Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[vodichhocmai]

30 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{b^2+bc+c^2}} + \frac{b}{\sqrt[]{c^2+ca+a^2}} + \frac{c}{\sqrt[]{a^2+ab+b^2}} \geq\ \frac{a+b+c}{\sqrt[]{ab+bc+ca}}[/TEX]

[TEX]A:=LHS \ \ B=\sum_{cyclic}a( b^2+bc+c^2)[/TEX]

[TEX]A^2.B\ge (a+b+c)^3[/TEX]

Ta lại có :
[TEX](a+b+c)(ab+bc+ca)=B[/TEX]

Vậy bài toán chứng minh xong

[TEX]P/S[/TEX] Mấy bài còn lại toàn giải quyết được theo [TEX]SOS[/TEX] chán

 

[bigbang195]

Ta chỉ cần chứng minh nếu [TEX]abc=1[/TEX] thì

[TEX]\frac{1}{2}\sum_{sym}\frac{1}{1+b+c}\ =\sum_{cyclic}\frac{1}{1+b+c}\le 1[/TEX]

Ta dễ dàng chứng minh được rằng [TEX]a,b,c>0 \ \,\ \ abc=1[/TEX] thì :

[TEX] \frac{1}{1+b+c}\le \frac{a^{\frac{1}{3} }}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}}}[/TEX]

Xây dựng tương tự ta được thì bài toán chứng minh xong.

thì em làm ra ngay nhưng có điều là

 

[vodichhocmai]

thì em làm ra ngay nhưng có điều là

Rõ ràng luôn tồn tại [TEX] abc\ge a'b'c'=1[/TEX] lúc đó ta có

[TEX]\frac{1}{2}\sum_{sym} \frac{1}{1+a+b}\le \frac{1}{2}\sum_{sym} \frac{1}{1+a'+b'}[/TEX]

Do đó ta chỉ cần chứng minh

[TEX] \frac{1}{2}\sum_{sym} \frac{1}{1+a'+b'}\le 1[/TEX] với [TEX]a'b'c'=1[/TEX]

 

[dandoh221]

Cho các số thực dương

Chứng minh rằng :

Ta chỉ cần chứng minh

Chỉ cần dùng CS :

 

[rua_it]

Let a,b,c are positive real numbers.
Prove that:
[tex]\frac{\sqrt[3]{a.(a+b).(a+b+c)}}{6} \geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}[/tex]

 

[quyenuy0241]

Cho các số thực dương

. thỏa mãn

Chứng minh
rằng :

Theo Schur:
[tex]a^3+b^3+c^3+6abc \ge (a+b+c)(ab+bc+ac) \ge 9 [/tex]

 

[vodichhocmai]

Let a,b,c are positive real numbers.
Prove that:
[tex]\frac{\sqrt[3]{a.(a+b).(a+b+c)}}{6} \geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}[/tex]

[tex]\blue \sqrt[3]{\frac{a.(a+b).(a+b+c)}{6}} \geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}[/tex]

Sai đề và [TEX]Holder[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[tex]\blue \sqrt[3]{\frac{a.(a+b).(a+b+c)}{6}} \geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}[/tex]

[TEX]\frac{x_1+\sqrt{x_1x_2}+\sqrt[3]{x_1x_2x_3}+...+\sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n}}{n}\le\sqrt[n]{\frac{x_1}{1}\frac{x_1+x_2}{2}\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\ \ ...\ \ \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}}[/TEX]@-)

 

[bigbang195]

Cho các số ko âm thỏa mãn : [TEX]x+y+z=3[/TEX] .Tìm GTLN :
[TEX]A=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\frac{x_1+\sqrt{x_1x_2}+\sqrt[3]{x_1x_2x_3}+...+\sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n}}{n}\le\sqrt[n]{\frac{x_1}{1}\frac{x_1+x_2}{2}\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\ \ ...\ \ \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}}[/TEX]@-)

Anh vodichhocmai giúp em bài này cái. em quên không viết cào vở giờ quên mất ùi =.=

 

[vodichhocmai]

Anh vodichhocmai giúp em bài này cái. em quên không viết cào vở giờ quên mất ùi =.=

[TEX]LHS-RHS:=\sum_{cyclic} \(2a^2-b^2-c^2-3ab+3bc\)^2[/TEX]


[TEX]\ \[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]LHS-RHS:=\frac{1}{2}\sum_{cyclic}\(a^2-c^2-2ab+bc+ca\)^2\ge 0[/TEX]

Nói chung là có rất nhiều hằng đẳng thứccmang tính tổng hai bình phương

 

[djbirurn9x]

Giải hộ thax nhiều

1/Cho a,b,c,d thỏa : [TEX]\left{\begin{a^2 + b^2 - 2a = 3}\\{c + d = 5} [/TEX]
Tìm max của [TEX]P = a(c-1) + d(b+c)[/TEX]

2/Cho x,y,z thỏa : [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/TEX]
Tìm max của [TEX]P = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]

3/Cho x, y, z > 0 thỏa xy + yz + zx = 1. C/m :

[TEX]\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{2y}{\sqrt{y^2 + 1}} + \frac{2z}{\sqrt{z^2 + 1}} \leq \frac{9}{4}[/TEX]

4/Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1. Tìm max : >-

[TEX]T = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + 1}}[/TEX]

5/Cho [TEX] a,b,c,d \in [1;2][/TEX]. C/M:

[TEX]\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2} \leq \frac{25}{16}[/TEX] >-

 

[bigbang195]

3/Cho x, y, z > 0 thỏa xy + yz + zx = 1. C/m :

[TEX]\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{2y}{\sqrt{y^2 + 1}} + \frac{2z}{\sqrt{z^2 + 1}} \leq \frac{9}{4}[/TEX]

4/Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1. Tìm max : >-

[TEX]T = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + 1}}[/TEX]

Bài 3:

Bài 4:đặt

.Chỉ cần chứng minh

ta có theo Cauchy-Schwartz

chỉ cần chứng minh

Đúng.
Phép chứng minh hoàn tất. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[bigbang195]

1/Cho a,b,c,d thỏa :

2/Cho x,y,z thỏa : [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/TEX]
Tìm max của [TEX]P = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/TEX]

đặt

thì

chỉ cần xét trường hợp

dương .

do vậy

nên

theo AM-GM

nên

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

là 1 nghiệm

 

[djbirurn9x]

Thắc mắc

đặt

thì

chỉ cần xét trường hợp

dương .

do vậy

nên

theo AM-GM

nên

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

là 1 nghiệm

Tại sao hok xét x + y + z < 0
Dấu = xảy ra khi a = 0 \Leftrightarrow xy + yz + zx = 0 rồi làm sao giải ra (x,y,z) = (0,0,1)

 

[vodichhocmai]

Tại sao hok xét x + y + z < 0
Dấu = xảy ra khi a = 0 \Leftrightarrow xy + yz + zx = 0 rồi làm sao giải ra (x,y,z) = (0,0,1)

[TEX]Bigbang195\righ a=xy + yz + zx \righ -\frac{1}{2}\le a\le 1[/TEX]

[TEX]P^2=(x+y+z)^2(1-xy-yz-zx)^2=(1+2a)(1-a)^2\le 1[/TEX]

[TEX]\righ |P|\le 1[/TEX]

Đẳng thức xảy ra thì dễ dàng rõ ràng cẳp [TEX]x=y=0;z=1[/TEX] và hoán vị của chúng thoả bằng [TEX]1[/TEX] ở trên đó

 

[cool_strawberry]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
[TEX]\frac{2004x^2+6006x+6\sqrt{x^3-2x^2+x-2}-8003}{x^2+3x+4}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

5/Cho [TEX] a,b,c,d \in [1;2][/TEX]. C/M:
[TEX]\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2} \leq \frac{25}{16}[/TEX] &gt;-

Bài toán này nhìn dẽ mà không thấy hướng giải trời

[TEX](Inequality)\Leftrightarrow \|\frac{ad-bc}{ac+bd}\|\le \frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]a=d=2\ \ \ \ b=c=1[/TEX]

Giải bải này thì chắc chắn được khi cầm cố 3 biến nhưng coi bộ hơi dài

 

[vodichhocmai]

4/Cho a, b, c > 0 thỏa abc = 1. Tìm max : &gt;-

[TEX]T = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + 1}}[/TEX]

[TEX]2\(x^2+y^2\)\ge \(x+y\)^2[/TEX]

[TEX]\righ \(\frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 + 1}} \)^2\le 2\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\)=2\[\frac{2+a^2+b^2}{(a^2+1)(1+b^2)}\]=2\[1+\frac{1-a^2b^2}{(a^2+1)(1+b^2)}\]\\\ \ \ \ \le 2\[1+\frac{1-a^2b^2}{(1+ab)^2}\]=\frac{4}{1+ab}=\frac{4c}{1+c} [/TEX]

Ta cm

[TEX]2\sqrt{\frac{c}{1+c}}+\frac{2}{c+2}\le 3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \(\sqrt{c+1}-\sqrt{2c}\)^2\ge 0[/TEX] Đúng

Vậy bài toán chứng minh xong