Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[pampam_kh]

Mấy bài nì mình đã post 1 lần rồi nhưng chưa có ai giải được. Các bạn thử làm xem sao:

B1: Giả sử x, y,z là các số thực khác 0 thoả mãn
[tex]\left\{ \begin{array}{l}x(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + y(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + z(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = -2 \\ x^3 + y^3 + z^3 =1\end{array} \right[/tex]

Tính giá trị: [tex]P= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}[/tex]

B2: Cho a,b,c > 0. CMR:
[tex]\frac{a}{1+a} + \frac{2b}{2 +b} + \frac{3c}{3+c} \leq \frac{6(a+b+c)}{6+a+b+c}[/tex]

B3: Với [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] là n số nguyên dương phân biệt. CMR:
[tex]\frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + .. + \frac{a_n}{n^2} \geq \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + ..+ \frac{1}{n}[/tex]

 

[duynhan1]

B2: Cho a,b,c > 0. CMR:
[tex]\frac{a}{1+a} + \frac{2b}{2 +b} + \frac{3c}{3+c} \leq \frac{6(a+b+c)}{6+a+b+c}[/tex]

B3: Với [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] là n số nguyên dương phân biệt. CMR:
[tex]\frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + .. + \frac{a_n}{n^2} \geq \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + ..+ \frac{1}{n}[/tex]

2) [tex]VT = \frac{a}{1+a}-1 + \frac{2b}{2 +b}-2 + \frac{3c}{3+c} -3 + 6 \\ = 6 - (\frac{1}{a+1} + \frac{4}{b+2} + \frac{9}{c+3} ) \le 6 -\frac{( 1 + 2 + 3)^2 }{a+b+c+6} \\ = \frac{6(a+b+c)}{a+b+c+6}[/tex]

3) Gọi [TEX]b1,b2,..., bn[/TEX] là hoán vị của bộ số [TEX]a1,a2,...,an[/TEX] sao cho [TEX]b1 \le b2 \le ...\le bn [/TEX] Theo BDT hoán vị ta có:

[TEX]VT \ge \frac{b_1}{1^2} + \frac{b_2}{2^2} + .. + \frac{b_n}{n^2} [/TEX]
Do [TEX]b1 \le b2 \le ...\le bn [/TEX] là các số dương phân biệt nên ta có :

[TEX] \frac{b_1}{1^2} + \frac{b_2}{2^2} + .. + \frac{b_n}{n^2} \le \frac{1}{1^2} + \frac{2}{2^2} + .. + \frac{n}{n^2} = VP [/TEX] ( điều phải chứng minh )

mod dời bài này đến pic thích hợp hơn

 

[nganltt_lc]

[TEX]Max: \sum \frac{a}{bcd+1}.vs.a,b,c,d \in [0;1][/TEX]
@ Dụ mãi anh rùa mới dzô ủng hộ =))=))=))

Mình làm chắc không đúng nhưng cứ post lên. Sai thì nhờ bạn khác sửa .
Vì a;b;c;d thuộc tập hợp [0;1] nên giá trj lớn nhất của biểu thức đã cho sẽ phụ thuộc vào điều kiện này.Mình không biết giải thích thế nào. Mình thấy khi thay các giá trị của a;b;c;d thì biểu thức có giá trị bằng 1 là lớn nhất.
[TEX]\Leftrightarrow a=1 ; b=c=d=0[/TEX]
:

 

[bigbang195]

a,b,c không âm thỏa mãn

. tìm min và max

bài anh rua_it hình như anh vdhm post 1 lần rùi.

còn bài trên :

mặt khác

vậy max là 3 dấu bằng khi có 1 số bằng 0 và 3 số còn lại bằng 1

 

[duynhan1]

a,b,c không âm thỏa mãn

. tìm min và max

[TEX]A = (a+b+c)(ab+bc +ca) - 3abc = 3(ab+bc +ca) - 3 abc [/TEX]

[TEX](gt) \Rightarrow abc \le 1 [/TEX]

[TEX]A \ge 3\sum \frac{1}{a} - 3 \ge \frac{27}{a+b+c} - 3 = 6 [/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]A = (a+b+c)(ab+bc +ca) - 3abc = 3(ab+bc +ca) - 3 abc [/TEX]

[TEX](gt) \Rightarrow abc \le 1 [/TEX]

[TEX]A \ge 3\sum \frac{1}{a} - 3 \ge \frac{27}{a+b+c} - 3 = 6 [/TEX]

anh xem lại chỗ cuối ạ, cho a=b=0, c=3 thì A=0 >6 ??

 

[vodichhocmai]

[TEX]Max: \sum \frac{a}{bcd+1}.vs.a,b,c,d \in [0;1][/TEX]
@ Dụ mãi anh rùa mới dzô ủng hộ =))=))=))

[TEX] \sum \frac{a}{bcd+1}\le \sum \frac{a}{abcd+1} =\frac{a+b+c+d}{abcd+1}[/TEX]

[TEX]\left{(1-a)(1-b)\ge 0\righ 1+ab\ge a+b\\(1-c)(1-ab)\ge 0\righ 1+abc\ge c+ab\\(1-d)(1-abc)\ge 0\righ 1+abcd\ge d+abc[/TEX]

[TEX]\righ 3+abcd\ge a+b+c+d[/TEX]

[TEX]\righ 3+3abcd\ge a+b+c+d[/TEX]

[TEX]\righ \frac{a+b+c+d}{1+abcd}\le 3[/TEX]

[TEX]Done![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Bằng cách xây dựng tương tự triệt nhau mà không dùng dồn biến ra biến ra biên, anh chị cũng có thể chứng minh bài toán sau :

[TEX]\sum_{i=1}^n \[\frac{a_i}{\(\prod_{i\neq k=1}^{n}a_k\)+1}\]\le \(n-1\)\ \ \ \ \ a_k\in[0;1\][/TEX]

 

[0915549009]

ai pro giúp em

Cho x, y là các số thực thỏa mãn [TEX]4x^2+y^2=1[/TEX] Tìm GTNN, GTLN:
[TEX]\frac{2x+3y}{x+y+2}[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn [TEX]4x^2+y^2=1[/TEX] Tìm GTNN, GTLN:
[TEX]A = \frac{2x+3y}{x+y+2}[/TEX]

[TEX] x= \frac12 sin t [/TEX]

[TEX]\Rightarrow y = cos t [/TEX]

[TEX]A = \frac{sin t + 3 cos t }{ \frac12 sin t + cos t + 2 } [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac12 A. sint + A . cos t + 2A = sin t + 3 cost [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( 1 - \frac12 A ) sin t + ( 3 -A) . cos t = 2A [/TEX]

Điều kiện có nghiệm :

[TEX] ( 1 - \frac12 A ) ^2 + ( 3 -A)^2 \ge (2A)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac54 A^2 - 7A + 10 \ge 4A^2 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 11 A^2 + 28 A - 40 \ le 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{-14 -2\sqrt{159}}{11} \le A \le \frac{-14 +2\sqrt{159}}{11}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( 1 - \frac12 A ) sin t + ( 3 -A) . cos t = 2A [/TEX]
Bunhi a cop xki :
[TEX](2A)^2 \le [( 1 - \frac12 A ) ^2 + ( 3 -A)^2 ] (sin^2 t + cos^t ) = ( 1 - \frac12 A ) ^2 + ( 3 -A)^2 [/TEX]

Số xấu
@0915549009 : tks em

 

[01263812493]

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa: [TEX]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/TEX]
Max : [TEX]Q= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

 

[0915549009]

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa: [TEX]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2[/TEX]
Max : [TEX]Q= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/TEX]

[TEX]xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\Rightarrow xy^2+x^2.\frac{1}{z}+y.\frac{1}{z^2}=3 [/TEX]
[TEX]a=\frac{1}{z}\Rightarrow Max: Q= \frac {1}{x^4+y^4+a^4}[/TEX]
Áp dụng Cauchy [TEX]Max=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[9xlove9xx]

Mình có mấy bài tập rất hay này:

1) a,b,c >0. Tìm minP:

[tex]P= \frac{3a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{5c}{a+b}[/tex]

2) Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn[tex] \frac{4}{x} + \frac{5}{y}\geq 23[/tex]. Tìm min B biết:

[tex]B= 8x + \frac{6}{x} + 18y + \frac{7}{y}[/tex]

3) x,y,z > 0. CMR:
[tex]\frac{a^8}{b^4}+ \frac{b^8}{c^4} + \frac{c^8}{a^4} \geq ab^3 +bc^3 + ca^3[/tex]

4) a,b,c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a+b+c = 3
Tìm minP biết:
[tex]P=a^2 +b^2 +c^2 + \frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+ c^2a}[/tex]

 

[0915549009]

Mình có mấy bài tập rất hay này:

1) a,b,c >0. Tìm minP:

[tex]P= \frac{3a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{5c}{a+b}[/tex]

2) Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn[tex] \frac{4}{x} + \frac{5}{y}\geq 23[/tex]. Tìm min B biết:

[tex]B= 8x + \frac{6}{x} + 18y + \frac{7}{y}[/tex]

3) x,y,z > 0. CMR:
[tex]\frac{a^8}{b^4}+ \frac{b^8}{c^4} + \frac{c^8}{a^4} \geq ab^3 +bc^3 + ca^3[/tex]

4) a,b,c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a+b+c = 3
Tìm minP biết:
[tex]P=a^2 +b^2 +c^2 + \frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+ c^2a}[/tex]

[TEX]1) P= \frac{3a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{5c}{a+b}[/TEX]
Dùng Bunhia là ok (Cái này trong STBĐT)
[TEX]2) B= 8x + \frac{6}{x} + 18y + \frac{7}{y} \Rightarrow Cauchy[/TEX]
[TEX]3) Cauchy [/TEX]
[TEX]4)[/TEX] Bài này tớ làm trong pic BĐT toán 8 ùi bạn
Xem tại đây

 

[quan8d]

Thử c/m bài này xem nè.
Cho m , n [TEX]\in[/TEX] N thoả mãn : [TEX]\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0[/TEX] .
Chứng minh rằng : [TEX]\sqrt{7} - \frac{m}{n} > \frac{1}{m.n}[/TEX]

 

[vuanoidoi]

[tex]\frac{m}{n} < \sqrt{7}[/tex]
[tex]=>m < \sqrt{7}n [/tex] (*)
BĐT[tex] <=> \sqrt{7}nm-m^2-1 >0 [/tex] (**)
=>1 biến m hoặc n

 

[duynhan1]

MAX: Ta sẽ CM Max=6 hay
[tex]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) \le 6 [/tex]
[tex]<=>ab+ac+bc-abc \le 2 [/tex]
Cái này chắc không khó

[TEX]\left{ a = b = \frac32 \\ c = 0 --------> A = \frac{27}{4} > 6[/TEX]

 

[01263812493]

Một bài cực dễ ( post cho đỡ ế ) )
Cho[tex] a,b,c >1[/tex]
Min: [TEX]\frac{a}{\sqrt{b}-1}+ \frac{b}{\sqrt{c}-1} + \frac{c}{\sqrt{a}-1}[/TEX]

 

[0915549009]

MAX: Ta sẽ CM Max=6 hay
[tex]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) \le 6 [/tex]
[tex]<=>ab+ac+bc-abc \le 2 [/tex]
Cái này chắc không khó

Cách này ko đc đâu anh :|:|:| Em thử ùi
[TEX]\Leftrightarrow q\leq 2+r \Leftrightarrow q\geq 3 (Sai)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

a,b,c không âm thỏa mãn

. tìm min và max

Chúng ta sẽ chứng minh :

[TEX]\huge\red LHS\le \frac{\(a+b+c\)^3}{4} =\frac{27}{4}[/TEX]

[TEX]\huge\blue\Leftrightarrow 4LHS\le a^3+b^3+c^3+3LHS+6abc[/TEX]

[TEX]\huge\red\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+6abc\ge LHS[/TEX]

[TEX]\huge\blue\Leftrightarrow\[\sum_{cyclic}a\(a-b\)\(a-c\)\]+3abc\ge 0\righ Schur\ \ Ineq.[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi một biến bằng không và hai biến bằng nhau.

Mấy đứa chú ý đây là bất đẳng thức hoán vị nên coi chừng dò nó trước rồi giải sau :khi (202):