]
[tex]\frac{1}{(1+\sqrt{a})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{b})^2} \geq \frac{2}{2+a+b}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex]a+b+c=1[/tex]

[tex]\frac{1}{a+bc+3abc} +\frac{1}{b+ca+3abc}+\frac{1}{c+ab+3abc} \geq \frac{2}{ab+bc+ca+abc}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}) \geq \frac{9}{abc+1}[/tex]

[tex]a \geq b \geq c \geq 0[/tex]

[tex]\frac{a^2b}{c}+\frac{b^2c}{a}+\frac{c^2a}{b} \geq 2.(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ca[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex]\frac{a^2+1}{(a+b).(c+a)}+\frac{b^2+1}{(b+c).(b+a)}+\frac{c^2+1}{(c+a).(c+b)} \geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2.(a^2+b^2+c^2)}[/tex]

[tex]a,b,c \geq 0[/tex]

[tex]\frac{a^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^4}{c^2+ca+a^2}+ \frac{c^4}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex]\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex]2.(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (4-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+\frac{9}{4}[/tex]

 

[rua_it]

[tex]a+b+c=1[/tex]

[tex]\sqrt[3]{a-b+c^3}+\sqrt[3]{b-c+a^3}+\sqrt[3]{c+a-b^3} \geq 1[/tex]

 

[rua_it]

[tex]\frac{a^2}{b^3+c^3+d^3}+\frac{b^2}{a^3+c^3+d^3}+ \frac{c^2}{a^3+b^3+d^3}+\frac{d^2}{a^3+b^3+c^3} \geq \frac{4}{3}.\sqrt[3]{4}[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=1[/tex]

 

[oicaicuocdoi]

[TEX]z(x^5+y^5) \ge xyz(x^3+y^3)=x^3+y^3[/TEX]

Nghi ngờ chỗ này vì khi có 2 số nhỏ hơn 1 là x và y

 

[bigbang195]

Tớ không hiểu .:-??

 

[bigbang195]

[tex]a,b,c>0[/tex]

[tex]\frac{a^2+1}{(a+b).(c+a)}+\frac{b^2+1}{(b+c).(b+a)}+\frac{c^2+1}{(c+a).(c+b)} \geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2.(a^2+b^2+c^2)}[/tex]

[TEX]a^2+1 \ge 2a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \ge \sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)} \ge \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)} \ge VP[/TEX]

 

[oicaicuocdoi]

[tex]x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)[(x-y)^2.(x^2+xy+y^2)+x^2y^2 \ge (x+y)x^2y^2][/tex]
[tex]\frac{1}{x^5z+y^5z+1}=\frac{xy}{x^5+y^5+xy} \le \frac{xy}{(x+y)x^2y^2+xy} = \frac{1}{(x+y)xy+1}=\frac{z}{x+y+z} [/tex]
Các BDT khác tương tự suy ra [tex]DPCM[/tex]

Cách này đúng rồi
Có cách khác:
Ta có: x^2 + y^2 \geq 2xy => x^5 + y^5 \geq x^2y^2(x+y)
=> xy/x^5+xy+y^5\leq xy/xy+x^2.y^2(x+y)=1/1+xy(x+y)=z/x+y+z
P/S: Cũng gần giống cách của anh này
Cách của mềnh giắc rối hơn :-SS hay sao ý

 

[bigbang195]

[tex]a,b,c \geq 0[/tex]

[tex]\frac{a^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^4}{c^2+ca+a^2}+ \frac{c^4}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/tex]

[TEX]Vt =\sum \frac{a^6}{a^2b^2+a^2bc+a^2c^2} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2\sum a^2b^2+abc(a+b+c)} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \ge 2\sum a^2b^2+abc(a+b+c)[/TEX]​

măt khác theo Bunhiacopski

[TEX](a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \ge (a^2+b^2+c^2)^2 \ge 2\sum a^2b^2+abc(a+b+c)[/TEX]​

Phép chứng minh hoàn tất

 

[mathvn]

[tex]a,b,c \geq 0[/tex]
[tex]\frac{1}{(1+\sqrt{a})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{b})^2} \geq \frac{2}{2+a+b}[/tex]

[TEX]VT\ge \frac{2}{(1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})}=\frac{2}{1+ \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge \frac{2}{a+\frac{a+b}{2}+\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}=VP[/TEX]

 

[letrang3003]

post thử 1 bài lên
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a\geqb\geqc. CHưng minh
[TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)c^2a(c-a)\geq0[/TEX]
2 cách nhaz' )

thêm bài nữa:|
CHo a,b,c là các số thực ko âm . C/m
[TEX](a^2+b^2+c^2)^2\geq4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

cho ab+ ac+cb =< 3abc.( a,b,c>0)
cm : ab+bc+ac>= a+b+c

 

[quyenuy0241]

cho ab+ ac+cb =< 3abc.( a,b,c>0)
cm : ab+bc+ac>= a+b+c

[tex](ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c) \ge (ab+bc+ac)(a+b+c)[/tex]
[tex]DONE!![/tex]

 

[bigbang195]

Đề thi Huyện Đan Phượng

Cho các số [TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn
[TEX]ab+bc+ac=3abc [/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a} \le 1[/TEX]

 

[dandoh221]

Đề thi tỉnh Hà Tĩnh

Cho a,b,c ko âm t/m [TEX]a+b+c=5[/TEX]
Tìm min :
[TEX]P=\sqrt{a+1} + \sqrt{2b+1} + \sqrt{3c+1}[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

Cho các số [TEX]a,b,c >0[/TEX] thoả mãn
[TEX]ab+bc+ac=3abc [/TEX]. Chứng minh

[TEX]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a} \le 1[/TEX]

đề bạn tự nghĩ àh?? ?

 

[djbirurn9x]

[tex]P=\frac{2x^2+12xy}{x^2+2xy+3y^2}[/tex]
[tex]P-3=- \frac{-(x-3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}<=0[/tex]
[tex]P+6= \frac{2(2x+3y)^2}{x^2+2xy+3y^2}>=0[/tex]
Từ đó suy ra minP=-6, maxP=3
Chẳng may thấy bài giải ngay trước mắt hơ !!! Giúp bạn luôn!!!

Vậy bạn giải thích cách tìm số -6 và 3 đi (hồi đó mình học rồi nhưng quên rồi, hình như nhân mẫu lên cái P rồi quy đồng tính [TEX]\Delta[/TEX] gì đó chả nhớ nữa @-) )