B
- Status
D
djbirurn9x
)
do đó
+ab}=\sum%20\frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum%20\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\sum%20\frac{a}{a+b+c}=1)
[TEX]Done !![/TEX]
Cái dòng cuối phải là [TEX]\frac{c}{a+b+c}[/TEX] trang ah /
Giải thích dòng này hộ : [TEX]a^5 + b^5 \geq a^3b^2 + b^3a^2 [/TEX]
D
djbirurn9x
Cho [TEX] a,b,c,d \in [1;2][/TEX]. C/M:
[TEX]\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2} \leq \frac{25}{16}[/TEX]>-
[TEX]\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(ac+bd)^2} \leq \frac{25}{16}[/TEX]
>-
L
letrang3003
[TEX]a^5+a^5+a^5+b^5+b^5 \ge 5a^3b^2[/TEX]
[TEX]b^5+b^5+b^5+a^5+a^5 \ge 5b^3a^2[/TEX]
cộng 2 vế lại ta được [TEX]a^5+b^5 \ge ab(a^2b+b^2a)[/TEX]
[TEX]b^5+b^5+b^5+a^5+a^5 \ge 5b^3a^2[/TEX]
cộng 2 vế lại ta được [TEX]a^5+b^5 \ge ab(a^2b+b^2a)[/TEX]
B
bigbang195
L
letrang3003
nhầm ùi anh ới ! TEX mờ ) , post them bài nữa cho zui nhỉ )
a,b,c dương . a+b+c=abc.C/m
[TEX]\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}\geq1[/TEX]) ) =))
) , post them bài nữa cho zui nhỉ )a,b,c dương . a+b+c=abc.C/m
[TEX]\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}\geq1[/TEX]
) ) =))
V
vodichhocmai
C/m với mọi x,y,z > 0 thỏa x + y + z = 1 thì :
[TEX] xy + xz + yz > \frac{18xyz}{2 + xyz}[/TEX]
Ta luôn có theo [TEX]AM-GM[/TEX] thì
[TEX]\left{(x+y+z)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\ge 9\\x+y+z=1[/TEX][TEX]\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 9 [/TEX][TEX]\Rightarrow xy+yz+zx\ge 9xyz=\frac{18xyz}{2}>\frac{18xyz}{2+xyz}[/TEX] vì [TEX]x,y,z>0[/TEX]
B
bigbang195
nhầm ùi anh ới ! TEX mờ
a,b,c dương . a+b+c=abc.C/m
[TEX]\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}\geq1[/TEX]
Using AM-GM
Combined ,We have
Done :|
B
bigbang195
Giờ làm bdt khó khó 1 chút nhỉ - trích tuyển tập bdt Trần Quốc Anh
Các cao thủ đâu nhảy vào chém nè =))
( không biết bao giờ mới hết đc 45 bài này nhỉ :|)
1, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX](a+b+c)^3 \geq 6 \sqrt{3} (a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
2, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c:
[TEX]\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{bc}{(b+c)^2} + \frac{ca}{(c+a)^2} \leq \frac{1}{4}+ \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
3, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=6[/TEX]
Tìm Min: [TEX]\frac{a}{bc} + \frac{2b}{ca} + \frac{5c}{ab}[/TEX]
4, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực [TEX]a,b,c[/TEX] ta có:
[TEX]\frac{(a+b)^2(a+c)^2}{(b^2-c^2)^2} + \frac{(b+c)^2(a+b)^2}{(c^2-a^2)^2} + \frac{(b+c)^2(c+a)^2}{(a^2-b^2)^2}\geq 2[/TEX]
5, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + \frac{16}{5}.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{18}{5}[/TEX]
6, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} + \frac{(a-b)(a-c)}{b^2+c^2} +\frac{(b-c)(b-a)}{c^2+a^2} + \frac{(c-a)(c-b)}{a^2+b^2}\geq 1[/TEX]
7, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm ta có:
[tex]1 + \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
8, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX](a^2+b^2+c^2-1)^2\geq 2(a^3b+b^3c+c^3a - 1)[/TEX]
9,(Trần Quốc Anh - Problem of week)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2 = 2[/TEX]
Tìm Max của : [TEX]P = (a^5+b^5)(b^5+c^5)(c^5+a^5)[/TEX]
10, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng:
[TEX](a^2+5bc)(b^2+5bc)(c^2+5ab) \geq 27abc(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
11, (Vasile Cirtoaje)
[TEX](2a^2+7bc)(2b^2+7ca)(2c^2+7ab) \geq 27(ab +bc + ca)^3[/TEX]
12, (Trần Quốc Anh)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh rằng:
[TEX]a^3+b^3+c^3+9abc \leq 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)][/TEX]
13, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2} + \frac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2} + \frac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2}\leq 1[/TEX]
14, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
[TEX]\frac{3a^2+5ab}{(b+c)^2} + \frac{3b^2+5bc}{(c+a)^2} + \frac{3c^2+5ca}{(a+b)^2} \geq 6[/TEX]
15, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm a,b,c. Tìm hằng số k tốt nhất để bdt sau đúng:
[TEX]\(a+b+c)^5 \geq k(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
16,(Trần Quốc Anh)
Cho a,b,c > 0 và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ca)^8 \le 3^9[/TEX]
17, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thì:
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^2} + \frac{b^2}{(c+a)^2} + \frac{c^2}{(a+b)^2} +\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX]
18,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi [TEX]a, b, c \geq 0[/TEX] và [TEX]a + b + c = 3[/TEX] ta luôn có:
[TEX](ab^3+bc^3+ca^3)(ab+bc+ca)\leq 16[/TEX]
19, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c > 0[/TEX] và [TEX]abc = 1[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{sqrt{b^2+2c}} + \frac{b}{sqrt{c^2+2a}} + \frac{c}{sqrt{a^2+2b}} \geq\sqrt{3}[/TEX]
20, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]3(a+b+c)+2([/TEX] [TEX]\sqrt[]{a} [/TEX]+[TEX]\sqrt[]{b} [/TEX]+ [TEX]\sqrt[]{c} [/TEX][TEX])[/TEX] [TEX]\geq 15[/TEX]
21, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm [TEX]a,b,c [/TEX]ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{(c+a)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{c^2}{(a+b)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] [TEX]\geq [/TEX] [TEX]\frac{5}{4}[/TEX][TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
22, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]3(a^4+b^4+c^4)+7(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/TEX] [TEX]\geq [/TEX] [TEX]2(a^3b+b^3c+c^3a)+8(ab^3+bc^3+ca^3)[/TEX]
23, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có:
[TEX]\frac{a^4}{(a+b)^4}+\frac{b^4}{(b+c)^4}+\frac{c^4}{(c+a)^4}+\frac{3abc}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{8}[/TEX]
24, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] :geq [TEX]0[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{a^3+4}{a^2+4}} + \sqrt[3]{\frac{b^3+4}{b^2+4}} + \sqrt[3]{\frac{c^3+4}{c^2+4}} \geq\ 3[/TEX]
25,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\5 + \frac{3abc}{a^3+b^3+c^3} \geq\ 4(\frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{bc}{b^2+c^2} + \frac{ca}{c^2+a^2})[/TEX]
26,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{a(b+c)}{b^2+c^2} + \frac{b(c+a)}{c^2+a^2} + \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq\4[/TEX]
27, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} + \frac{(b-c)^2}{(b+c)^2} + \frac{(c-a)^2}{(c+a)^2} + \frac{24(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \leq\ 8[/TEX]
28 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 1 + \frac{abc}{a^3+b^3+c^3} \geq\ \frac{32abc}{3(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
29, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)(b+c)}{a(b^2+c^2)}} + \sqrt[3]{\frac{(b^2+ca)(c+a)}{b(c^2+a^2)}} + \sqrt[3]{\frac{(c^2+ab)(a+b)}{c(a^2+b^2)}} \geq\ 3\sqrt[3]{2}[/TEX]
30 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{b^2+bc+c^2}} + \frac{b}{\sqrt[]{c^2+ca+a^2}} + \frac{c}{\sqrt[]{a^2+ab+b^2}} \geq\ \frac{a+b+c}{\sqrt[]{ab+bc+ca}}[/TEX]
31, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a+b+c)^5 \geq\ 25\sqrt[]{5}(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
32 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+b^2+c^2)^3 \geq\ 27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2[/TEX]
33 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+b^2+c^2)^3 \geq\ 2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2[/TEX]
Lưu ý: Bài này là số thực còn bài trên là số thực ko âm.
34,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{a^5(b+c)}{(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}} + \sqrt[3]{\frac{b^5(c+a)}{(c^2+a^2)(b^2+ca)^2}} + \sqrt[3]{\frac{c^5(a+b)}{(a^2+b^2)(c^2+ab)^2}} \geq\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}[/TEX]
35 (Trần Quốc Anh)
Cho A,B,C là các góc của tam giác; m,n nguyên dương. Tìm Min:
P [TEX] = \frac{1}{sin^nA} + \frac{1}{sin^nB} + \frac{1}{sin^nC} +cos^mAcos^mBcos^mC [/TEX]
36 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+5b^2)(b^2+5c^2)(c^2+5a^2) \geq\8abc(a+b+c)^3[/TEX]
37 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 1 + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq\ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
38, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 3 + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq\ \frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}[/TEX]
39 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[]{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq\ \sqrt[]{abc} + \sqrt[]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]
40, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{1}{2}\geq\ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}[/TEX]
41, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=5.[/TEX] Chứng minh rằng:
[TEX]\ 10 + ab^2+bc^2+ca^2 \geq\ \frac{7}{8}(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
42, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{(a-b)^2} + \frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2} \geq\ 1[/TEX]
43, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực dương[TEX] a, b, c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + abc \geq\ 4[/TEX]
44 (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{5a^2+2bc}{(b+c)^2} + \frac{5b^2+2ca}{(c+a)^2} + \frac{5c^2+2ab}{(a+b)^2} \geq\ \frac{21}{4} .\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
45, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{3a^2+4bc}{(b+c)^2} + \frac{3b^2+4ca}{(c+a)^2} + \frac{3c^2+4ab}{(a+b)^2} \geq\ \frac{7}{4}. \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
- trích tuyển tập bdt Trần Quốc Anh Các cao thủ đâu nhảy vào chém nè =))
( không biết bao giờ mới hết đc 45 bài này nhỉ :|)
1, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX](a+b+c)^3 \geq 6 \sqrt{3} (a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
2, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c:
[TEX]\frac{ab}{(a+b)^2} + \frac{bc}{(b+c)^2} + \frac{ca}{(c+a)^2} \leq \frac{1}{4}+ \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
3, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=6[/TEX]
Tìm Min: [TEX]\frac{a}{bc} + \frac{2b}{ca} + \frac{5c}{ab}[/TEX]
4, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực [TEX]a,b,c[/TEX] ta có:
[TEX]\frac{(a+b)^2(a+c)^2}{(b^2-c^2)^2} + \frac{(b+c)^2(a+b)^2}{(c^2-a^2)^2} + \frac{(b+c)^2(c+a)^2}{(a^2-b^2)^2}\geq 2[/TEX]
5, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + \frac{16}{5}.\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{18}{5}[/TEX]
6, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} + \frac{(a-b)(a-c)}{b^2+c^2} +\frac{(b-c)(b-a)}{c^2+a^2} + \frac{(c-a)(c-b)}{a^2+b^2}\geq 1[/TEX]
7, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm ta có:
[tex]1 + \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
8, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX](a^2+b^2+c^2-1)^2\geq 2(a^3b+b^3c+c^3a - 1)[/TEX]
9,(Trần Quốc Anh - Problem of week)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2 = 2[/TEX]
Tìm Max của : [TEX]P = (a^5+b^5)(b^5+c^5)(c^5+a^5)[/TEX]
10, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng:
[TEX](a^2+5bc)(b^2+5bc)(c^2+5ab) \geq 27abc(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
11, (Vasile Cirtoaje)
[TEX](2a^2+7bc)(2b^2+7ca)(2c^2+7ab) \geq 27(ab +bc + ca)^3[/TEX]
12, (Trần Quốc Anh)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh rằng:
[TEX]a^3+b^3+c^3+9abc \leq 2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)][/TEX]
13, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2} + \frac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2} + \frac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2}\leq 1[/TEX]
14, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
[TEX]\frac{3a^2+5ab}{(b+c)^2} + \frac{3b^2+5bc}{(c+a)^2} + \frac{3c^2+5ca}{(a+b)^2} \geq 6[/TEX]
15, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm a,b,c. Tìm hằng số k tốt nhất để bdt sau đúng:
[TEX]\(a+b+c)^5 \geq k(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
16,(Trần Quốc Anh)
Cho a,b,c > 0 và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ca)^8 \le 3^9[/TEX]
17, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thì:
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^2} + \frac{b^2}{(c+a)^2} + \frac{c^2}{(a+b)^2} +\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2[/TEX]
18,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi [TEX]a, b, c \geq 0[/TEX] và [TEX]a + b + c = 3[/TEX] ta luôn có:
[TEX](ab^3+bc^3+ca^3)(ab+bc+ca)\leq 16[/TEX]
19, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c > 0[/TEX] và [TEX]abc = 1[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{sqrt{b^2+2c}} + \frac{b}{sqrt{c^2+2a}} + \frac{c}{sqrt{a^2+2b}} \geq\sqrt{3}[/TEX]
20, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]3(a+b+c)+2([/TEX] [TEX]\sqrt[]{a} [/TEX]+[TEX]\sqrt[]{b} [/TEX]+ [TEX]\sqrt[]{c} [/TEX][TEX])[/TEX] [TEX]\geq 15[/TEX]
21, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm [TEX]a,b,c [/TEX]ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{(b+c)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{(c+a)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{c^2}{(a+b)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] [TEX]\geq [/TEX] [TEX]\frac{5}{4}[/TEX][TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
22, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]3(a^4+b^4+c^4)+7(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/TEX] [TEX]\geq [/TEX] [TEX]2(a^3b+b^3c+c^3a)+8(ab^3+bc^3+ca^3)[/TEX]
23, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có:
[TEX]\frac{a^4}{(a+b)^4}+\frac{b^4}{(b+c)^4}+\frac{c^4}{(c+a)^4}+\frac{3abc}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{8}[/TEX]
24, (Trần Quốc Anh)
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] :geq [TEX]0[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{a^3+4}{a^2+4}} + \sqrt[3]{\frac{b^3+4}{b^2+4}} + \sqrt[3]{\frac{c^3+4}{c^2+4}} \geq\ 3[/TEX]
25,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\5 + \frac{3abc}{a^3+b^3+c^3} \geq\ 4(\frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{bc}{b^2+c^2} + \frac{ca}{c^2+a^2})[/TEX]
26,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{a(b+c)}{b^2+c^2} + \frac{b(c+a)}{c^2+a^2} + \frac{c(a+b)}{a^2+b^2} \geq\4[/TEX]
27, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} + \frac{(b-c)^2}{(b+c)^2} + \frac{(c-a)^2}{(c+a)^2} + \frac{24(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \leq\ 8[/TEX]
28 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 1 + \frac{abc}{a^3+b^3+c^3} \geq\ \frac{32abc}{3(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
29, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{(a^2+bc)(b+c)}{a(b^2+c^2)}} + \sqrt[3]{\frac{(b^2+ca)(c+a)}{b(c^2+a^2)}} + \sqrt[3]{\frac{(c^2+ab)(a+b)}{c(a^2+b^2)}} \geq\ 3\sqrt[3]{2}[/TEX]
30 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a}{\sqrt[]{b^2+bc+c^2}} + \frac{b}{\sqrt[]{c^2+ca+a^2}} + \frac{c}{\sqrt[]{a^2+ab+b^2}} \geq\ \frac{a+b+c}{\sqrt[]{ab+bc+ca}}[/TEX]
31, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a+b+c)^5 \geq\ 25\sqrt[]{5}(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)[/TEX]
32 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+b^2+c^2)^3 \geq\ 27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2[/TEX]
33 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+b^2+c^2)^3 \geq\ 2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2[/TEX]
Lưu ý: Bài này là số thực còn bài trên là số thực ko âm.
34,$$$ (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{a^5(b+c)}{(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}} + \sqrt[3]{\frac{b^5(c+a)}{(c^2+a^2)(b^2+ca)^2}} + \sqrt[3]{\frac{c^5(a+b)}{(a^2+b^2)(c^2+ab)^2}} \geq\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}[/TEX]
35 (Trần Quốc Anh)
Cho A,B,C là các góc của tam giác; m,n nguyên dương. Tìm Min:
P [TEX] = \frac{1}{sin^nA} + \frac{1}{sin^nB} + \frac{1}{sin^nC} +cos^mAcos^mBcos^mC [/TEX]
36 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\(a^2+5b^2)(b^2+5c^2)(c^2+5a^2) \geq\8abc(a+b+c)^3[/TEX]
37 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 1 + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq\ \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
38, (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\ 3 + \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq\ \frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}[/TEX]
39 (Trần Quốc Anh)
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta luôn có:
[TEX]\sqrt[]{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq\ \sqrt[]{abc} + \sqrt[]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2}}[/TEX]
40, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{1}{2}\geq\ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}[/TEX]
41, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=5.[/TEX] Chứng minh rằng:
[TEX]\ 10 + ab^2+bc^2+ca^2 \geq\ \frac{7}{8}(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
42, (Nhiều tác giả)
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:
[TEX]\frac{a^2}{(a-b)^2} + \frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2} \geq\ 1[/TEX]
43, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực dương[TEX] a, b, c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + abc \geq\ 4[/TEX]
44 (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{5a^2+2bc}{(b+c)^2} + \frac{5b^2+2ca}{(c+a)^2} + \frac{5c^2+2ab}{(a+b)^2} \geq\ \frac{21}{4} .\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
45, (Trần Quốc Anh)
Cho các số thực không âm [TEX]a, b, c[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{3a^2+4bc}{(b+c)^2} + \frac{3b^2+4ca}{(c+a)^2} + \frac{3c^2+4ab}{(a+b)^2} \geq\ \frac{7}{4}. \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}[/TEX]
Last edited by a moderator:
K
kiepcodondoicodoc1410
mình không hiểu cho lắm bạn có thể giải kỹ lưỡng một chút được không?????CM:
[tex]\frac{x}{1-x^2} \ge \frac{\sqrt{3}x^2}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{8}{27} \ge 2x^2(1-x^2)^2 (1)[/tex]
Có:[tex]2x^2(1-x^2)=2x^2 .(1-x^2)(1-x^2) \le (\frac{2x^2+1+1-2x^2}{3})^3=\frac{8}{27}[/tex]
[tex]\Rightarrow (1)[/tex] Được CM xong!!!
Các BDT khác tương tự!!
[tex]Done!![/tex]
cảm ơn nhiều nha
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
B
bigbang195
- Status