[tex] S = \frac{1}{3(1+\sqrt{2}} + \frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})} + \frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})} +...+ \frac{1}{97(\sqrt{48}+\sqrt{49})}[/tex]
So sánh S với [tex]\frac{3}{7}[/tex]
[tex] S = \frac{1}{3(1+\sqrt{2}} + \frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})} + \frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})} +...+ \frac{1}{97(\sqrt{48}+\sqrt{49})}[/tex]
So sánh S với [tex]\frac{3}{7}[/tex]
Mình giải bài này nhé:
Xét bài toán phụ:
[tex]A = \frac{1}{[n+ (n+1)][\sqrt{n+1} + \sqrt{n}]} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+ n+1 }= \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2n +1} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}[/tex]
\Rightarrow [tex] A < \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}= \frac{1}{2}. (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})[/tex]
\Rightarrow [tex] S < \frac{1}{2}. ( \frac{1}{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{48}} - \frac{1}{\sqrt{49}})[/tex]
\Rightarrow[tex] S< \frac{1}{2}(1- \frac{1}{7}) = \frac{1}{2}.\frac{6}{7} =\frac{3}{7}[/tex]
\Rightarrow ĐPCM
Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tuỳ ý được lấy ra từ tập hợp [tex] A =\left \{ 1, 2, 3,..., 2006^{2007} \right \} [/tex], có ít nhất hai số x, y thoả mãn: [tex] 0< \left |\sqrt[2007]{x} - \sqrt[2007]{y}\right | < 1[/tex]
Xét các tập hợp:
[tex] A_1 = \left\{1;2;3;...;(2^{2007} - 1) \right \} [/tex]
[tex]A_2 = \left\{ 2^{2007}; 2^{2007} +1; ... ; (3^{2007} -1 \right \}[/tex]
...
[tex]A_2005 = \left\{2005^{2007}; 2005^{2007} - 1 ; ... ; (2006^{2007} -1) \right\} [/tex]
[tex]A_2006 = \left\{2006^{2007}\right\} [/tex]
\Rightarrow [tex]A_1\cup A_2 \cup ...A_{2005} \cup A_{2006} = A [/tex]
\Rightarrow Khi lấy ra 2007 số từ A, có ít nhất hai số x, y thuộc cùng một tập hợp [tex]A_k[/tex] (k = 1,2, ... 2005) với x <y
Vì [tex] x, y \in A_k [/tex]
\Rightarrow [tex]k^2007 \sem x< y< (k+1)^2007 [/tex]
\Rightarrow[tex] k \sem \sqrt[2007]{x} < \sqrt[2007]{y} < k+1 [/tex]
\Rightarrow [tex]0 < \left |\sqrt[2007]{x} - \sqrt[2007]{y}\right | < 1 [/tex]
})
