Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[bigbang195]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq \sqrt{a+b+c}[/TEX].

By holder
[TEX]VT^2(a+b+c)^2 \ge (a+b+c)^3[/TEX]

DONE!! .

 

[bigbang195]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}[/TEX].

[TEX]\frac{x}{xy+1}=x-\frac{xy}{xy+1}[/TEX]

[TEX].. .[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq \sqrt{a+b+c}[/TEX].

[tex]VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{a+2b}+b\sqrt{b+2c}+c\sqrt{c+2a}}[/tex]

[tex]CM:a\sqrt{a+2b}+b\sqrt{b+2c}+c\sqrt{c+2a} \le (a+b+c)\sqrt{a+b+c}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow(a\sqrt{a+2b}+b\sqrt{b+2c}+c\sqrt{c+2a})^2 \le (a+b+c)^3(*)[/tex]

thật vậy [tex] ---By--BCS---VT-of-(*)= (\sqrt{a}.\sqrt{a^2+2ba}+\sqrt{b}.\sqrt{b^2+2cb}+\sqrt{c}.\sqrt{c^2+2ab})^2 \le (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)=(a+b+c)^3(Done!!!!)[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]if -a,b,c,d -are- positive- numbers, -then.[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+ad} \ge \frac{4}{ac+bd}[/tex]

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c là các số thực không âm CMR:
[tex]\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2b^2+ac}+\frac{1}{2c^2+ab } \ge \frac{8}{(a+b+c)^2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=2 CMR:
[tex](a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \le 1[/tex]

 

[quyenuy0241]

a,b,c >0 thoả mãn : [tex]abc+2=a^3+b^3+c^3[/tex]
CMR:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge a+b+c [/tex]

 

[jamesporter]

a,b,c >0 thoả mãn : [tex]abc+2=a^3+b^3+c^3[/tex]
CMR:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge a+b+c [/tex]

chém bừa!!!!||| neu ko du'ng mong anh em thong cam
[tex]abc+2=a^3+b^3+c^3 \ge 3abc \Rightarrow abc \le 1[/tex]
[tex]We***have:[/tex]
[tex]\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \ge \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}} \ge 3a[/tex]
Ca'c ca'i kha'c [tex]t^2[/tex]

 

[quyenuy0241]

chém bừa!!!!||| neu ko du'ng mong anh em thong cam
[tex]abc+2=a^3+b^3+c^3 \ge 3abc \Rightarrow abc \le 1[/tex]
[tex]We***have:[/tex]
[tex]\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \ge \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}} \ge 3a[/tex]
Ca'c ca'i kha'c [tex]t^2[/tex]

Thank you cách làm hay đó:.................................................................................................................

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=12[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=a.\sqrt[3]{b^2+c^2}+b.\sqrt[3]{c^2+a^2}+c.\sqrt[3]{a^2+b^2}[/TEX].

By holder
[TEX]\left (\sum a^2(b^2+c^2) \right )(a+b+c)(1+1+1) \ge VT^3 [/TEX]

DONE !! ^^!

 

[jamesporter]

a,b,c,d là các số thực dương TM abcd=16:
CMR:
[tex]\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{ad+1}{d+1} \ge \frac{20}{3}[/tex]

 

[rua_it]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}[/TEX].

[TEX]a+b+c=3 \rightarrow abc \le 1[/TEX]

[TEX]LHS \ge \sum \frac{x}{xy+xyz}=\sum \frac{1}{y+yz}[/TEX]

đến đây dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz đều được

 

[rua_it]

a,b,c,d là các số thực dương TM abcd=16:
CMR:
[tex]\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{ad+1}{d+1} \ge \frac{20}{3}[/tex]

STBDT Trang 26

BDT Tổng quát

Chứng minh rằng nếu a,b,c,d là các số dương thực và [TEX]r^4=abcd \ge 1 [/TEX]bất đẳng thức sau luôn đúng :
[TEX]\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{ad+1}{d+1} \ge \frac{4(1+r^2)}{1+r}[/TEX]

 

[rua_it]

[TEX] x,y,z>0 [/TEX]thoả [TEX]xy + yz + zx + 2xyz=1.[/TEX] cmr:
a. [TEX]xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]
b. [TEX] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 4(x+y+z)[/TEX]

Chưa ai làm nhể

[tex](gt) \Rightarrow xy + yz + zx + 2xyz=1 \geq_{AM-GM}4.\sqrt[4]{2x^3y^3z^3} [/tex]

[tex]\Rightarrow (xyz)^3 \leq \frac{1}{4^4.2} \Rightarrow xyz \leq \frac{1}{8}[/tex]

[tex](gt) \Rightarrow x,y,z \in\ (0;1)[/tex]

[tex]AM-GM \Rightarrow 2.\prod_{i=1}^{n}(1-x) \leq 2.(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3[/tex]

[tex]Denote that: 2(x+y+z)^3+9(x+y+z)^2-27 \leq 0[/tex]

[tex]\Rightarrow x+y+z \leq \frac{3}{2}[/tex]

[tex]LHS \geq_{AM-GM} 3.\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}} \geq 3.\frac{1}{\frac{1}{2}} =6 \geq RHS[/tex]

ok.

 

[djbirurn9x]

Bđt

Post chơi nha, trùng thì sory =.=
Cho [TEX]0 \leq a; b ; c \leq 1[/TEX]. C/m rằng :
[TEX]\frac{a}{b^3+c^3+7} + \frac{b}{c^3+a^3+7} + \frac{c}{a^3+b^3+7} \leq \frac{1}{3}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[tex]a+b+c=3 \rightarrow abc \le 1[/tex]

[tex]lhs \ge \sum \frac{x}{xy+xyz}=\sum \frac{1}{y+yz}[/tex]

[tex]\ \ [/tex]

Dùng Cauchy ngược . Tuy khó khăn nhưng rất đẹp .

 

[bigbang195]

Anh quyenuy có lời giải của mấy bài Cực Trị tại biên thì post lên dùm em với, em chưa làm mấy dạng này bao giờ, nghĩ mãi ko ra đuợc

Em xin cảm ơn

 

[mathvn]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=12[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=a.\sqrt[3]{b^2+c^2}+b.\sqrt[3]{c^2+a^2}+c.\sqrt[3]{a^2+b^2}[/TEX].

Cauchy
[TEX]2P=\sum\sqrt[3]{2a^2.(12-a^2).4a}\le \frac{1}{3}.)(a^2+b^2+c^2+36+4(a+b+c))\le 24[/TEX]\Rightarrow.......

 

[mathvn]

Post chơi nha, trùng thì sory =.=
Cho [TEX]0 \leq a; b ; c \leq 1[/TEX]. C/m rằng :
[TEX]\frac{a}{b^3+c^3+7} + \frac{b}{c^3+a^3+7} + \frac{c}{a^3+b^3+7} \leq \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]\sum\frac{a}{b^3+c^3+7}\le \sum\frac{a}{3(bc+1+1)}\le \sum\frac{a}{3(b+c+1)}\le \sum\frac{a}{3(b+c+a)}=1[/TEX] >-:|/

 

[quyenuy0241]

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=2 CMR:
Dồn biến:
[tex](a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \le 1[/tex]

[tex]g\s a \ge b \ge c [/tex]
[tex]a^2+bc \le (a+\frac{c}{2})^2[/tex]
và
[tex](b^2+ac)(c^2+ab) \le \frac{(b^2+c^2+ab+ac)^2}{4}[/tex]
it suffices to show that
[tex](2a+c)^2(b^2+c^2+ab+ac)^2 \le 16[/tex]
Let
[tex]E(a,b,c)=(2a+c)(b^2+c^2+ab+ac)[/tex]
we will so that:
[tex]E(a,b,c) \le E(a,b+c,0) \le 4[/tex]
WE have :
[tex]E(a,b,c) - E(a,b+c,0) =c(b^2+c^2+ac-3ab) \le 0[/tex]
lại có: [tex]E(a,b+c,0)-4=4(2-a)-4=-4(a-1)^2 \le 0[/tex]
Nên BDT được CM: