Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[conami]

Cho tớ hỏi bài này, nhìn hơi lạ. Trong đề thi HSG Trung Quốc
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh
[TEX]\frac{cos^2 A}{cos A +1}[/TEX] + [TEX]\frac{cos^2 B}{cos B +1}[/TEX] + [TEX]\frac{cos^2 C}{cos C +1}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

Không bạn nào giúp tớ bài này à trời.
Cho tớ hỏi thêm bài nữa:
Cho tam giác ABC. Tìm min của
T = sinA + sinB + sinC + [TEX]\frac{1}{sinA} + \frac{1}{sinB} + \frac{1}{sinC}[/TEX]

 

[thao_won]

Cho a, b, c >0: [tex]abc \geq 1[/tex]. C/m: [tex](a+b)(b+c)(c+a) \geq 2+2(a+b+c)[/tex]

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ,ta có :

[TEX]a + b \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]b + c \geq 2\sqrt{bc}[/TEX]

[TEX]a + c \geq 2\sqrt{ac}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]( a+ b)(b+ c)(a + c) \geq 8 abc[/TEX]

Mà abc \geq 1

\Rightarrow [TEX]( a + b) ( b+ c) (a+c) \geq 8[/TEX]

Mặt khác :

abc \geq 1 \Rightarrow [TEX]a + b + c \geq 3[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2 + 2( a+ b+ c) \geq 8[/TEX]

\Rightarrow đpcm

Em ko dc thông minh lắm đâu ạ =.=

 

[bboy114crew]

Cho [tex]a,b,c \geq 0[/tex] và [tex]a + b + c =1[/tex].Tìm giá trị k lớn nhất :

[tex] a^3 + b^3 + c^3 + k.abc \geq \frac{k}{27} + \frac{1}{9}[/tex]

 

[conami]

Không bạn nào giúp tớ bài này à trời.
Cho tớ hỏi thêm bài nữa:
Cho tam giác ABC. Tìm min của
T = sinA + sinB + sinC + [TEX]\frac{1}{sinA} + \frac{1}{sinB} + \frac{1}{sinC}[/TEX]

[TEX]\left{ a,b,c>0\\a+b+c \le \frac{3\sqrt{3}}{2} \\T:= a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

Anh nhầm em làm bằng phương pháp trọng số [TEX]AM[/TEX] anh đi ăn tối cái rồi về tính bằng trọng số cho.

 

[0915549009]

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ,ta có :

[TEX]a + b \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]b + c \geq 2\sqrt{bc}[/TEX]

[TEX]a + c \geq 2\sqrt{ac}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]( a+ b)(b+ c)(a + c) \geq 8 abc[/TEX]

Mà abc \geq 1

\Rightarrow [TEX]( a + b) ( b+ c) (a+c) \geq 8[/TEX]

Mặt khác :

abc \geq 1 \Rightarrow [TEX]a + b + c \geq 3[/TEX]

\Rightarrow [TEX]2 + 2( a+ b+ c) \geq 8[/TEX]

\Rightarrow đpcm

Em ko dc thông minh lắm đâu ạ =.=

Ko đc đâu pà :-j Cả 2 vế đều lớn hơn hoặc bằng 8 thì chẳng CM đc gì :|:|
[TEX]Dat.a+b=x;b+c=y;c+a=z \Rightarrow BDT \Leftrightarrow xyz \geq 2+x+y+z[/TEX] :-??

 

[bboy114crew]

Ko đc đâu pà :-j Cả 2 vế đều lớn hơn hoặc bằng 8 thì chẳng CM đc gì :|:|
[TEX]Dat.a+b=x;b+c=y;c+a=z \Rightarrow BDT \Leftrightarrow xyz \geq 2+x+y+z[/TEX] :-??

bạn nói rõ hơn được ko?
..................................
chứ đặt thế ai mà chả làm được!

 

[thao_won]

Ko đc đâu pà :-j Cả 2 vế đều lớn hơn hoặc bằng 8 thì chẳng CM đc gì :|:|
[TEX]Dat.a+b=x;b+c=y;c+a=z \Rightarrow BDT \Leftrightarrow xyz \geq 2+x+y+z[/TEX] :-??

Hố hố )

đọc lại mới biết chứng minh nhầm =))

)

Cứ tưởng đã c/m dc 1 vế bé hơn ,1 vế lớn hơn 8 roài :">

 

[bboy114crew]

Ko đc đâu pà :-j Cả 2 vế đều lớn hơn hoặc bằng 8 thì chẳng CM đc gì :|:|
[TEX]Dat.a+b=x;b+c=y;c+a=z \Rightarrow BDT \Leftrightarrow xyz \geq 2+x+y+z[/TEX] :-??

Cho a, b, c >0: [tex]abc \geq 1[/tex]. C/m: [tex](a+b)(b+c)(c+a) \geq 2+2(a+b+c)[/tex]

mình làm nhé!
theo BDT Cauchy-schwars,ta có : [tex]x + y + z - xyz \le x\left( {1 - yz} \right) + y + z \le \sqrt {\left( {{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right).\left( {1 + {{\left( {1 - yz} \right)}^2}} \right)}[/tex]
vậy chỉ cần cm : [tex]\left( {{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right).\left( {1 + {{\left( {1 - yz} \right)}^2}} \right) \le 4[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left( {2 + 2yz} \right).\left( {2 - 2yz + {y^2}{z^2}} \right) \le 4[/tex]
sau khi khai triển, ta có: [tex]2{y^3}{z^3} \ge 2{y^2}{z^2}[/tex]
điều này hiển nhiên đúng vì [tex]2 \ge {y^2} + {z^2} \ge 2yz[/tex]

 

[quyenuy0241]

Cho a, b, c >0: [tex]abc \geq 1[/tex]. C/m: [tex](a+b)(b+c)(c+a) \geq 2+2(a+b+c)[/tex]

Do [tex]ab+bc+ac \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2} \ge 3 [/TEX]

Nên

[tex](a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c) \ge \frac{8}{3}(a+b+c) [/TEX]

Vậy ta cần CM:

[tex]\frac{8}{3}(a+b+c) \ge 2+2(a+b+c) \Leftrightarrow a+b+c \ge 3 [/TEX]

tới đây thì ngon rồi !

[TEX]\fbox{Ngon!} [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Một bải khá cổ )

cho a,b,c>0 CMR: [tex]81abc(a^2+b^2+c^2) \le (a+b+c)^5 [/TEX]

 

[dandoh221]

Một bải khá cổ )

cho a,b,c>0 CMR: [tex]81abc(a^2+b^2+c^2) \le (a+b+c)^5 [/tex]

mình chỉ làm đc bài dễ
[TEX](a+b+c)^6 = (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac)^3 \ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2 \ge 81abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

 

[toi_yeu_viet_nam]

Cho tam giác ABC. Tìm min của
T = sinA + sinB + sinC + [TEX]\frac{1}{sinA} + \frac{1}{sinB} + \frac{1}{sinC}[/TEX]

bài này dùng điểm rơi nè bạn
trong mọi tam giác thì
[TEX]sinA+sinB+sinC\leq\frac{3\sqrt3}{2}[/TEX]
===>[TEX]T=\frac{4}{3}sinA+\frac{4}{3}sinB+\frac{4}{3}sinC+\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}-\frac{1}{3}(sinA+sinB+sinC)[/TEX]

Có:
theo cauchy==>[TEX]\frac{4}{3}sinA+\frac{4}{3}sinB+\frac{4}{3}sinC+1/(sinA)+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\geq 6\sqrt[6]{(4/3sinA).(4/3sinB).(4/3sinC).\frac{1}{sinA.sinB.sinC} [/TEX]
Đến đây thì ok rùi nè

 

[bboy114crew]

mình làm nhé!
theo BDT Cauchy-schwars,ta có : [tex]x + y + z - xyz \le x\left( {1 - yz} \right) + y + z \le \sqrt {\left( {{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right).\left( {1 + {{\left( {1 - yz} \right)}^2}} \right)}[/tex]
vậy chỉ cần cm : [tex]\left( {{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right).\left( {1 + {{\left( {1 - yz} \right)}^2}} \right) \le 4[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left( {2 + 2yz} \right).\left( {2 - 2yz + {y^2}{z^2}} \right) \le 4[/tex]
sau khi khai triển, ta có: [tex]2{y^3}{z^3} \ge 2{y^2}{z^2}[/tex]
điều này hiển nhiên đúng vì [tex]2 \ge {y^2} + {z^2} \ge 2yz[/tex]

cách của em sai hả anh?

Do [tex]ab+bc+ac \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2} \ge 3 [/tex]

Nên

[tex](a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c) \ge \frac{8}{3}(a+b+c) [/tex]

Vậy ta cần CM:

[tex]\frac{8}{3}(a+b+c) \ge 2+2(a+b+c) \Leftrightarrow a+b+c \ge 3 [/tex]

tới đây thì ngon rồi !

[TEX]\fbox{Ngon!} [/TEX]

mà sao ko thấy ai phản hồi nhỉ?????:-SS:-SS

 

[trydan]

bài này : Cho a, b, c > 0 thỏa

Chứng minh rằng

xuất phát từ bài toán:
Cho [tex]a, b, c > 0[/tex] thỏa mãn [tex]a+b+c = 3[/tex].Chứng minh rằng:
[tex]8(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 9 \geq 10(a^2 + b^2 + c^2) [/tex]

Bạn nói rõ hơn được không?
..................................................................................................thanks

 

[pampam_kh]

Mình có 1 bài BĐT này:

[TEX]Cho x, y> 0 [/TEX]thoả[TEX]x+ y =1.[/TEX] Tìm [TEX]minM= (x^2 + \frac{1}{y^2}) (y^2 + \frac{1}{x^2})[/TEX]


Mình sửa bài rồi đó, các bạn làm đi nha!

 

[bboy114crew]

Mình có 1 bài BĐT này:

[TEX]Cho x, y> 0 [/TEX]thoả[TEX]x+ y =1.[/TEX] Tìm [TEX]minM= (x^2 + \frac{1}{y^2}) + (x^2 + \frac{1}{y^2})[/TEX]

bạn có nhầm đề ko ?
hay là đề thế này!

[/B]
[B][TEX]Cho x, y> 0 [/TEX][SIZE=3]thoả[/SIZE][TEX]x+ y =1.[/TEX][SIZE=3] Tìm[/SIZE] [TEX]minM= (x^2 + \frac{1}{y^2}) + (y^2 + \frac{1}{x^2})[/TEX][/B]
[B]

mình có bài này hay hơn!
Gỉa sử giá của vienkim cương (hột xoàn ) tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó . Khi đem 1 viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn với giá bán như trên (đúng tỉ lệ trên ) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sự sai biệt về giá trị là lớn nhất?

 

[ohmymath]

he he he

bài này dễ ẹt!!!!!dễ hơn cả bđt thường!!!xem nè:
gọi giá bán ban đầu là x,khối lượng là y=m+n+p(>0)
[TEX]\Rightarrow x=k{y}^{2}[/TEX]
giá bán sau khi cắt là k([TEX]{m}^{2}+{n}^{2}+{p}^{2}[/TEX])<k[TEX]{y}^{2}[/TEX]
vậy giá giảm!!!
chênh lệch nhiều nhất khi 2mn+2np+2mp lớn nhất khi m=n=p là khi chia đều!!!!

 

[bboy114crew]

1)tìm giá trị nhỏ nhất của :
[TEX]A = \frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y} + \frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}[/TEX](với x,y là các số thực dương )
2) cho phương trinh:
[TEX]ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)[/TEX] có hai nghiệm [TEX]x_1;x_2[/TEX] thỏa mãn điêỳ kiện [TEX]0 \geq x_1 \geq x_2 \geq 2[/TEX] .Tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]Q = \frac{2a^2 - 3ab + b^2}{a^2 - ab +b^2}[/TEX]
p\s: bài 2 dễ hơn bài 1 đấy!

 

[bboy114crew]

trên là cái hới khó còn đây là cái dễ hơn!
1/ Cho [tex]a, b, c>0[/tex], CMR: [tex]a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}[/tex].
2/ Cho a, b, c là các số dương thoả [tex]ab+bc+ca=3[/tex], CMR:
a/ [tex]a^3+b^3+c^3 \geq 3[/tex]
b/ [tex]\frac{a}{2a^2+bc}+ \frac{b}{2b^2+ca}+ \frac{c}{2c^2+ab} \geq abc[/tex].

 

[ohmymath]

1)tìm giá trị nhỏ nhất của :
[TEX]A = \frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y} + \frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}[/TEX](với x,y là các số thực dương )
2) cho phương trinh:
[TEX]ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)[/TEX] có hai nghiệm [TEX]x_1;x_2[/TEX] thỏa mãn điêỳ kiện [TEX]0 \geq x_1 \geq x_2 \geq 2[/TEX] .Tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]Q = \frac{2a^2 - 3ab + b^2}{a^2 - ab +b^2}[/TEX]
p\s: bài 2 dễ hơn bài 1 đấy!

Tách tử p/s thứ 1 và triệt tiêu ta được
A=2+[TEX]\frac{({x}^{2}+{y}^{2}+1)}{(xy+x+y)}+\frac{(xy+x+y)}{{(x+y+1)}^{2}}[/TEX]
có [TEX]{(x+y+1)}^{2}\leq 3({x}^{2}+{y}^{2}+1)[/TEX]
nên A[TEX]\geq \frac{({x}^{2}+{y}^{2}+1)}{(xy+x+y)}+\frac{xy+x+y}{3({x}^{2}+{y}^{2}+1)}+2[/TEX][TEX]\geq \2+1/3\geq \frac{10}{3}[/TEX](áp dụng bdt cosi và tách!!!!)
dấu bằng khi x=y=1

Có thể tớ sai ở đâu đó , tớ không chắc lắm đâu!
:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS
Còn bài 2 cậu sai đề bài rùi!! Cậu sửa lại đi@-)@-)@-)@-)@-)