Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[rua_it]

a,b,c >0 thoả mãn : [tex]abc+2=a^3+b^3+c^3[/tex]
CMR:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge a+b+c [/tex]

Thế này cũng dc nhỉ

[tex]Denote that: abc \leq 1[/tex]

[tex]Dat:\left{\begin{a=\frac{y}{x}}\\{b=\frac{z}{y}}\\{ c=\frac{x}{z}}[/tex]

[tex]\rightarrow LHS =\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}[/tex]

[tex]\geq \frac{x^2y+y^2z+z^2x}{xyz}=RHS[/tex]

ok.

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c >0 tm: [tex]a+b+c=3 [/tex]
[tex]Min=? ............A=\sum\sqrt{\frac{1}{3a+1}}[/tex]

 

[rooney_cool]

Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện [TEX]ax - by = \sqrt 3[/TEX]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

[TEX]F = a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay[/TEX]

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c>0:CMR:
1)[tex]\sum{\frac{a}{b+c-a} \ge \frac{(a+b+c)^3}{9abc}[/tex]
2)[tex]a,b,c \in [2009,2010] --Max=?[/tex]
[tex]A=\frac{a+b}{ab^2}(a^2+b^2)[/tex]

 

[mathvn]

Thế này cũng dc nhỉ

[tex]Denote that: abc \leq 1[/tex]

[tex]Dat:\left{\begin{a=\frac{y}{x}}\\{b=\frac{z}{y}}\\{ c=\frac{x}{z}}[/tex]

[tex]\rightarrow LHS =\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}[/tex]

[tex]\geq \frac{x^2y+y^2z+z^2x}{xyz}=RHS[/tex]

ok.

anh chứng minh [tex]Denote that: abc \leq 1[/tex] mà theo như cách đặt cuae anh thì abc=1 mất rùi

 

[rua_it]

anh chứng minh [tex]Denote that: abc \leq 1[/tex] mà theo như cách đặt cuae anh thì abc=1 mất rùi

Without loss of gererality we assume that abc=1

ok.

 

[rua_it]

Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện [TEX]ax - by = \sqrt 3[/TEX]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

[TEX]F = a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay[/TEX]

[tex]a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay[/tex]

[tex]=x^2+bx+\frac{b^2}{4}+y^2+ay+\frac{a^2}{4}+\frac{3.(a^2+b^2)}{4}[/tex]

[tex]=(x+\frac{b}{2})^2+(y+\frac{a}{2})^2+\frac{3.(a^2+b^2)}{4}[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{M(x,y)}\\{A=(-\frac{b}{2};-\frac{a}{2})}\\{(\Delta):ax-by=\sqrt{3}}[/tex]

[tex]AM-GM \rightarrow a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay \geq \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3.(a^2+b^2)}{4} \geq 3[/tex]

 

[djbirurn9x]

Cho a,b,c > 0 thỏa : ab + bc + ca = abc
C/m :
[TEX]\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca} \geq \sqrt{3}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c > 0 thỏa : ab + bc + ca = abc
C/m :
[TEX]\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca} \geq \sqrt{3}[/TEX]

BCS:
[tex]b^2+2a^2 \ge \frac{1}{3}(2a+b)^2[/tex],................................................
[tex]VT \ge \frac{1}{\sqrt{3}}.(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex]

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX] thoả [TEX]ab + bc + ca = abc[/TEX]
Tìm min của:

[TEX]P = \frac{\sqrt{a^2 + b^4 + 2c^2}}{ac} + \frac{\sqrt{b^2 + c^4 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2 + a^4 + 2b^2}}{cb}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX] thoả [TEX]ab + bc + ca = abc[/TEX]
Tìm min của:

[TEX]P = \frac{\sqrt{a^2 + b^4 + 2c^2}}{ac} + \frac{\sqrt{b^2 + c^4 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2 + a^4 + 2b^2}}{cb}[/TEX]

[tex]12(a^2+b^4+2c^2) \ge (a+3b^2+2c)^2[/tex]
[tex] P \ge \frac{1}{\sqrt{12}}.(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})+\frac{3}{\sqrt{12}}(\frac{b^2}{ac}+\frac{a^2}{bc}+\frac{c^2}{ab}) \ge \frac{12}{\sqrt{12}} =\sqrt{12}[/tex]

Mở rộng thêm nhá:
(*)[tex]a,b,c >0 ---TM-> ab+bc+ac=abc[/tex] Tìm Min :
[tex] P= \frac{\sqrt{a^2+b^6+2c^2}}{ac}+\frac{\sqrt{b^2+c^6+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+a^6+2b^2}}{bc}[/tex]

 

[djbirurn9x]

Cho x,y,z >0. Tìm max:

[TEX]P = \frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} + \frac{y}{y + \sqrt{(y+x)(y+z)}} + \frac{z}{z + \sqrt{(z+x)(z+y)}} [/TEX] :-SS

 

[bigbang195]

Dạng khó :|​

Cho các số thực không âm [TEX]a,b,c [/TEX]. Chứng minh rằng :
a/
[TEX]\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(a+c)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab} \ge 2[/TEX]

b/
[TEX]\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(a+c)}{b^2+ac}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}} \ge 2[/TEX]

2 bài nổi tiếng của (Phạm Kim Hùng,Vasile)

 

[bigbang195]

Cho a,b,c >0. Tìm max:

[TEX]P = \frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} + \frac{y}{y + \sqrt{(y+x)(y+z)}} + \frac{z}{z + \sqrt{(z+x)(z+y)}} [/TEX] :-SS

[TEX]\sqrt{(x+y)(x+z)}} \ge x+\sqrt{yz}[/TEX]

Chỉ cần tìm min của

[TEX]\sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}} [/TEX]

Dùng CauChy-Schwarz đc [TEX]LHS \ge 1[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

1,
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2 }{ b^2+ac} \geq \frac{9}{2}[/TEX]
2, cho 2 dãy số cùng chiều :[TEX]a1 \leq a2 \leq a3;b1 \leq b2 \leq b3[/TEX]
CM : [TEX](a1+a2+a3)(b1+b2+b3)\leq3(a1b1+a2b2+a3b3)[/TEX]
mong giúp , nhanh nhá :|

 

[rua_it]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX].Tìm min
[TEX]\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}[/TEX]

Cho [TEX]x,y,z \ge \sqrt{2}[/TEX] cm:
[TEX]\sum \frac{1}{x^5+y^5+2xyz} \le \frac{1}{2xyz}[/TEX]

cho [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]3a^2+2b^2+c^2 \le 1.[/TEX]tìm min
[TEX]S=\frac{3a}{bc}+\frac{4b}{ac}+\frac{5c}{ab}[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX] và[TEX] a+b+c=1[/TEX].CM
[TEX]\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{c+ab}{a+b} \ge 2[/TEX]

Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực cm:
[TEX]\sum a(a+b)(a^2+b^2) \ge 0[/TEX]

Tim min và max
[TEX]\frac{x+y}{(3+x^2)(3+y^2)}[/TEX]

Cho [TEX]x,y,z \in (0,1)[/TEX] và[TEX] xyz=(1-x)(1-y)(1-z).[/TEX]Chứng minh
[TEX]\sum x^2 \le \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] chứng minh
[TEX]\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})[/TEX]

[TEX]x,y,z >0[/TEX] và [TEX]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}[/TEX].Tim min[TEX] x+y+z[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX].tìm min
[TEX]P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c} [/TEX]

 

[djbirurn9x]

Chỉ cần tìm min của

[TEX]\sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}} [/TEX]

Dùng CauChy-Schwarz đc [TEX]LHS \ge 1[/TEX]

Giải thích kĩ lại 2 dòng đó đi, anh chưa hiểu số 2 dưới mẫu ở đâu vậy và tại sao \geq 1 nữa @-)

rua_it giải thích lại đi,vẫn chưa hiểu nè sao lại có số 2 ở trên tử =.=
mà[TEX] \sum \frac{2x}{2x+\sqrt{yz}}=1-\sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}}[/TEX]

do vậy chỉ cần tìm min[TEX] \sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}}[/TEX]

cái BĐT này là sao =.=
[TEX]LHS =\sum \frac{yz}{2x\sqrt{yz}+yz} \ge \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}=1[/TEX]

 

[rua_it]

Giải thích kĩ lại 2 dòng đó đi, anh chưa hiểu số 2 dưới mẫu ở đâu vậy và tại sao \geq 1 nữa @-)

[TEX]Cauchy-Schwarz \Rightarrow \sqrt{(x+y)(x+z)} \ge (x+\sqrt{yz})[/TEX]

[TEX] \Leftright LHS \le \sum \frac{1}{x+x+\sqrt{yz}}[/TEX]

[TEX] \Leftright \sum \frac{2x}{2x+\sqrt{yz}}=1-\sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}}[/TEX]

do vậy chỉ cần tìm min [TEX] \sum \frac{\sqrt{yz}}{2x+\sqrt{yz}}[/TEX]

[TEX] LHS=\sum \frac{yz}{2x\sqrt{yz}+yz} \ge \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}=1[/TEX]

:|

 

[djbirurn9x]

Cho a + b + c = abc
C/m : [TEX]a(b^2-1)(c^2-1) + b(a^2-1)(c^2-1) + c(a^2-1)(b^2-1) = 4abc[/TEX]

 

[rua_it]

2, cho 2 dãy số cùng chiều :[TEX]a1 \leq a2 \leq a3;b1 \leq b2 \leq b3[/TEX]
CM : [TEX](a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\leq3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)[/TEX]
mong giúp , nhanh nhá :|

Bài 1 :Cauchy-Schwarz

Bài 2:Chebyshev's bổ tung ra đc

[TEX](a_1-a_2)(b_1-b_2)+(a_1-a_3)(b_1-b_3)+(a_2-a_3)(b_2-b_3) \ge 0[/TEX] đúng

Tổng quát

[TEX]\sum_{i=1,j=1}^{n} (a_i-a_j)(b_i-b_j)[/TEX]