T
trydan
Cái này MinCốpxki mà cậu
Quay về trang đầu nhá
[TEX]a,b,c>0[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}[/TEX]
CM [TEX]\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b} \geq 4[/TEX]
- Status
[TEX]a,b,c>0[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}[/TEX]
CM [TEX]\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b} \geq 4[/TEX]
0
01263812493
Cho a, b, c > 0 và [TEX] a+b+c \leq \frac{3}{2} [/TEX]
Tìm min [TEX] T=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4a+\frac{1}{a}+4b+\frac{1}{b}+ 4c+\frac{1}{c}-3(a+b+c) \geq 12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2} \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]
Q
quan8d
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c} \Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{c}{b}=2[/TEX] và [TEX]\frac{ac}{b}=2a-c ; \frac{bc}{a}=2b-c[/TEX]
[TEX]a,b,c>0[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}[/TEX]
CM [TEX] \frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b} \geq 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a+c}{2a-c}+\frac{c+b}{2b-c}=\frac{b(a+c)}{ac}+\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}[/TEX]
[TEX](\frac{b}{c}+\frac{a}{c} )(\frac{c}{b}+\frac{c}{a})\geq 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{a}{c} \geq 2[/TEX]
\Rightarrow đpcm
Last edited by a moderator:
Q
quan8d
CMR :[TEX]\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}} \leq 1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}[/TEX] với n nguyên dương.
Q
quyenuy0241
Rất tiếc bài này sai em à!
Nhớ rằng: khi đã giả sử [tex]a \ge b \ge c [/tex]
thì a,b,c không còn bình đẳng nữa!
quyenuy0241 said:
D
daodung28
cmr với a,b,c ko âm và có tổng = 1
[TEX]\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
p/s: cái này trong TTT số 52 phần thách đấu no mình ko có số 54
[TEX]\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
p/s: cái này trong TTT số 52 phần thách đấu no mình ko có số 54
Last edited by a moderator:
V
vodichhocmai
a+b+c=3 chứ em ?
[TEX]note:\ \ \red a^2=a\(a+b^2-b^2\)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2}{a+b^2} = a- \frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{1}{2}\sqrt{a}b [/TEX]
[TEX]\righ \frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq a+b+c- \frac{\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a}{2}\ \ \(*\)[/TEX]
Chúng ta lại có :
[TEX]a+b+c+\frac{\(a+b+c\)^2}{3}\ge \(ab+b\)+\(bc+c\)+\(ca+a\) \ge 2\(\sqrt{a}b+sqrt{b}c+\sqrt{c}a\)[/TEX]
Thế vào [TEX]\(*\)[/TEX] chúng có :
[TEX]\righ \frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq a+b+c- \(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a\)\ge a+b+c -\frac{a+b+c+\frac{\(a+b+c\)^2}{3}}{4}= DONE!![/TEX]
cmr với a,b,c ko âm và có tổng [TEX]= 3[/TEX]
[TEX] \frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
p/s: cái này trong TTT số 52 phần thách đấu no mình ko có số 54
[TEX]note:\ \ \red a^2=a\(a+b^2-b^2\)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2}{a+b^2} = a- \frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{1}{2}\sqrt{a}b [/TEX]
[TEX]\righ \frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq a+b+c- \frac{\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a}{2}\ \ \(*\)[/TEX]
Chúng ta lại có :
[TEX]a+b+c+\frac{\(a+b+c\)^2}{3}\ge \(ab+b\)+\(bc+c\)+\(ca+a\) \ge 2\(\sqrt{a}b+sqrt{b}c+\sqrt{c}a\)[/TEX]
Thế vào [TEX]\(*\)[/TEX] chúng có :
[TEX]\righ \frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq a+b+c- \(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a\)\ge a+b+c -\frac{a+b+c+\frac{\(a+b+c\)^2}{3}}{4}= DONE!![/TEX]
B
bboy114crew
bài nữa nè:
Cho a+b+c=3.CMR:
[tex] \frac{a}{ a^{3} + b^{2} + c }[/tex] + [tex] \frac{b}{ b^{3} + c^{2} + a }[/tex] + [tex] \frac{c}{ c^{3} + a^{2} +b } \leq 1[/tex]
Cho a+b+c=3.CMR:
[tex] \frac{a}{ a^{3} + b^{2} + c }[/tex] + [tex] \frac{b}{ b^{3} + c^{2} + a }[/tex] + [tex] \frac{c}{ c^{3} + a^{2} +b } \leq 1[/tex]
Last edited by a moderator:
N
ngocphuong_dk96
một bài hay!
cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]x^{2} +2y^{2}+3z^{2}=1[/tex]
tìm GTLN của biểu thức:
[tex]P=\frac{1}{1-yz\sqrt{6}}+\frac{1}{1-xy\sqrt{2}} +\frac{1}{1-zx\sqrt{3}}[/tex]
cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]x^{2} +2y^{2}+3z^{2}=1[/tex]
tìm GTLN của biểu thức:
[tex]P=\frac{1}{1-yz\sqrt{6}}+\frac{1}{1-xy\sqrt{2}} +\frac{1}{1-zx\sqrt{3}}[/tex]
Last edited by a moderator:
B
bboy114crew
0
0986259456
Tìm mjn với a,b,c la các số thực:
[TEX]a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3[/TEX]
[TEX]a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3[/TEX]
Last edited by a moderator:
0
01263812493
Tự nhiên tìm được một bài
Cho các số x,y,z thay đổi thoả mãn:
[tex] \blue x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Tìm Max :
[tex] \blue \huge P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2] [/tex]
Cho các số x,y,z thay đổi thoả mãn:
[tex] \blue x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Tìm Max :
[tex] \blue \huge P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2] [/tex]
D
daodung28
đề thi học kì chúng mình có câu
cho [TEX]x\geq -1, y\geq 1 [/TEX] thoả mãn [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+8[/TEX]
tìm min [TEX]x^4+y^2-5(x+y)+2020[/TEX]
cho [TEX]x\geq -1, y\geq 1 [/TEX] thoả mãn [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+8[/TEX]
tìm min [TEX]x^4+y^2-5(x+y)+2020[/TEX]
B
bigbang195
Using Bunyakovsky :
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2(x-y+2)^2+2[(x+1)+(y-1)]} \ge \sqrt{2[(x+1)+(y+1)]} \ge \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}[/TEX]
dấu bằng xảy ra nên[TEX] x+1=y-1.[/TEX]
nên [TEX]x^4+y^2-5(x+y)+2020=x^4+(x+2)^2-5(2x+2)+2020.[/TEX]
[TEX]=x^4+x^2-6x+2014[/TEX]
Theo AM-GM : [TEX]x^4+3 \ge 4x ,x^2 +1 \ge 2x[/TEX] so
we have [TEX]x^4+x^2-6x+2014 \ge 2010[/TEX]
B
bboy114crew
bài này thế này:Tự nhiên tìm được một bài
Cho các số x,y,z thay đổi thoả mãn:
[tex] \blue x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Tìm Max :
[tex] \blue \huge P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2] [/tex]
ta có:[tex] \blue x^2+y^2+z^2=1[/tex] suy ra: [tex]x^2 \leq 1;y^2 \leq 1;z^2 \leq 1[/tex]
do đó:
[tex]x^2(y-z)^2 \leq (y-z)^2 = y^2 + z^2 - 2yz[/tex](1)
dấu = đạt được khi và chỉ khi: y=z hoặc [tex]x^2 = 1[/tex]
tương tự: [tex]y^2(x-z)^2 \leq x^2 + z^2 - 2xz[/tex](2)
[tex]z^2(y-x)^2 \leq y^2 + x^2 - 2yx[/tex](3)
từ (1),(2) và (3) ta có:
[tex]x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \leq 2(x^2 + y^2 +z^2) + 2(xz+xy+yz) = 2 - 2(xz+xy+yz)[/tex]
suy ra: [tex] \blue \huge P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2] \leq 1[/tex]
dấu = xảy ra khi :[tex]x=y=z = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
Last edited by a moderator:
D
daodung28
cho x,y,z>0,thoả mãn[TEX]\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6[/TEX]
xét [TEX]P= x+y^2+z^3[/TEX]
a, cm [TEX]P \geq x+2y+3z-3[/TEX]
b, tìm min của P
xét [TEX]P= x+y^2+z^3[/TEX]
a, cm [TEX]P \geq x+2y+3z-3[/TEX]
b, tìm min của P
Last edited by a moderator:
B
bboy114crew
bài nữa:
CMR:voi a,b,c>o ta co:
[tex]\frac{1}{a} [/tex] + [tex]\frac{1}{b} [/tex] + [tex]\frac{1}{c} [/tex] \geq (1+ [tex]sqrt{2}[/tex] + [tex]sqrt{3}[/tex])([tex]\frac{1}{a+sqrt{2}b+sqrt{3}c }[/tex] + [tex]\frac{1}{b+sqrt{2}c+sqrt{3}a}[/tex] + [tex]\frac{1}{c+sqrt{2}a+sqrt{3}b}[/tex])
CMR:voi a,b,c>o ta co:
[tex]\frac{1}{a} [/tex] + [tex]\frac{1}{b} [/tex] + [tex]\frac{1}{c} [/tex] \geq (1+ [tex]sqrt{2}[/tex] + [tex]sqrt{3}[/tex])([tex]\frac{1}{a+sqrt{2}b+sqrt{3}c }[/tex] + [tex]\frac{1}{b+sqrt{2}c+sqrt{3}a}[/tex] + [tex]\frac{1}{c+sqrt{2}a+sqrt{3}b}[/tex])
B
bboy114crew
bài dễ!
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn [tex] x^{2} +y^{2}+ xy=1[/tex]
Tìm min và max của B=[tex] x^{2}-xy+2y^{2} [/tex](trích đề chuyên toán Thái Bình)
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn [tex] x^{2} +y^{2}+ xy=1[/tex]
Tìm min và max của B=[tex] x^{2}-xy+2y^{2} [/tex](trích đề chuyên toán Thái Bình)
0
01263812493
Bài này lạ lạ quá
Tìm Min + Max của:
[TEX]\huge \blue a=\frac{x^2+3x-1}{x^2+2x+5}[/TEX]
P/s: bài này mình dùng miền giá trị không xong
Tìm Min + Max của:
[TEX]\huge \blue a=\frac{x^2+3x-1}{x^2+2x+5}[/TEX]
P/s: bài này mình dùng miền giá trị không xong
0
0915549009
[TEX]P=\frac{x^2+3x-1}{x^2+2x+5} \Rightarrow f(x)=P-t = \frac{x^2+3x-1-t(x^2+2x+5)}{x^2+2x+5} [/TEX]Bài này lạ lạ quá
Tìm Min + Max của:
[TEX]\huge \blue a=\frac{x^2+3x-1}{x^2+2x+5}[/TEX]
P/s: bài này mình dùng miền giá trị không xong
Tử số: [TEX]g(x) = (1-t)x^2+x(3-2t)-1-5t \Rightarrow \large\Delta =0 \Rightarrow Min =\frac{-4+\sqrt{848}}{-32}; Max = \frac{4+\sqrt{848}}{32}[/TEX]
Last edited by a moderator:
- Status