Toán Bất Đẳng Thức Toán 9

[miko_tinhnghich_dangyeu]

bài 1 làm rõ ra đi rua_it !ko hiểu j cả !!
hiểu rồi thì chẳng cần phải hỏi rồi :|

 

[rua_it]

Cho a + b + c = abc
C/m : [TEX]a(b^2-1)(c^2-1) + b(a^2-1)(c^2-1) + c(a^2-1)(b^2-1) = 4abc[/TEX]

[TEX]VT=\sum c(a^2b^2-a^2-b^2+1)[/TEX]

[TEX]=abc(ab+bc+ac)-(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc+a+b+c=3abc+abc=4abc[/TEX]

 

[rua_it]

1,
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2 }{ b^2+ac} \geq \frac{9}{2}[/TEX]

[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\sum \frac{a^2}{2bc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} =\sum \frac{a^2}{c^2+ab}+\frac{b^2}{c^2+ab} \ge \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}[/TEX]

[TEX]VT \ge (a+b+c)^2\left ( \frac{1}{2(ab+bc+ac)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)[/TEX]

[TEX]\frac{1}{2(ab+bc+ac)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}=\frac{1}{2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac} \ge \frac{9}{2(a+b+c)^2}[/TEX]

:|

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

a,b,c>0
CM:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt[]{3c^2+8a^2+14ac}}\geq\frac{a+b+c}{5}[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX]và[TEX]a+b+c=1[/TEX] .CM
[TEX]\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{c+ab}{a+b} \ge 2[/TEX]

bài này ai CM hộ mình [TEX]\frac{9abc}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{1}{2}[/TEX]với điều kiện như bài đã cho!

P/S ko bít cái mình cần có đúng ko nữa,nếu đúng thì CM hộ nha,còn ko thì chỉ cho mình chỗ sai!!thank nhìu!!

 

[mathvn]

[tex]12(a^2+b^4+2c^2) \ge (a+3b^2+2c)^2[/tex]
[tex] P \ge \frac{1}{\sqrt{12}}.(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})+\frac{3}{\sqrt{12}}(\frac{b^2}{ac}+\frac{a^2}{bc}+\frac{c^2}{ab}) \ge \frac{12}{\sqrt{12}} =\sqrt{12}[/tex]

Mở rộng thêm nhá:
(*)[tex]a,b,c >0 ---TM-> ab+bc+ac=abc[/tex] Tìm Min :
[tex] P= \frac{\sqrt{a^2+b^6+2c^2}}{ac}+\frac{\sqrt{b^2+c^6+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+a^6+2b^2}}{bc}[/tex]

cũng làm tương tự như trên.cm thêm
[TEX]\sum\frac{a^6}{bc}\ge \ a+b+c\ge \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=9[/TEX]..... :-SS>-/@-)

 

[mathvn]

bài này ai CM hộ mình [TEX]\frac{9abc}{2(ab+bc+ca)} \ ge \frac{1}{2}[/TEX]với điều kiện như bài đã cho!

P/S ko bít cái mình cần có đúng ko nữa,nếu đúng thì CM hộ nha,còn ko thì chỉ cho mình chỗ sai!!thank nhìu!!

đúng
[TEX](a+b+c)(ab+bc+ca)\ge \ 9abc[/TEX]..................................................................

 

[rua_it]

Cho x,y,z >0. Tìm max:
[TEX]P = \frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} + \frac{y}{y + \sqrt{(y+x)(y+z)}} + \frac{z}{z + \sqrt{(z+x)(z+y)}} [/TEX]

[tex]Denote that: (x+y).(x+z) \geq(\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^2[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS = \sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \leq \sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\leq 1[/tex]

a,b,c>0
CM:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt[]{3c^2+8a^2+14ac}}\geq\frac{a+b+c}{5}[/TEX]

Bài này có lần changbg post rùi mình không giải đc, ai làm giúp đi .

 

[quyenuy0241]

Các BDT trong tạp trí 3T​

1)[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX].Tìm min
[TEX]\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}[/TEX]

2)Cho [TEX]x,y,z \ge \sqrt{2}[/TEX] cm:
[TEX]\sum \frac{1}{x^5+y^5+2xyz} \le \frac{1}{2xyz}[/TEX]

3)cho [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]3a^2+2b^2+c^2 \le 1.[/TEX]tìm min
[TEX]S=\frac{3a}{bc}+\frac{4b}{ac}+\frac{5c}{ab}[/TEX]

4)Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX] và[TEX] a+b+c=1[/TEX].CM

[TEX]\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{c+ab}{a+b} \ge 2[/TEX]

5)Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số thực cm:
[TEX]\sum a(a+b)(a^2+b^2) \ge 0[/TEX]


6)Tim min và max
[TEX]\frac{x+y}{(3+x^2)(3+y^2)}[/TEX]

7)Cho [TEX]x,y,z \in (0,1)[/TEX] và[TEX] xyz=(1-x)(1-y)(1-z).[/TEX]Chứng minh
[TEX]\sum x^2 \le \frac{3}{4}[/TEX]

8)[TEX]a,b,c>0[/TEX] chứng minh
[TEX]\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})[/TEX]

9)[TEX]x,y,z >0[/TEX] và [TEX]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=\frac{4}{3}[/TEX].Tim min[TEX] x+y+z[/TEX]

10)[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX].tìm min
[TEX]P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c} [/TEX]

..............................,...............................................................................
[tex]4)\sum{\frac{c+ab}{a+b}=\sum{\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}[/tex]
[tex] [tex]Dat a+b=x,a+c=y,b+c=y : We- Will- Cm-:\sum{\frac{xy}{z} \ge x+y+z[/tex]

[tex]AM-GM: \frac{xy}{z}+\frac{xz}{y} \ge 2x [/tex]
Xây dụng các BDt khác tương tự

 

[son_9f_ltv]

đúng
[TEX](a+b+c)(ab+bc+ca)\ge \ 9abc[/TEX]..................................................................

sai oy bạn oy!!
cần Phải CM [TEX]9abc \ge ab+bc+ca [/TEX] chứ!!bạn nhâm oy!!! !

 

[vodichhocmai]

a,b,c>0
CM:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt[]{3c^2+8a^2+14ac}}\geq\frac{a+b+c}{5}[/TEX]

Bài này có lần minhchangbg pos rùi mình không giải đc, ai làm giúp đi .

Bài này dễ mà em . [TEX]\ \ [/TEX]

Bigbang195 mấy hôm nay em học được anh cái jì jải bài trên anh coi đi. Chú ý là trong sách anh có rất nhiều về chuyên đề này .ở phần ước lượng đó

 

[rua_it]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] chứng minh
[TEX]\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})[/TEX]

[tex]LHS.(abc+1)+3=\sum \frac{a+1+ab+abc}{a+ab}=\sum \frac{1+a}{a.(1+b)}+\sum \frac{b(1+c)}{b+1}[/tex]

[tex] \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3.\sqrt[3]{abc}(Am-Gm)[/tex]

[tex]\rightarrow \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq (3.\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3).\frac{1}{1+abc} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}=RHS[/tex]

 

[bigbang195]

Bài này dễ mà em . [TEX]\ \ [/TEX]

Bigbang195 mấy hôm nay em học được anh cái jì jải bài trên anh coi đi. Chú ý là trong sách anh có rất nhiều về chuyên đề này .ở phần ước lượng đó

Sách anh ở trong BDT[toán 10] link bị hỏng mà em chỉ thấy 1 số tờ anh rải rác ở 1 số bài chứ co đủ 1 tập đâu ạ

 

[letrang3003]

a,b,c>0
CM:
[TEX]\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt[]{3c^2+8a^2+14ac}}\geq\frac{a+b+c}{5}[/TEX]

[TEX]LHS^2\left ( 3a^4+8a^2b^2+14a^3b \right ) \ge (a^2+b^2+c^2)^3[/TEX]

chỉ cần chứng minh

[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a^4+b^4+c^4)+8(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+14(a^3b+b^3c+c^3a)} \ge \frac{(a+b+c)^2}{25}[/TEX]

Mặt khác

[TEX]3(a^4+b^4+c^4)+8(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+14(a^3b+b^3c+c^3a) [/TEX]

[TEX]=3(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+14(a^3b+b^3c+c^3a)[/TEX]

[TEX]\le 3(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{14}{3}(a^2+b^2+c^2)^2=\frac{25}{3}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

do đó

[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a^4+b^4+c^4)+8(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+14(a^3b+b^3c+c^3a)} \ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{25} \ge \frac{(a+b+c)^2}{25}[/TEX]

Đúng !!

p/s bài trên phải sử dụng bổ đề [TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a) [/TEX]

 

[quyenuy0241]

1)[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX].Tìm min
[TEX]\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}[/TEX]


10)[TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]abc=1[/TEX].tìm min
[TEX]P=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{c} [/TEX]

Chém bài dễ trước:

1)[tex]VT \ge \frac{9}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{9}{2-\frac{1}{3}}=\frac{25}{7}[/tex]
10) [tex]VT \ge (\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a})+(\frac{b^2}{c}+\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{a})-(a+b+c) \ge a+b+c \ge 3(-CauChy-Schwarz-)[/tex]

 

[djbirurn9x]

C/m với mọi x,y,z > 0 thỏa x + y + z = 1 thì :
[TEX] xy + xz + yz > \frac{18xyz}{2 + xyz}[/TEX]

 

[djbirurn9x]

Cho x,y,z > 0 và x + y + z = 1. Tìm min :

[TEX]P = \frac{x^2(y+z)}{yz} + \frac{y^2(z+x)}{zx} + \frac{z^2(x+y)}{xy} [/TEX]

 

[djbirurn9x]

[tex] [tex]\Rightarrow LHS = \sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \leq \sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\leq 1[/tex]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\leq 1[/TEX]
Cái này hiểu chết liền @-), giải thích kĩ lại đi rua_it (mình gà lắm)

 

[rua_it]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\leq 1[/TEX]

Cái này hiểu chết liền , giải thích kĩ lại đi rua_it (mình gà lắm)

[tex]LHS=\sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{(x+y).(x+z)}} \leq \sum_{cyc} \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}[/tex]

[tex]=\sum_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}= \sum_{cyc} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}[/tex]

[tex]=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1[/tex]

ok.

 

[djbirurn9x]

Ok rồi, thax rua nhiều. "Thịt" 2 bài kia hộ cái ^_~