Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[math_life6196]

Bài 3: cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu v“ bằng 1. chứng minh rằng
[tex]1<\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{b+c^2}}+ \frac{a}{\sqrt{c+a^2}} <2[/tex]

 

[ohmymath]

ngoài những bất đẳng thức bboy nêu ở trên mình xin đăng 1 số hệ quả của bất đẳng thức Holder (vì dạng chính tắc phải dùng kiến thức cấp 3 nên hok dám đăng!!!)
hệ quả 1: với a;b;c;x;y;z;m;n;p >0 ta có :
[TEX]({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})({m}^{3}+{n}^{3}+{p}^{3})({x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3})\geq {(amx+bny+cpz)}^{3}[/TEX]
hệ quả 2:với dãy dương [TEX]{a}_{1};{a}_{2};...{a}_{n}[/TEX] ta có:
[TEX](1+{a}_{1})(1+{a}_{2})...(1+{a}_{n})\geq {(1+\sqrt[n]{{a}_{1}...{a}_{n}})}^{n}[/TEX]
có nhiều cách để cm hệ quả trên(kiến thức thcs)
sau đây mời các bạn làm 1 bài khởi động:
với mọi a;b;c >0 cm:
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}\geq 1[/TEX]
L-)L-)

 

[nhockthongay_girlkute]

ngoài những bất đẳng thức bboy nêu ở trên mình xin đăng 1 số hệ quả của bất đẳng thức Holder (vì dạng chính tắc phải dùng kiến thức cấp 3 nên hok dám đăng!!!)
hệ quả 1: với a;b;c;x;y;z;m;n;p >0 ta có :
[TEX]({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})({m}^{3}+{n}^{3}+{p}^{3})({x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3})\geq {(amx+bny+cpz)}^{3}[/TEX]
hệ quả 2:với dãy dương [TEX]{a}_{1};{a}_{2};...{a}_{n}[/TEX] ta có:
[TEX](1+{a}_{1})(1+{a}_{2})...(1+{a}_{n})\geq {(1+\sqrt[n]{{a}_{1}...{a}_{n}})}^{n}[/TEX]
có nhiều cách để cm hệ quả trên(kiến thức thcs)
sau đây mời các bạn làm 1 bài khởi động:
với mọi a;b;c >0 cm:
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}\geq 1[/TEX]
L-)L-)

[TEX]A=\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; B=\sum a(a^2+8bc)=a^3+b^3+c^3+24abc[/TEX]
[TEX]Holder\Rightarrow A^2B\geq (a+b+c)^3[/TEX]
[TEX]To prove: (a+b+c)^3\geq B[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc[/TEX]
khai triển ra rồi nhóm , nó đúng => đpcm

 

[nhockthongay_girlkute]

chém bài này nha mấy bé :x
[TEX]\left{a;b;c>0\\{a+b+c=1} .Prove \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq1[/TEX]

 

[ohmymath]

ok ko ok

chém bài này nha mấy bé :x
[TEX]\left{a;b;c>0\\{a+b+c=1} .Prove \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq1[/TEX]

hik bài này là bài 1.2.23 trong quyển của Phạm Kim Hùng!!!(nếu ai có)! xin tiếp chiêu của nhock nhanhock miễn đọc !!)
xét :S=[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}[/TEX]
P=[TEX]\sum[/TEX]a(a+2b)=(a+b+c)^2=1
holder ta có S^3.P[TEX]\geq [/TEX](a+b+c)^4=1 suy ra S[TEX]\geq [/TEX]1
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3:-\":-\":-\":-\"

 

[nhockthongay_girlkute]

bài này k có , tiếp chiêu tiếp đi e
[TEX] a,b,c >0.Prove \sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/TEX]

 

[trydan]

với mọi a;b;c >0 cm:
[TEX]T=\sum \frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}\geq 1[/TEX]
L-)L-)

Cách khác đơn giản dễ hiểu hơn ^^! $-)

Chứng minh cái này thì quá dễ

trả lời bài mà bảo miến đọc là sao e
bài đầu tiên spam của năm mới , mod đừng xóa )

Chị cũng là 1 MOD đấy nhé )

 

[trydan]

Cho x , y , z là các số không âm thoả mãn : x+y+z=4
Tìm Min , Max của : P = [TEX]\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}[/TEX]

Bất đẳng thức phụ

Áp dụng ta có

 

[math_life6196]

Cho các số [TEX]{x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{11}[/TEX] thỏa mãn :
[TEX]1 \leq {x}_{1} < {x}_{2} < {x}_{3} < ... < {x}_{11} \leq 1000[/TEX]
Chứng minh tồn tại số i sao cho : [TEX]{x}_{i+1}-{x}_{i}-1 < 3\sqrt[3]{{x}_{i}.{x}_{i+1}}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Nhân dịp năm mới có bài toán tặng các bạn:
Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{1}{a^{4}(a+b)} + \frac{1}{b^{4}(c+b)}+\frac{1}{c^{4}(a+c)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
với [tex]abc=1.[/tex]

 

[math_life6196]

bài này k có , tiếp chiêu tiếp đi e
[TEX] a,b,c >0.Prove \sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/TEX]

[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green]Đặt [tex]B= \sum_{cyclic} a^2 b^2[/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green][tex]\righ A^2.B\ge (a^2+b^2+c^2)^3[/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green]Ta cần chứng minh: [tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\ge 9\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green][tex]\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge 9.(a^2b^2+ b^2c^2+c^2a^2)\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\ \ [/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green]Mặt khác ta có :[/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green][tex] (a^2+b^2+c^2)^3=\[(a^2+b^2+c^2)^2\]^{\frac{3}{2}}=\[(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\]^{\frac{3}{2}} [/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green][tex]\rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge \(3.\sqrt[3]{(a^4+b^4+c^4).(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}\)^{\frac{3}{2}} [/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=green][tex]\rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge 9.(a^2b^2+ b^2c^2+c^2a^2)\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\ \ [/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
 
[FONT=Palatino Linotype][SIZE=4][COLOR=red][COLOR=green]Vậy bất đẳng thức chứng minh xong[/COLOR] [/COLOR][/SIZE][/FONT]

 

[tell_me_goobye]

bài này k có , tiếp chiêu tiếp đi e
[TEX] a,b,c >0.Prove \sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/TEX]

[TEX]Holder:(\sum_{cyc}\frac{a^2}{b})^2(\sum_{cyc}a^2b^2)^2\geq (\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2}{b}.\frac{a^2}{b}.a^2b^2})^3=(a^2+b^2+c^2)^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sum\frac{a^2}{b})^2\geq \frac{(\sum a^2)^3}{\sum a^2b^2}[/TEX]
[TEX]To prove :\frac{(\sum a^2)^3}{\sum a^2b^2}\geq (3\sqrt[4]{\frac{\sum a^4}{3}})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sum a^2)^3\geq \sqrt{27(\sum a^4)}(\sum a^2b^2)[/TEX]
[TEX]Substitution:x=a^2; y=b^2;z=c^2, we have [/TEX]
[TEX](x+y+z)^3\geq 3(xy+yz+zx)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\geq \frac{3\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}-3\geq \frac{3[\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(x+y+z)]}{x+y+z}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{2(x^2+y^2+x^2)-2(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3(3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{\sum(x-y)^2}{2(\sum xy)}\geq \frac{3[\sum(x-y)^2]}{(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 6(\sum xy)\leq (\sum x)(\sum x+\sqrt{3(\sum x^2)}[/TEX](1)
dế dàng chứng minh dc (1) đúng

 

[trydan]

Nhân dịp năm mới có bài toán tặng các bạn:
Chứng minh rằng :
[TEX]A=\frac{1}{a^{4}(a+b)} + \frac{1}{b^{4}(c+b)}+\frac{1}{c^{4}(a+c)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
với [tex]abc=1.[/tex]

 

[bboy114crew]

1/CMR:
[tex]\frac{{a^2 }}{{(b - c)^2 }} + \frac{{b^2 }}{{(a - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{(b - a)^2 }} \geq 2[/tex]

2/Tìm Min của biểu thức sau
[tex]A = \sqrt {x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {y^2 + y + \frac{1}{y} + \frac{1}{{y^2 }}} [/tex]
Biết [tex]x;y > 0[/tex] và [tex]x + y \geq 3[/tex]

 

[trydan]

1/CMR:
[tex]\frac{{a^2 }}{{(b - c)^2 }} + \frac{{b^2 }}{{(a - c)^2 }} + \frac{{c^2 }}{{(b - a)^2 }} \geq 2[/tex]

 

[bboy114crew]

Đặt [tex]a = x + \frac{1}{x}, b = y + \frac{1}{y}[/tex]
[tex]\to a+b = x+y + \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} = \frac{5(x+y)}{9} + (\frac{4x}{9}+\frac{1}{x}) + (\frac{4y}{9}+\frac{1}{y}) \ge \frac{13}{3} \to okie![/tex]
[tex]A = \sqrt{a^2+a-2} + \sqrt{b^2+b-2}[/tex]
với đk: [tex]a+b \ge \frac{13}{3}[/tex] thì đơn giản rồi !

 

[vodichhocmai]

2/Tìm Min của biểu thức sau
[tex]A = \sqrt {x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {y^2 + y + \frac{1}{y} + \frac{1}{{y^2 }}} [/tex]
Biết [tex]x;y > 0[/tex] và [tex]x + y \geq 3[/tex]

[TEX]\huge\blue \forall x\ge 0\righ \sqrt {x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{x^2 }}}\ge \frac{80x}{9\sqrt{175}}+\frac{\sqrt{175}}{6}-\frac{40}{3\sqrt{175}}\righ Done!![/TEX]

 

[01263812493]

Đề thi hsg Nghệ An...

Bài này mình post ở box 10 rồi nhưng cách giải thì dùng Holder, có ai giải bằng cách THCS ko :-SS
[TEX]a,b,c >0 \ and \ a+b+c \leq \frac{3}{2}.Min:[/TEX]
[TEX]\huge \prod(3+\frac{1}{a}+ \frac{1}{b})[/TEX]

 

[math_life6196]

Bài này mình post ở box 10 rồi nhưng cách giải thì dùng Holder, có ai giải bằng cách THCS ko :-SS
[TEX]a,b,c >0 \ and \ a+b+c \leq \frac{3}{2}.Min:[/TEX]
[TEX]\huge \prod(3+\frac{1}{a}+ \frac{1}{b})[/TEX]

[TEX]\prod \left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) \geq \prod \left(3+\frac{4}{a+b} \right) = 27+36\sum \frac{1}{a+b}+48\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)[/TEX] [TEX]+\frac{64}{\prod (a+b)}[/TEX]
[TEX]Using BDT Svac \rightarrow Min = 343 \leftrightarrow a=b=c=0,5[/TEX]

 

[haink]

[TEX]Sa i[/TEX]

Nhờ bác Khanhsy suy nghĩ giúp mình bài này nhé, mình post ngoài diễn đàn 2 ngày rồi mà chưa có cao thủ nào ra tay cả!

Cho 3 số thực dương thay đổi a, b, c sao cho:
[TEX]$a + b + c = 3$[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]$A = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{{1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}} \right) + \frac{{81}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc}}$[/TEX]