b) Sử dụng tính chất góc ngoài, các góc nội tiếp cùng chắn một cung và các tia phân giác ta có :
$$\widehat{FIB} = \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = \widehat{ABI} + \widehat{ACI} = \widehat{ABI} + \widehat{ABF} = \widehat{FBI}$$
Suy ra $\triangle{FBI}$ cân tại $F$, suy ra $FA = FB = FI = FD$ (câu a và tính chất đối xứng). Suy ra $DAIB$ nội tiếp
c) Xét tứ giác $DAIB$ nội tiếp có tâm $F$ là trung điểm $ID$ nên $ID$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DAIB$, suy ra $\widehat{IBD} = 90^\circ$
Xét $\triangle{MBC}$, có $BD \perp BI$ là đường phân giác trong nên $BD$ là đường phân giác ngoài, theo tính chất đường phân giác ta có
$$\dfrac{IM}{IC} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{DM}{DC}$$
Suy ra $IM \cdot DC = DM \cdot IC$