Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[dandoh221]

Thử vài bài coi
1. Cho [TEX]a,b,c \in (0;1][/TEX]. CMR :
[TEX]\sum_{cyc} \frac{1}{a+3b} \ge \frac{3}{3+abc}[/TEX]
2.Cho [tex]\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2 = 3 & & \\ y^2+yz+y^2 = 16 & & \end{matrix}\right.[/tex]
CMR : [TEX]xy+yz+xz \le 8[/TEX]

 

[rua_it]

2.Cho [tex]\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2 = 3 & & \\ y^2+yz+y^2 = 16 & & \end{matrix}\right.[/tex]
CMR : [TEX]xy+yz+xz \le 8[/TEX]

[tex](gt) \rightarrow 48=(x^2+xy+y^2).(y^2+yz+z^2)[/tex]

[tex]=[(\frac{x}{2}+y)^2+\frac{3}{4}x^2].[(y+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}.z^2][/tex]

[tex] \geq ((\frac{x}{2}+y).(\frac{\sqrt{3}}{2}.z)+(y+\frac{z}{2}).(\frac{\sqrt{3}}{2}.x)^2[/tex]

[tex]=\frac{3}{4}.(xy+yz+zx)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow 48 \geq \frac{3}{4}.(xy+yz+zx)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow (xy+yz+zx)^2 \leq 64[/tex]

[tex]\Rightarrow xy+yz+zx \leq 8[/tex]

p/s: Bài này chuối quá8-|

 

[djbirurn9x]

Cho [TEX]x, y \geq 0[/TEX] và [TEX]x + y = 1[/TEX]. Tìm Max, min:
[TEX]A = (4x^2 + 3y)(4y^2 + 3x) + 25xy[/TEX]

 

[mathvn]

Cho [TEX]x, y \geq 0[/TEX] và [TEX]x + y = 1[/TEX]. Tìm Max, min:
[TEX]A = (4x^2 + 3y)(4y^2 + 3x) + 25xy[/TEX]

[TEX]A=16x^2y^2-2xy+12=(4xy-\frac{1}{4})^2+11\frac{15}{16}\ge \ 11\frac{15}{16} [/TEX] Dấu "=" \Leftrightarrow [TEX]xy=\frac{1}{16};x+y=1[/TEX]
[TEX]A=2xy(8xy-1)+12\le \frac{(a+y)^2}{4}(8\frac{(x+y)^2}{4}-1)+12=\frac{25}{2}[/TEX] Dấu "=" \Leftrightarrow [TEX]xy=\frac{1}{4};x+y=1[/TEX] \Leftrightarrow[TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
>-|//

 

[djbirurn9x]

1/Cho x,y,z>0 thỏa xyz = 1.Tìm min của :

[TEX]P = \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} +\frac{y^2(z+x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}[/TEX] /

2/Cho a\geq b > 0. C/m :

[TEX](2^a + \frac{1}{2^a})^b \leq (2^b + \frac{1}{2^b})^a[/TEX]

3/Cho x,y,z>0.Tìm min :

[TEX]P = x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) + y(\frac{y}{2} + \frac{1}{zx}) + z(\frac{z}{2} + \frac{1}{xy})[/TEX] :|

4/Cho x,y\geq 0. Tìm max,min của :

[TEX]P = \frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}[/TEX]

Giúp hộ nha

 

[quyenuy0241]

1/Cho x,y,z>0 thỏa xyz = 1.Tìm min của :

[TEX]P = \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} +\frac{y^2(z+x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}[/TEX] /

[tex] P \ge \frac{2x^2.\sqrt{yz}}{2y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}}+\frac{2y^2{zx}}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{2z^2\sqrt{xy}}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}=\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}}+\frac{y\sqrt{y}}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}[/tex]

[tex]Dat->\left{\begin{x\sqrt{x}=a\\{y\sqrt{y}=b \\ z\sqrt{z}=c ..[/tex]

[tex] \Leftrightarrow P \ge \frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{2a+c}+\frac{2c}{2b+a} \ge 2.\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)} \ge 2[/tex]

 

[bigbang195]

3/Cho x,y,z>0.Tìm min :

[TEX]P = x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) + y(\frac{y}{2} + \frac{1}{zx}) + z(\frac{z}{2} + \frac{1}{xy})[/TEX] :|

hay tim min của

[TEX] \frac{1}{2} \sum x^2+\sum \frac{x}{yz}[/TEX]

theo AM-GM

[TEX]\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz} \ge \frac{2}{z}[/TEX]

làm tương tự rồi cộng lại sau đó chia 2 cả vế ta được

[TEX]\sum \frac{x}{yz} \ge \sum \frac{1}{x}[/TEX]

và[TEX] \sum \frac{1}{x} \ge \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
theo Cauchy-Schwarz

[TEX](1+1+1)\sum x^2 \ge \left ( \sum x \right )^2[/TEX]



do vậy

[TEX]VT \ge \frac{1}{6} \left ( \sum x \right )^2 +\frac{9}{x+y+z}[/TEX]

Áp dụng AM_GM

[TEX]\frac{1}{6} \left ( \sum x \right )^2 +\frac{9}{2(x+y+z)}+\frac{9}{2(x+y+z)} \ge 3\sqrt[3]{\frac{3.3.3}{2.2.2}}[/TEX]

dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]

 

[rua_it]

4/Cho x,y\geq 0. Tìm max,min của :

[TEX]P = \frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2}[/TEX]

Giúp hộ nha

[tex]Dat:\left{\begin{x=\sqrt{a}}\\{y=\sqrt{b}}(DK:x;y \geq 0)[/tex]

[tex]\Rightarrow P \Leftrightarrow\frac{(a^2-b^2)(1-a^2b^2)}{(1+a^2)^2 (1+b^2)^2}[/tex]

[tex]=\frac{a^2-a^4b^2-b^2+a^2b^4}{(1+a^2)^2 (1+b^2)^2}[/tex]

[tex]=\frac{(1+b^2)^2.a^2}{(1+a^2)^2 (1+b^2)^2}-\frac{(1+a^2)^2.b^2}{(1+a^2)^2 (1+b^2)^2}[/tex]

[tex]=\frac{a^2}{(a^2+1)^2}-\frac{b^2}{(b^2+1)^2}[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{a=tana}\\{b=tanb}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{tan^2a}{(tan^2a+1)^2}-\frac{tan^2b}{(tan^2b+1)^2}[/tex]

[tex]=cos^4a.tan^2a-cos^4b.tan^2b=cos^4a.\frac{sin^2a}{cos^2a}-cos^4b.\frac{sin^2b}{cos^2b}[/tex]

[tex]=cos^2a.sin^2a-cos^2b.sin^2b[/tex]

[tex]=\frac{sin^22a-sin^22b}{4}[/tex]

\Rightarrow bất đẳng thức cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow |\frac{sin^22a-sin^22b}{4}| \leq \frac{1}{4}[/tex]

Thật vậy, ta luôn cóa:

[tex]\frac{1}{4} \geq\frac{sin^22a}{4}[/tex]

[tex]\frac{1}{4} \geq\frac{sin^22b}{4}[/tex]

Kết hợp ta cóa [tex] -\frac{1}{4} \leq -\frac{sin^22b}{4} \leq P \leq \frac{sin^22a}{4} \leq \frac{1}{4}[/tex]

P/s::-j

 

[balep]

[TEX]\frac{2{a}^3}{{a}^6+bc}+\frac{2{b}^3}{{b}^6+ca} + \frac{2{c}^3}{{c}^6+ab} \leq \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab}[/TEX]
Với a,b,c là các số thực dương

 

[bigbang195]

[TEX]\frac{2{a}^3}{{a}^6+bc}+\frac{2{b}^3}{{b}^6+ca} + \frac{2{c}^3}{{c}^6+ab} \leq \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab}[/TEX]
Với a,b,c là các số thực dương

Ap dun Cauchy o? mau~

va
[TEX]\sum \frac{a}{bc} \ge \sum \frac{1}{a} \ge \sum \frac{1}{\sqrt{ab}}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực dương thoả mãn [TEX]a+b+c+d+e=4[/TEX] tìm [TEX]GTNN[/TEX] của

[TEX]LHS:=\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}[/TEX]>-

 

[bigbang195]

Cho các số thực dương thoả mãn [TEX]a+b+c+d+e=4[/TEX] tìm [TEX]GTNN[/TEX] của

[TEX]LHS:=\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}[/TEX]>-

Nhân lại .

 

[bigbang195]

a,b,c dương. Chứng minh

em quên ko giải đc nữa. ai giải lại dùm em

 

[dandoh221]

a,b,c dương. Chứng minh

em quên ko giải đc nữa. ai giải lại dùm em

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 2\sum \frac{1}{a+b}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương và [TEX]a^3+b^3+c^3 =3[/TEX]. Chứng minh

[TEX]a^4b^4+b^4c^4+a^4c4 \le 3[/TEX]

 

[heocon24]

Bất đẳng thức hình học nè:
Trong tam giác ABC chứng minh:
S\leq[tex] {1}/{4\sqrt{3} } [/tex] x [ [tex] a^2 [/tex] + [tex] b^2 [/tex]+ [tex] c^2 [/tex]- [tex] (a-b)^2 [/tex]- [tex] (b-c)^2 [/tex]- [tex] (c-a)^2 [/tex] ]

 

[rua_it]

Bất đẳng thức hình học nè:
Trong tam giác ABC chứng minh:
[tex]S\leq\frac{1}{4.\sqrt{3}}.[a^2+b^2+c^2- (a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2] [/tex]

[tex]Dat:\left{\begin{x=\frac{b+c-a}{2}}\\{y=\frac{c+a-b}{2}}\\{z=\frac{a+b-c}{2}}[/tex]

Heron kết hợp Am-Gm

Note:

 

[djbirurn9x]

Ai rảnh làm hộ

1/ Cho [TEX]0 \leq a; b; c\leq1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{b^3 + c^3 + 7} + \frac{b}{c^3 + a^3 + 7} + \frac{c}{a^3 + b^3 + 7} \leq \frac{1}{3}[/TEX]​

2/ Cho 4 số thực a, b, c thoả mãn:

[TEX]\left{\begin{a^2 + b^2 - a - b = 0}\\{c^2 + d^2 + c + d = 0}[/TEX]
C/m : [TEX](a - c)^2 + (b - d)^2 \leq 8[/TEX]

3/ [TEX]\left{\begin{0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e}\\{a + b + c + d + e = 1}[/TEX]
C/m : [TEX]a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \frac{1}{25}[/TEX]

4/ Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức [TEX]x + y + z = \frac{yz}{3x}[/TEX]
C/m : [TEX]x \leq \frac{2\sqrt{3} - 3}{6}(y + z)[/TEX]

5/ Cho a, b là các số dương thoả mãn [TEX]ab + a + b = 3[/TEX]
C/m : [TEX]\frac{3a}{b + 1} + \frac{3b}{a + 1} + \frac{ab}{a + b} \leq a^2 + b^2 + \frac{3}{2}[/TEX]

 

[rua_it]

2/Cho a\geq b > 0. C/m :

[TEX](2^a + \frac{1}{2^a})^b \leq (2^b + \frac{1}{2^b})^a[/TEX]
Giúp hộ nha

[tex](2^a + \frac{1}{2^a})^b \leq (2^b + \frac{1}{2^b})^a[/tex]

[tex]\Rightarrow (4^a+1)^b \leq (4^b+1)^a[/tex]

Lấy logarit nepe 2 vế:

[tex]\frac{ln(4^a+1)}{a} \leq \frac{ln(4^b+1)}{b}[/tex]

[tex]Xet:f(x)=\frac{ln(4^x+1)}{x}; \forall x>0[/tex]

Dễ thấy hàm số f(x) khả vi tren [tex] (0;+\infty)[/tex]

[tex]\Rightarrow f'=\frac{4^xln4^x-(4^x+1)ln(4^x+1)}{x^2.(4^x+1)}<0 ; \forall x >0[/tex]

\Rightarrow f(x) nghịch biến trên khoảng (0;+\infty)

Kết hợp giả thiết ta có dpcm.

P/s: Toán 12.

 

[rua_it]

Bất đẳng thức hình học nè:
Trong tam giác ABC chứng minh:
S\leq[tex] {1}/{4\sqrt{3} } [/tex] x [ [tex] a^2 [/tex] + [tex] b^2 [/tex]+ [tex] c^2 [/tex]- [tex] (a-b)^2 [/tex]- [tex] (b-c)^2 [/tex]- [tex] (c-a)^2 [/tex] ]

Viết lại bdt trên: [tex]\sum_{cyc} a^2 \geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2(*)[/tex]

Bổ tung ra, ta được: [tex] \sum_{sym} ab \geq 4\sqrt{3}.S+\sum_{cyc} a^2[/tex]

Mặt khác, ta có hệ quả quen thuộc sau: [tex]cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}[/tex]

Thật vậy, kết hợp định lý sin và cos [tex] cotA=\frac{cosA}{sinA}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{2R}{a}[/tex]

[tex]=\frac{R.(b^2+c^2-a^2)}{abc}=RHS[/tex]

[tex]\Rightarrow (*) \Leftrightarrow 4S.\sum_{cyc} \frac{1}{sinA} \geq 4.\sqrt{3}.S+4S.\sum_{cyc} cotA[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} tan.\frac{A}{2} \geq \sqrt{3}[/tex]

[tex]Xet:f(x)=tanx ; \forall x \in\ (0;\frac{\pi}{2})[/tex]

Dễ thấy hàm f(x) khả vi bậc hai:

[tex] f" > 0; \forall x \in\ (0;\frac{\pi}{2})[/tex]

[tex]Jensen \Rightarrow f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2})=\sum_{cyc} tan.\frac{A}{2} \geq 3.f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3})=\sqrt{3}[/tex]

Vậy bài toán chứng minh xong >-.

P/s: kiểm tra Lý xong sầu quá xá