T
- Status
0
01263812493
đề thi hsg 9
Cho a,b,c >0. CMr:
[TEX]\huge \blue \frac{a}{3a+b+c} + \frac{b}{a+3b+c} + \frac{c}{a+b+3c} \leq \frac{3}{5}[/TEX]
)
Cho a,b,c >0. CMr:
[TEX]\huge \blue \frac{a}{3a+b+c} + \frac{b}{a+3b+c} + \frac{c}{a+b+3c} \leq \frac{3}{5}[/TEX]
)
0
01263812493
Cho x,y,z,t >0 và thoả:
[TEX]\huge \blue \left{x^2-y^2+t^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101[/TEX]
Tỉm Min : [TEX]\blue Q=x^2+y^2+2z^2+t^2[/TEX]
[TEX]\huge \blue \left{x^2-y^2+t^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101[/TEX]
Tỉm Min : [TEX]\blue Q=x^2+y^2+2z^2+t^2[/TEX]
P
pampam_kh
Lấy (1) + (2) vế với vế:
[TEX]\Rightarrow 2(x^2 +y^2 + 2z^2 + t^2) -t^2 = 122[/TEX]
Do đó: [TEX]Q= 61 + \frac{t^2}{2} \geq 61[/TEX][TEX]\Rightarrow Q_{min} = 61 \Leftrightarrow t=0[/TEX]
Với t= 0, từ (1) \Rightarrow [TEX]x^2 - y^2 = 21\Leftrightarrow(x-y)(x+y) = 21[/TEX]
Vì x,y > 0 nên xảy ra 2 trường hợp:
- [TEX]\left{x -y =1 \\ x+y =21 [/TEX][tex]\Leftrightarrow \left{x=11\\y=10[/tex] (loại vì không thoả (2))
- [TEX]\left{x-y =3\\x+y =7[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left{x=5\\ y=2[/TEX]Thay vào (2) ta có z=4
B
bboy114crew
một vài bài BDt dạng cộng mẫu!
Bài 1: Cho a,b,c thuộc đoạn (0;1] CMR
[tex]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a} \ge \frac{3}{3+abc}[/tex]
Bài 2: Cho a, b, c >0. CMR: [tex] \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c} \ge \frac{36}{a+b+c}[/tex]
Bài 3: Cho a;b;c>0. CMR [tex] \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \ge 6[/tex]
Bài 4: Cho a;b;c.0.CMR: [tex] \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \ge \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}[/tex]
Bài 1: Cho a,b,c thuộc đoạn (0;1] CMR
[tex]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a} \ge \frac{3}{3+abc}[/tex]
Bài 2: Cho a, b, c >0. CMR: [tex] \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c} \ge \frac{36}{a+b+c}[/tex]
Bài 3: Cho a;b;c>0. CMR [tex] \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \ge 6[/tex]
Bài 4: Cho a;b;c.0.CMR: [tex] \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \ge \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}[/tex]
B
bboy114crew
áp dụng BĐT Cauchy-schwarz
ta có:
[tex]\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}\leq \frac{1}{a}+\frac{2}{\sqrt{2}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}[/tex]
làm tương tự rồi cộng 3 cái lại rút gọn 2 vế cho [tex]1+\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex] ta được đpcm!
0
01263812493
B
bboy114crew
vai bai tuong tu bai tren:Cho a,b,c >0. CMr:
[TEX]\huge \blue \frac{a}{3a+b+c} + \frac{b}{a+3b+c} + \frac{c}{a+b+3c} \leq \frac{3}{5}[/TEX]
Bai 1: Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn abc=1. CMR
[Tex]\frac{1}{a+3ab+5}+\frac{1}{b+3bc+5}+\frac{1}{c+3ca+5}\leq\frac{1}{3}[/Tex]
Bài 2: Cho a, b, c là 3 số dương. CMR
[TEX]\frac{a}{2a+b+2c}+\frac{b}{2b+c+2a}+\frac{c}{2c+a+2b}\leq\frac{3}{5}[/TEX]
B
bboy114crew
gop vui 1 bai!
Cho [TeX]x,y\ge{0}[/TeX] và [TeX]x+y=\sqrt{10}[/TeX]. Tìm Max và Min của [TeX](x^4+1)(y^4+1)[/TeX]
Cho [TeX]x,y\ge{0}[/TeX] và [TeX]x+y=\sqrt{10}[/TeX]. Tìm Max và Min của [TeX](x^4+1)(y^4+1)[/TeX]
0
01263812493
Từ [TEX]x+y=\sqrt{10}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2=10-2xy[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4=100+2x^2y^2-40xy[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=x^4y^4+100+2x^2y^2-40xy+1[/TEX]
[TEX]=x^4y^4-8x^2y^2+16+10x^2y^2-40xy+40+45[/TEX]
[TEX]=(x^2y^2-4)^2 +10(xy-2)^2+45 \geq 45 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min =45 \Leftrightarrow \left{xy=2\\x+y=\sqrt{10}[/TEX]
Về Max:
[TEX]xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{5}{2}[/TEX]
Đặt [tex]xy=q \geq 0[/tex]
[TEX]\Rightarrow q^3+2q-40 <0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=q(q^3+2q-40)+101 \leq 101 \Leftrightarrow q=0 \Rightarrow \left[x=0\\y=0[/TEX]
Ý mình là x,y,z không nguyên sao bạn đưa về được pt tích :|
B
bboy114crew
bai nua:
Cho x,y,z là các số thực thỏa [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Tìm min của biểu thức [tex]\frac{x}{{1 - x^2 }} + \frac{y}{{1 - y^2 }} + \frac{z}{{1 - z^2 }}[/tex]
minh post loi giai lun cho moi nguoi tham khao!
[tex]\frac{x}{{1 - x^2 }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {1 - x^2 } \right)^2 } }} = \frac{{x.\sqrt {2x^2 } }}{{\sqrt {2x^2 \left( {1 - x^2 } \right)^2 } }} \ge \frac{{\sqrt 2 x^2 }}{{\sqrt {\left( {\frac{{1 - x^2 + 1 - x^2 + 2x^2 }}{3}} \right)^3 } }} = \frac{{3\sqrt 3 x^2 }}{2}[/tex]
tt ta có [tex]\frac{y}{{1 - y^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 y^2 }}{2},\frac{z}{{1 - z^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 z^2 }}{2}[/tex]
Công vế theo vế ta có :[tex]\sum {\frac{x}{{1 - x^2 }}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\sum {x^2 } = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}[/tex]
Biểu thức đạt min khi [tex]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
Cho x,y,z là các số thực thỏa [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Tìm min của biểu thức [tex]\frac{x}{{1 - x^2 }} + \frac{y}{{1 - y^2 }} + \frac{z}{{1 - z^2 }}[/tex]
minh post loi giai lun cho moi nguoi tham khao!
[tex]\frac{x}{{1 - x^2 }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {1 - x^2 } \right)^2 } }} = \frac{{x.\sqrt {2x^2 } }}{{\sqrt {2x^2 \left( {1 - x^2 } \right)^2 } }} \ge \frac{{\sqrt 2 x^2 }}{{\sqrt {\left( {\frac{{1 - x^2 + 1 - x^2 + 2x^2 }}{3}} \right)^3 } }} = \frac{{3\sqrt 3 x^2 }}{2}[/tex]
tt ta có [tex]\frac{y}{{1 - y^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 y^2 }}{2},\frac{z}{{1 - z^2 }} \ge \frac{{3\sqrt 3 z^2 }}{2}[/tex]
Công vế theo vế ta có :[tex]\sum {\frac{x}{{1 - x^2 }}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\sum {x^2 } = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}[/tex]
Biểu thức đạt min khi [tex]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
0
01263812493
2. C-S ra liền
3.
) mà hình như đề sai hay là mình sai đề thấy ngộ :|Đưa lời giải đi bạn
4. thử thấy sai
Last edited by a moderator:
B
bboy114crew
bài 3:2. C-S ra liền
3.
Đưa lời giải đi bạn
4. thử thấy sai
[tex]\frac{{a + 3c}}{{a + b}} + \frac{{c + 3a}}{{b + c}} + \frac{{4b}}{{c + a}} \ge 6\left( 1 \right)\left( {a,b,c > 0} \right) [/tex]
[tex]x= a + b,y = b + c,z = c + a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{x + z - y}}{2} \\ b = \frac{{x + y - z}}{2} \\ c = \frac{{y + z - x}}{2} \\ x,y,z > 0 \\ \end{array} \right. [/tex]
[tex]\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{x + z - y + 3\left( {y + z - x} \right)}}{{2x}} + \frac{{y + z - x + 3\left( {x + z - y} \right)}}{{2y}} + \frac{{2\left( {x + y - z} \right)}}{z} \ge 6 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{{y + 2z - x}}{x} + \frac{{x + 2z - y}}{y} + \frac{{2x + 2y - 2z}}{z} \ge 6 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + 2\left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) + 2\left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) \ge 10\left( {True - AM - GM} \right) [/tex]
Bài 2 :
[tex]\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \ge \frac{{36}}{{a + b + c}}\left( {a,b,c > 0} \right) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right) \ge 36[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1 + 4 + 9 + \frac{{4a}}{b} + \frac{b}{a} + \frac{{9a}}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{9b}}{c} + \frac{{4c}}{b} \ge 36 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left( {\frac{{4a}}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{{9a}}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{{9b}}{c} + \frac{{4c}}{b}} \right) \ge 22\left( {True - AM - GM} \right) [/tex]
P/s:Bài này có thể chém gọn bằng BĐT Cauchy-Schwarz
B
bboy114crew
Bài 4:
[tex] \frac{3}{a+b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b/2+b/2} \leq \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b/2}+\frac{1}{b/2})=\frac{1}{3a}+\frac{4}{3b} [/tex]
[tex]\frac{18}{3b+4c}=2.\frac{9}{3b+2c+2c} \leq 2.(\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c})=\frac{2}{3b}+\frac{2}{c}[/tex]
[tex] \frac{9}{c+6a} = \frac{9}{c+3a+3a} \leq \frac{1}{c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}=\frac{1}{c}+\frac{2}{3a} [/tex]
Cộng các bdt trên ta được [tex] \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a} \leq \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}[/tex]
dpcm. dtxr <=> a=1, b=2, c=3
[tex] \frac{3}{a+b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b/2+b/2} \leq \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b/2}+\frac{1}{b/2})=\frac{1}{3a}+\frac{4}{3b} [/tex]
[tex]\frac{18}{3b+4c}=2.\frac{9}{3b+2c+2c} \leq 2.(\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c})=\frac{2}{3b}+\frac{2}{c}[/tex]
[tex] \frac{9}{c+6a} = \frac{9}{c+3a+3a} \leq \frac{1}{c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}=\frac{1}{c}+\frac{2}{3a} [/tex]
Cộng các bdt trên ta được [tex] \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a} \leq \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}[/tex]
dpcm. dtxr <=> a=1, b=2, c=3
B
bboy114crew
mình làm tóm tắt thui!Cho a,b,c >0. CMr:
[TEX]\huge \blue \frac{a}{3a+b+c} + \frac{b}{a+3b+c} + \frac{c}{a+b+3c} \leq \frac{3}{5}[/TEX]
áp dụng Cauchy-Schwarz [tex]\frac{a}{3a+b+c}=\frac{a}{(a+b+c)+(a+b)+(a+c)}\leq\frac{1}{25}.(\frac{9a}{a+b+c}+\frac{4a}{2a})[/tex]
làm tương tự rồi cộng lại ta có đpcm
V
vodichhocmai
Cho a,b,c >0. CMr:
[TEX]\huge \blue \frac{a}{3a+b+c} + \frac{b}{a+3b+c} + \frac{c}{a+b+3c} \leq \frac{3}{5}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2\(a+b+c\)}+\frac{1}{2\(a+b+c\)}+\frac{1}{2\(a+b+c\)}+ \frac{1}{6a}+ \frac{1}{6a} \ge \frac{25}{6\(3a+b+c\)}[/TEX]
[TEX]\righ Done!![/TEX]
Làm đại không biết có đúng không nửa . Nếu có sai xin mấy đại ca tha thứ
B
bboy114crew
mấy bài nữa !
BÀI 1:[tex]a,b,c > 0[/tex] CMR [tex]\sum \frac{b^2c}{a(a^2c+b^2c+1)} \geq \frac{ab+bc+ac}{1+2abc}[/tex]
BÀI 2:[tex]a,b,c > 0[/tex] CMR
[tex]\frac{a^4b}{(a^2+b)(b^2+c)} +\frac{b^4a}{(ab+c)(a+bc)}+\frac{c^3ab}{(1+c)(1+a)} \geq \frac{ab(a+b+c)}{(1+a)(1+b) [/tex]
BÀI 1:[tex]a,b,c > 0[/tex] CMR [tex]\sum \frac{b^2c}{a(a^2c+b^2c+1)} \geq \frac{ab+bc+ac}{1+2abc}[/tex]
BÀI 2:[tex]a,b,c > 0[/tex] CMR
[tex]\frac{a^4b}{(a^2+b)(b^2+c)} +\frac{b^4a}{(ab+c)(a+bc)}+\frac{c^3ab}{(1+c)(1+a)} \geq \frac{ab(a+b+c)}{(1+a)(1+b) [/tex]
Q
quan8d
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
[TEX]\prod (a^2+2) \geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2 [/TEX]
[TEX]\prod (a^2+2) \geq 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2 [/TEX]
B
bboy114crew
Bài 1: Cho [tex]a,b,c \geq 0[/tex] thỏa mãn [tex]a+b+c=3[/tex]. T“m GTLN của :
[tex] A=ab+2bc+3ac.[/tex]
Bài 2: CMR: [tex](\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)>25[/tex]
Bài 3: : Cho [tex]a,b,c>0[/tex] và [tex]a+b+c=3[/tex]. T“m GTLN:
[tex]A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex]
Bài 4: Cho các số thực dương a,b,c,chứng minh:
[tex]\frac{9}{a+b+c} - \frac{1}{abc} \leq 2[/tex].
Bài 5 : cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
[tex]\frac{1}{ a^{4}(a+b)} + \frac{1}{ b^{4}(b+c)} + \frac{1}{ c^{4}(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/tex]
[tex] A=ab+2bc+3ac.[/tex]
Bài 2: CMR: [tex](\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)>25[/tex]
Bài 3: : Cho [tex]a,b,c>0[/tex] và [tex]a+b+c=3[/tex]. T“m GTLN:
[tex]A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/tex]
Bài 4: Cho các số thực dương a,b,c,chứng minh:
[tex]\frac{9}{a+b+c} - \frac{1}{abc} \leq 2[/tex].
Bài 5 : cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
[tex]\frac{1}{ a^{4}(a+b)} + \frac{1}{ b^{4}(b+c)} + \frac{1}{ c^{4}(c+a)} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Last edited by a moderator:
V
vodichhocmai
[TEX]\Leftrightarrow8+\(a^2+b^2+c^2\)4+\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)2+a^2b^2c^2\ge 3\(a^2+b^2+c^2\)+6\(ab+bc+ca\)+1-2abc+a^2b^2c^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 7+\(a^2+b^2+c^2\)+2\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\ge 6\(ab+bc+ca\)-2abc[/TEX]
Chúng tại có các bất đẳng thức phụ sau :
[TEX]\left{ a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2\(ab+bc+ca\)\\ 2\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)+ 6\ge 4\(ab+bc+ca\)[/TEX]
Mình làm không biết đúng không . Nếu có sai xin mấy đại ca đừng la trách
- Status