Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

  • Thread starter bigbang195
  • Ngày gửi
  • Replies 1,062
  • Views 161,325

Status
Không mở trả lời sau này.
0

0915549009

duynhan1 said:
[TEX]\huge P =\frac{4}{4-x^2} + \frac{9x^2}{9x^2-1} = \frac{36x^2- 4+ 36x^2-9x^4}{-9x^4+ 37x^2-4} = \frac{-9x^4+72x^2-4}{-9x^4+37x^2-4} [/TEX]

[TEX]\huge 5P -12 = \frac{63x^4 -84x^2+28}{(4-x^2)(9x^2-1)} = \frac{7(3x-2)^2}{(4-x^2)(9x^2-1)} \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow P \ge \frac{12}{5} [/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x^2 = \frac23 \\ y^2 = \frac32[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Em có cách nhanh hơn nè anh ;));));))
[TEX]P =\frac{4}{4-x^2} + \frac{9}{9-x^2} = \frac{1}{1-\frac{x^2}{4}} + \frac{1}{1-\frac{y^2}{9}} \geq \frac{4}{2-(\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{9})} \geq \frac{12}{5}[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ x^2 = \frac23 \\ y^2 = \frac32[/TEX]
 
M

minhkhac_94

0915549009 said:
[TEX]a,b,c>0;abc=1.Max: \sum\frac {1}{a+b+4} [/TEX]

Khổ ghê :)):)):))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


InuYasha said:
Đặt [TEX]x=\sqrt{bc}, y=\sqrt{ca},z=\sqrt{ab} \Rightarrow xyz=1[/TEX]
Ta có [TEX]a+b \ge 2z, b+c \ge 2x, c+a \ge 2y[/TEX]
Do đó [TEX]P=\frac{1}{a+b+4} + \frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2})[/TEX]
Ta sẽ cm [TEX]\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \le 1[/TEX](*)
Thật vậy:
[TEX](*) \Leftrightarrow xy+yz+zx +4(x+y+z) +12 \le xyz +4(x+y+z)+ 2(xy+yz+zx)+8 \Leftrightarrow xy+yz+zx +xyz \ge 4[/TEX]
(đúng theo BĐT AM-GM do xyz=1)
Vậy Max P=1/2 khi a+b+c=1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
P

pampam_kh

Cho a, b, c > 0 thoả mãn x+ 2y +3z = 18. CMR:

[tex]\frac{2y+3z+5}{1+x} + \frac{3z+x+ 5}{1 + 2y} + \frac{x+2y+5}{1+3z} \geq \frac{51}{7}[/tex]
 
D

duynhan1

pampam_kh said:
Cho a, b, c > 0 thoả mãn x+ 2y +3z = 18. CMR:

[tex]\frac{2y+3z+5}{1+x} + \frac{3z+x+ 5}{1 + 2y} + \frac{x+2y+5}{1+3z} \geq \frac{51}{7}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]BDT \Leftrightarrow \frac{2y+3z+5}{1+x} + 1 + \frac{3z+x+ 5}{1 + 2y} +1 + \frac{x+2y+5}{1+3z} +1 \geq \frac{51}{7} + 3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 24 ( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+2y} + \frac{1}{1+2z} ) \ge \frac{72}{7} [/TEX](*)

Mà [TEX] \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+2y} + \frac{1}{1+2z} \ge \frac{(1+1+1)^2}{3+x+2y+3z} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} [/TEX]

Do đó (*) luôn đúng :D
 
P

pampam_kh

MÌnh còn cách khác này:

Đặt 1+x = a, 1+ 2y =b, 1+ 3z =c (a,b,c >0)
\Rightarrow a+b+c = 21

Ta có
  • 2y+3z+5 = b+c+3
  • 3z + x+ 5 = a+c+3
  • x+2y+5=a+b+3
\Rightarrow [tex]A = \frac{ b+c+3}{a} + \frac{ a+c+3}{b} + \frac{ a+b+3}{c}=(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}) +(\frac{b}{c} +\frac{c}{b}) + (\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) + 3( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2+2+2+\frac{9}{a+b+c}= \frac{51}{7} (dpcm)[/tex]
' =' \Leftrightarrow x=6,y=3,z=2
 
K

khoacoi16

các bạn giải hộ bài cực trị hình học
cho tam giác ABC. M là 1 điểm di đọng trong tam giác.
khoảng cách từ M đến AB,BC,AC lần lượt là x,y,z. Xác định vị trí của M
để
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}[/TEX]min
thank ai giải đc
 
0

0915549009

khoacoi16 said:
các bạn giải hộ bài cực trị hình học
cho tam giác ABC. M là 1 điểm di đọng trong tam giác.
khoảng cách từ M đến AB,BC,AC lần lượt là x,y,z. Xác định vị trí của M
để
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}[/TEX] min
thank ai giải đc
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Nói là cực trị hình nhưng cũng như đại thui :D:D:D
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} = \sum \frac{x^2}{xy+xz} \geq \frac{(\sum x)^2}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]x=y=z[/TEX] nghĩa là M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác :D:D:D
 
Q

quan8d

Tìm Min và Max của : [TEX]x_1.x_2.....{x}_ {30}.{x}_{31}[/TEX]
Biết : [TEX]x_1+x_2+...+{x}_{30}+x_{31} = 2010[/TEX] và [TEX]x_1 , x_2 , ... , x_{31} \in N*[/TEX]
 
N

nameless1100

bigbang195 said:
Bất Đẳng Thức
​
Mở rộng thêm :​
Bất đẳng thức MinCopxki :
[TEX]\huge *[/TEX]với mọi [TEX] \huge a,b,x,y,z[/TEX] thì
[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \ge \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}[/TEX]

[TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]Dạng tổng quát với mọi [TEX]\huge a_1,a_2...a_n;b_1,b_2...b_n[/TEX] thì :

[TEX]\huge \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+..\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{(a_1+a_2+...a_n)^2+(b_1+b_2+...b_n)^2[/TEX]

Chứng minh nó khá dễ vì nó chính là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwar

Các bất đẳng thức trên đều dễ chứng minh,xin dành cho các bạn.Tuy có dạng tổng quát nhưng đối với học sinh trung học cơ sở thì chỉ được sử dụng 2 bất đẳng thức này với 2 biến(am-gm) hay 2 bộ số (Bunhiacopski) .Nếu các bạn muốn sử dụngvới nhiều biến hơn thì khi đi thi phải chứng minh các bất đẳng thức này.​

​
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
​
Phần kiến thức này có một lỗi sau trầm trọng.Đó là [TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \ge \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}[/TEX]
Nhưng đáng lẻ phải là [TEX]\huge \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}[/TEX]
Có lẻ các bạn không cần nhưng do mình ghi chép lại nên cái này có thể gây một lỗ hổng kiến thức cho mình! Kính mong bigbang sữa lại ngay.
 
N

nhockthongay_girlkute

Tim` giá trị lớn nhất của biểu thức
[TEX]M=\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}[/TEX]
trong đó x,y,z là các số dương thoả mãn điều kiện
[TEX]x+2y+3z=\frac{1}{4}[/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

Cho 4 số a,b,c,d thuộc [TEX](0;\frac{1}{2}] [/TEX]cm
[TEX](\frac{a+b+c+d}{4-a-b-c-d})^4\ge\ \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}[/TEX]
 
B

boy8xkute

Cho phép tớ nói sơ qua về cực trị 1 chút nha !


Cực Trị

Đây là công thức tổng quát của cực trị:

***
[TEX]x^2[/TEX] với [TEX]\forall x \in R [/TEX]. Dấu "=" \Leftrightarrow x = 0

\Rightarrow [TEX][f(x)]^{2k} \geq 0[/TEX] với [TEX]\forall x \in R[/TEX] và [TEX]k \in Z[/TEX] . Dấu "=" \Leftrightarrow f(x) = 0

- GTLN : [TEX]M - [f(x)]^{2k} \leq M[/TEX] . Dấu "=" \Leftrightarrow f(x) = 0


- GTNN : m[TEX] + [f(x)]^{2k} \geq 0[/TEX] . Dấu "=" \Leftrightarrow f(x) = 0




 
Last edited by a moderator:
D

dandoh221

Luôn bài tổng quát. CMR :
gif.latex
 
H

hoa_giot_tuyet

Em đóng góp vs chứ nhỉ :D
Cho 3 số nguyên dương a,b,c sao cho a+b+c = 1 Tìm GTNN của biểu thức
[TEX]P = \frac{9}{1-2(ab+bc+ca)} + \frac{2}{abc}[/TEX]
 
Q

quan8d

hoa_giot_tuyet said:
Em đóng góp vs chứ nhỉ :D
Cho 3 số nguyên dương a,b,c sao cho a+b+c = 1 Tìm GTNN của biểu thức
[TEX]P = \frac{9}{1-2(ab+bc+ca)} + \frac{2}{abc}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

P [TEX] = \frac{9}{1-2(ab+bc+ca)} + \frac{2}{abc}[/TEX]
[TEX]= \frac{9}{a^2+b^2+c^2} + \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ca} [/TEX] \geq[TEX] \frac{(3+2+2+2)^2}{(a+b+c)^2} = 81 ( Svac )[/TEX]
[TEX]" = " \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}[/TEX]
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom