Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[01263812493]

Chúng tại có các bất đẳng thức phụ sau :

[TEX]\left{ a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2\(ab+bc+ca\)\\ 2\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)+ 6\ge 4\(ab+bc+ca\)[/TEX]

Mình làm không biết đúng không . Nếu có sai xin mấy đại ca đừng la trách

Thế chú chứng minh dc 2 BDT phụ này không
chứng minh ra luôn đi

 

[01263812493]

)[TEX]a,b,c>0.and. \ a+b+c \leq \frac{3}{2}. Min:[/TEX]
[TEX]\huge \sum \sqrt{a^2+ \frac{1}{b^2}}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

)[TEX]a,b,c>0.and. \ a+b+c \leq \frac{3}{2}. Min:[/TEX]
[TEX]\huge \sum \sqrt{a^2+ \frac{1}{b^2}}[/TEX]

[TEX]\huge\blue\sum_{cyclic} \sqrt{a^2+ \frac{1}{b^2}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{\(a+\frac{4}{b}\)^2+\(4a-\frac{1}{b}\)^2}{17}}\ge \frac{48-15\(a+b+c\)+\sum_{cyclic}\frac{4\(2a-1\)^2}{a}}{\sqrt{17}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}[/TEX]

Chán ,làm không biết đúng không ?

 

[bboy114crew]

Bài 4: Cho các số thực dương a,b,c,chứng minh:
[tex]\frac{9}{a+b+c} - \frac{1}{abc} \leq 2[/tex].
Bài 5 : cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
[tex]\frac{1}{ a^{4}(a+b)} + \frac{1}{ b^{4}(b+c)} + \frac{1}{ c^{4}(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/tex]

2 cái này mình làm được nhưng còn mấy cái kia thì ...
bài 5 o[tex]abc=1(a,b,c>0)[/tex] nên đặt [tex]a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} \Rightarrow x,y,z>0; xyz=1[/tex]
BĐT[tex] \Leftrightarrow \frac{x^5.y}{x+y} +\frac{y^5.z}{y+z} +\frac{z^5.x}{z+x} \geq \frac{3}{2}[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{x^4}{zx+zy)} +\frac{y^4}{xy+xz)} +\frac{z^4}{yx+yz)} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Có [tex]VT \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}[/tex](BĐT Cauchy-Schwarz)
[tex]\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2} [/tex]
[tex]\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}}{2}=\frac{3}{2}[/tex](do [tex]xyz=1[/tex] và BĐT co si)
bài 4: có BĐT<=>[tex]\frac{9}{a+b+c} \leq 2 +\frac{1}{abc}[/tex]
có [tex]VT \leq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} [/tex](AM-GM)
Ta sẽ CM :[tex]\frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \leq 2+\frac{1}{abc}[/tex](1)
(1) luôn đúng bởi [tex] \frac{1}{abc} +1+1 \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} [/tex](AM-GM)
=>đpcm

 

[dandoh221]

Thế chú chứng minh dc 2 BDT phụ này không
chứng minh ra luôn đi

BDT 2 là AM-GM
BDT 1 có thể suy ra từ schur, có nhiều cách CM

 

[quan8d]

Cho n [TEX]\in[/TEX] N* , n \geq 2 . CMR :
[TEX]\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\leq \frac{n(n+2)}{n+1}}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có:
[tex] \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4}}{ab+bc+ca} \geq \frac{2}{3} [/tex] ([tex] a^{2} [/tex] + [tex] b^{2} [/tex] + [tex] c^{2}) [/tex]

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có:
[tex] \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4}}{ab+bc+ca} \geq \frac{2}{3} [/tex] ([tex] a^{2} [/tex] + [tex] b^{2} [/tex] + [tex] c^{2}) [/tex]

ko ai làm thì mình làm nhé!(để cổ động cho topic)
đặt [tex]a+b+c=p,ab+ac+bc=q,abc=r[/tex]

[tex]BDT<=>\frac{p^4-4p^2q+2q^2p+4pr}{q}+\frac{3r}{p}\geq \frac{2}{3}(p^2-2q)[/tex]

[tex]<=>3p^5-14p^3q+10q^2p+12p^2r+9rq \geq0[/tex]

[tex]<=> 3p(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+q(p^3-4pq+9r)+2p(q^2-3pr)\geq 0[/tex]

theo Schur thì [tex]p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0[/tex] ( bậc 4)

và [tex]p^3-4pq+9r\geq 0[/tex] ( bậc 3)

còn [tex]q^2-3pr \geq 0[/tex] ( cauchy-schwarz)

vậy bài toán được Cm

 

[daodung28]

Cho n [TEX]\in[/TEX] N* , n \geq 2 . CMR :
[TEX]\color{blue}{\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\leq \frac{n(n+2)}{n+1}}[/TEX]

xét số hạng tổng quát

[TEX]\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}} \leq \frac{\frac{k+1}{k}+ \begin{matrix} \underbrace{ 1+1+\cdots+1 } \\ k \end{matrix}}{k+1}=1+\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}[/TEX]

dấu = ko xảy ra
cho k= 1,2,3,...,n


thay vào

[TEX]\Rightarrow S < n+1- \frac{1}{n+1} = \frac{n^2+2n}{n+1} = \frac{n(n+2)}{n+1}[/TEX]

sao mình làm nó ko ra dấu = nhỉ, cách này có đúng không

 

[trydan]

Bài này e mới thi HSG xong hồi chiều. Tiếc là e ko biết làm. :-SS
Cho a, b, c là 3 số thực không bé hơn 1. Chứng minh rằng

 

[bigbang195]

Bài này e mới thi HSG xong hồi chiều. Tiếc là e ko biết làm. :-SS
Cho a, b, c là 3 số thực không bé hơn 1. Chứng minh rằng

ta có :

[TEX]VT \ge \sum \frac{a^2}{\sqrt{bc}+1} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+3} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

nhần chéo phân tích thành nhân tử , sử dụng [TEX]a+b+c \ge 3[/TEX]

 

[bigbang195]

Bài này e mới thi HSG xong hồi chiều. Tiếc là e ko biết làm. :-SS
Cho a, b, c là 3 số thực không bé hơn 1. Chứng minh rằng

[TEX]VT \ge \sum \frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{bc}+\sqrt{ab}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Nesbitt

 

[bboy114crew]

tiếp mấy bài cho các bạn THCS:
Bài 2Cho [tex]x,y,z[/tex] dương.Chứng minh rằng :
[tex]\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}\le \frac{1}{2}(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})[/tex]
Bài 2: Cho [tex]a,b,c >0[/tex] và [tex]a+b+c=1[/tex]. T“m GTNN của : [tex]P=\frac{a}{a^{2}+8bc}+\frac{b}{b^{2}+8ac}+\frac{c}{c^{2}+8ab}[/tex]
Bài 3: Với [tex]a,b,c >0[/tex] . T“m GTNN của :[tex] P=\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}[/tex]
Bài 4: Cho [tex]a,b,c \geq 1[/tex] thỏa mãn [tex]a+b+c=5[/tex]. CMR :[tex] P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} > \frac{10}{19}.[/tex]
Bài 5: Với [tex]a,b,c[/tex] là 3 cạnh của tam giác. CMR: [tex]\frac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}+ \frac{b}{\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}}+ \frac{c}{\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}}<2\sqrt[3]{5}[/tex]

 

[bboy114crew]

làm khó mài làm bài dễ cho thư giãn:
Bài 1: Cho x, y, z thỏa mãn [tex]y^{2}+z^{2}+yz=1-\frac{3}{2}x^{2}[/tex]
Tìm Min và Max của [tex]P=x+y+z[/tex]

 

[conami]

Cho tớ hỏi bài này, nhìn hơi lạ. Trong đề thi HSG Trung Quốc
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh
[TEX]\frac{cos^2 A}{cos A +1}[/TEX] + [TEX]\frac{cos^2 B}{cos B +1}[/TEX] + [TEX]\frac{cos^2 C}{cos C +1}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

 

[trydan]

tiếp mấy bài cho các bạn THCS:

Bài 2: Cho [tex]a,b,c >0[/tex] và [tex]a+b+c=1[/tex]. T“m GTNN của : [tex]P=\frac{a}{a^{2}+8bc}+\frac{b}{b^{2}+8ac}+\frac{c}{c^{2}+8ab}[/tex]
Bài 3: Với [tex]a,b,c >0[/tex] . T“m GTNN của :[tex] P=\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}[/tex]

Bài 2:

Quen thuộc!

Bài 3:

Quen thuộc!

 

[bboy114crew]

Bài 2:

Quen thuộc!

Bài 3:

Quen thuộc!
ĐÃ BẢO LÀ DÀNH CHO thcs MÀ!

 

[01263812493]

[tex]a,b,c>0.and.a+b+c=3. \ Min:[/tex]
[tex]\huge \sum \frac{ab}{a+2b}[/tex]

 

[conami]

tiếp mấy bài cho các bạn THCS:
Bài 5: Với [tex]a,b,c[/tex] là 3 cạnh của tam giác. CMR: [tex]\frac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}+ \frac{b}{\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}}+ \frac{c}{\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}}<2\sqrt[3]{5}[/tex]

Cm [TEX]b^{3} +c^{3}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{1}{4}[/TEX][TEX](b+c)^{3}[/TEX]
=> [tex]\frac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}+ \frac{b}{\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}}+ \frac{c}{\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}}[/tex] [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\sqrt[3]{4}[/TEX]([TEX]\frac {a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}[/TEX]) < [TEX]\sqrt[3]{4}[/TEX]([TEX]\frac{2a}{a+b+c} + \frac{2b}{a+b+c} + \frac{2c}{a+b+c} [/TEX])=2[TEX]\sqrt[3]{4}[/TEX] < 2[TEX]\sqrt[3]{5}[/TEX] => Đpcm

 

[trydan]

[tex]a,b,c>0.and.a+b+c=3. \ Min:[/tex]
[tex]\huge \sum \frac{ab}{a+2b}[/tex]

Bắt đầu từ bài này rồi cho mắm muối vào là OK!