[12]toán ôn thi đại học về pt, hpt

[nguyenminh44]

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{1-y^2} = 1 \\ y+ sqrt{1-x^2} =sqrt{3} \end{array} \right[/TEX]
bài này dùng phương pháp lượng giác hóa đặt x= Cos u ; y= Cos v với u, v thuộc (0;pi) các bạn nghĩ sao

Bạn thử trình bày cách lượng giác hoá của mình xem sao

Phương pháp đánh giá không mẫu mực

[TEX]PT(1) \Rightarrow 1=(x+\sqrt{1-y^2})^2 \leq 2(x^2+1-y^2)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y^2-x^2 \leq \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]VT \ PT(2) \leq \sqrt{2(1+y^2-x^2)} \leq \sqrt{ 2(1+\frac{1}{2})} \leq sqrt{3}[/TEX]

Dấu = xảy ra khi (hay hệ tương đương với)

[TEX]\left{ x=\sqrt{1-y^2} \\ x+\sqrt{1-y^2} = 1 \ \ \ [/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \left{ x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{\sqrt 3}{2}[/TEX]

Cách lượng giác hoá cũng có thể làm dựa trên "tinh thần" cách đại số này. Cậu thử xem, được đấy

 

[giangmanu]

giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{x=\frac{y^3}{3}+siny}\\{y=\frac{z^3}{3}+sinz}\\{z=\frac{x^3}{3}+sinx[/TEX]

 

[yenngocthu]

3. Để trả lời cho câu hỏi về 2 nghiệm của bạn tôi chỉ hỏi bạn 1 câu thôi tại sao bạn tìm ra dược cái này [TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy| [/TEX] ( thử viết lại và coi xem cái trường hợp x=0,y=0 ) xuất hiện ở đâu nhé>->->-

Bạn xem lại chỗ này , VT=VP khi dấu bằng đồng thời xảy ra ở hệ [TEX] \left{ \sqrt[3]{(x-1)^2+8} \geq 2 \\ |xy| \geq xy[/TEX]

Vì thế , chỉ có thể x=y=1 hoặc x=-y=1 mà thôi .

[TEX]\frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq \frac{2|xy|}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

tức là ở đây có cái này không vậy ta[TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

Mà để xảy ra dấu ''='' ở đây thì chắc chắn x=0 hoặc y=0 roài kết hợp với pt thứ 2 của cái hệ trên thì x=y nên kết luận dược x=y=0

 

[pytago_hocmai]

[TEX]\frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq \frac{2|xy|}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

tức là ở đây có cái này không vậy ta[TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

Mà để xảy ra dấu ''='' ở đây thì chắc chắn x=0 hoặc y=0 roài kết hợp với pt thứ 2 của cái hệ trên thì x=y nên kết luận dược x=y=0

ừ đúng rồi , ở đây xảy ra 2 trường hợp . Mình sơ xuất quá

 

[nguyenminh44]

giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{x=\frac{y^3}{3}+siny}\\{y=\frac{z^3}{3}+sinz}\\{z=\frac{x^3}{3}+sinx[/TEX]

Trước hết, nhận thấy x,y,z cùng dấu (thử xem, cũng là 1vấn đề đấy )
Do vậy ta xét riêng trường hợp x,y,z \geq 0

Xét hàm [TEX] f(t)= \frac{t^3}{3} +sin t -t [/TEX] trên[TEX] [0,+\infty )[/TEX]
[TEX]f'(t)=t^2+cost-1[/TEX]

[TEX]f"(t)=2t-sint[/TEX]

[TEX]f^{(3)}(t)=2-cost >0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f"(t) \geq f"(0)= 0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f'(t) \geq f'(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty ) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t) \geq f(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{t^3}{3} +sin t \geq t \ \ \forall t \in [0,+\infty ) \ \ (*)[/TEX]

Thu được [TEX]x \geq y \geq z \geq x [/TEX]

thu tiếp được [TEX]x=y=z= \frac{z^3}{3} +sinz \Rightarrow x=y=z=0 \ \ do \ \ (*)[/TEX]

Tương tự với trường hợp còn lại.

Nghiệm [TEX](0;0;0)[/TEX]

 

[thong1990nd]

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{1-y^2} = 1 \\ y+ sqrt{1-x^2} =sqrt{3} \end{array} \right[/TEX]
bài này dùng phương pháp lượng giác hóa đặt x= Cos u ; y= Cos v với u, v thuộc (0;pi) các bạn nghĩ sao

cách 2
[TEX]\left{\begin{x^2-y^2+1+2x\sqrt{1-y^2}=1}\\{y^2-x^2+1+2y\sqrt{1-x^2}=3}[/TEX]
cộng 2 PT đc
[TEX]2+2(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1[/TEX]
[TEX]VT=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt[]{(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)}=1[/TEX]
dấu = x/ra [TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt[]{1-y^2}}=\frac{y}{\sqrt[]{1-x^2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX] ko là nghiêm của hệ
ta thấy [TEX](\frac{1}{2};\frac{\sqrt[]{3}}{2})[/TEX] là 1 cặp nghiệm duy nhất tm
cách lập luận này ko chặt chẽ cho lắm

 

[thong1990nd]

tặng mấy bạn chăm học chứ để bên kia mốc xanh chả ai làm
1) [TEX]\left{\begin{x^2+3y=9}\\{y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0}[/TEX]

còn dư 1 bài giải nốt
[TEX]\left{\begin{16x^2+48y-144=0}\\{y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0}[/TEX]
cộng 2 PT có hệ mới
[TEX] \left{\begin{x^2+3y=9}\\{y^4+2y^2(4x-6)+16x^2-48x+11=0}[/TEX]
PT 2 \Leftrightarrow [TEX][y^2+(4x-6)]^2=5^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y^2+4x+6=5}\\{y^2+4x+6=-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{y^2+4x=-1}\\{y^2+4x=-11}[/TEX]
kết hợp với PT 1 của hệ ban đầu là đc

 

[nguyenminh44]

cách 2
[TEX]\left{\begin{x^2-y^2+1+2x\sqrt{1-y^2}=1}\\{y^2-x^2+1+2y\sqrt{1-x^2}=3}[/TEX]
cộng 2 PT đc
[TEX]2+2(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1[/TEX]
[TEX]VT=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt[]{(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)}=1[/TEX]
dấu = x/ra [TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt[]{1-y^2}}=\frac{y}{\sqrt[]{1-x^2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX] ko là nghiêm của hệ
ta thấy [TEX](\frac{1}{2};\frac{\sqrt[]{3}}{2})[/TEX] là 1 cặp nghiệm duy nhất tm
cách lập luận này ko chặt chẽ cho lắm

Đoạn cuối đúng là chưa được chặt chẽ

Để tớ cải tiến lại nhé: vẫn theo hướng bình phương, nhưng đưa về lượng giác.

Đặt [TEX]x=cos u \ , \ y=cosv \ \ \ u,v \in [0,\pi][/TEX]

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left {cosu +sin v=1 \\ cos v+sin u= \sqrt 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left { cos^2u+sin^2v+2cosu. sin v=1 \\ cos^2v +sin^2u +2cosv .sin u=3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2+2cosu .sin v +2sin u .cos v =4 \Leftrightarrow sin(u+v)=1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u+v=\frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow sin u=cosv \ ; \ cos u=sin v[/TEX]

Thay vào hệ ta có [TEX]x=cosu=\frac 1 2 \ ; \ y= cos v=\frac{\sqrt 3}{2}[/TEX]


------
Bình loạn : phương pháp đánh giá không mẫu mực thường đưa ra lời giải hay, gọn và bất ngờ nhưng không được "tự nhiên" cho lắm

 

[nguyenminh44]

(Tiếp) Giải hệ vế trái đẳng cấp bậc 2

Ở bài trứơc tớ đã nêu cách triệt tiêu hệ số tự do, đưa hệ

[TEX]\left { ax^2+bxy+cy^2=d \\ a'x^2+b'xy+c'y^2=d' \ \ \ \ \(I)[/TEX]

về dạng [TEX]Ax^2+Bxy+Cy^2=0[/TEX]

Ở bài này, xin nêu tiếp một cách giải khác. Đó là kĩ thuật tạo bình phương
Mục đích: đưa phương trình hệ quả về dạng [TEX](Ax+By)^2=C [/TEX]

Cách giải:

[TEX](I) \Leftrightarrow \left { m(ax^2+bxy+cy^2)=md \\ n(a'x^2+b'xy+c'y^2)=nd[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (am+a'n)x^2+((bm+b'n)xy+(cm+c'n)y^2=dm+d'n[/TEX]

Để VT trở thành dạng bình phương thì ta phải chọn m,n sao cho

[TEX]4(am+a'n)(cm +c'n)=(bm+b'n) \ \ \(*)[/TEX] (thử giải thích xem tại sao )

Đến đây ta đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với m và n. Từ đó có cách chọn m,n thích hợp

Ví dụ

[TEX]\left {2x^2+7xy-2x^2=2 \\ x^2+2xy+4y^2=1[/TEX]

Phân tích: Làm theo đúng phương pháp trên, đến phương trình [TEX](*)[/TEX] ta có:

[TEX]4(2m+n)(-2m+4n)=(7m+2n)^2 \Leftrightarrow 65m^2+4mn-12n^2=0[/TEX]

Từ đó giải ra được [TEX]\frac m n =\frac 2 5 [/TEX]

Ta chọn [TEX]m=2 ; n=5[/TEX]

Lời giải

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left { 4x^2+14xy-4y^2=4 \\ 5x^2+10xy+20y^2=5[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 9x^2+24xy+16y^2=9 \Leftrightarrow (3x+4y)^2=9 \Leftrightarrow 3x+4y= \ ^+_-3[/TEX]

Thế vào hệ ...
_________
Chú ý: cách giải này không giải được tất cả các hệ đẳng cấp bậc 2 vì không phải hệ nào cũng cho ra kết quả m,n "đẹp"

Tìm m để hệ sau có nghiệm

[TEX]\left {5x^2+2xy-y^2 \geq 3 \\ 2x^2+2xy+y^2 \leq \frac{m}{m-1}[/TEX]

 

[yenngocthu]

1,giả sử x,y là nghiệm của hpt:

[TEX]\red\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX]

Xác định a để tích số xy nhỏ nhất

2, Cho hpt:[TEX]\red \left{x^3-y^3=m.(x-y)\\x+y=1[/TEX]

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt [TEX]\red (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)[/TEX] với [TEX]\red x_1,x_2,x_3 [/TEX]lập thành 1 CSC và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1

 

[pytago_hocmai]

1,giả sử x,y là nghiệm của hpt:

[TEX]\red\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX]

Xác định a để tích số xy nhỏ nhất

2, Cho hpt:[TEX]\red \left{x^3-y^3=m.(x-y)\\x+y=1[/TEX]

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt [TEX]\red (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)[/TEX] với [TEX]\red x_1,x_2,x_3 [/TEX]lập thành 1 CSC và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1

1. [TEX]\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow \left{ x+y=2a-1(1) \\ (x+y)^2- 2xy=a^2+2a-3(2) [/TEX]

Thế (1) vào (2) và rút gọn thu được : [TEX]2xy=3(a-1)^2+1 \geq 1 \Rightarrow xy \geq \frac{1}{2} [/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi a=1 . Vậy với a=1 thì xy đạt min

2. Hệ

[TEX] \left{x^3-y^3=m.(x-y) (1)\\x+y=1(2)[/TEX]

Rõ ràng x=y là nghiệm của (1) . Thế vào (2) ta được [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

Nghiệm còn lại ở (1) sẽ là [TEX]x^2+xy+y^2=m(3)[/TEX]

Từ [TEX](2) \Rightarrow y=1-x [/TEX]. Thế vào trên thu được [TEX]x^2-x+1-m=0[/TEX]

Do hệ ban đầu có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên việc còn lại là tìm m để PT (3) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1;x_2[/TEX] sao cho [TEX]x_2- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x_1[/TEX] hay là [TEX]x_1+x_2=1 [/TEX] . (Điều này đúng theo vi-et)

Vì thế (3) sẽ có 1 nghiệm lớn hơn 0 và 1 nghiệm nhỏ hơn 0 [TEX] \Rightarrow x_1x_2 < 0 \Rightarrow 1-m <0 \Leftrightarrow m>1[/TEX]

Mặt khác do 2 nghiệm này có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên [TEX]x_1 < -1 & x_2 >1[/TEX]

Suy tiếp ra PT(3) phải có [TEX]\left{ a.f(-1) < 0 \\ a.f(1) <0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow m > 3[/TEX]

Vậy m>3 thỏa mãn bài toán

( Ở đây , nêu ta xét đến 2 trường hợp nữa là [TEX]\frac{1}{2} > x_2 > x_1[/TEX] hoặc [TEX]\frac{1}{2} < x_1 < x_2[/TEX] thì lại khá phức tạp . Còn với trường hợp [TEX]x_2 > \frac{1}{2} > x_1[/TEX] đã đúng theo vi-et mà đã trình bày ở trên )

p/s: thực sự lời giải của mình chưa ổn lắm

 

[giangmanu]

Trước hết, nhận thấy x,y,z cùng dấu (thử xem, cũng là 1vấn đề đấy )
Do vậy ta xét riêng trường hợp x,y,z \geq 0

Xét hàm [TEX] f(t)= \frac{t^3}{3} +sin t -t [/TEX] trên[TEX] [0,+\infty )[/TEX]
[TEX]f'(t)=t^2+cost-1[/TEX]

[TEX]f"(t)=2t-sint[/TEX]

[TEX]f^{(3)}(t)=2-cost >0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f"(t) \geq f"(0)= 0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f'(t) \geq f'(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty ) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t) \geq f(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{t^3}{3} +sin t \geq t \ \ \forall t \in [0,+\infty ) \ \ (*)[/TEX]

Thu được [TEX]x \geq y \geq z \geq x [/TEX]

thu tiếp được [TEX]x=y=z= \frac{z^3}{3} +sinz \Rightarrow x=y=z=0 \ \ do \ \ (*)[/TEX]

Tương tự với trường hợp còn lại.

Nghiệm [TEX](0;0;0)[/TEX]

cậu có thể giải thích luôn là tại sao x , y, z cùng dấu được không ???

 

[pytago_hocmai]

cậu có thể giải thích luôn là tại sao x , y, z cùng dấu được không ???

Rất đơn giản là giả sử x,y,z từng đôi một trái dấu đồng thời nhau ở mỗi PT thì sẽ có kết luận trên ngay

 

[mcdat]

1. [TEX]\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow \left{ x+y=2a-1(1) \\ (x+y)^2- 2xy=a^2+2a-3(2) [/TEX]

Thế (1) vào (2) và rút gọn thu được : [TEX]2xy=3(a-1)^2+1 \geq 1 \Rightarrow xy \geq \frac{1}{2} [/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi a=1 . Vậy với a=1 thì xy đạt min

2. Hệ

[TEX] \left{x^3-y^3=m.(x-y) (1)\\x+y=1(2)[/TEX]

Rõ ràng x=y là nghiệm của (1) . Thế vào (2) ta được [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

Nghiệm còn lại ở (1) sẽ là [TEX]x^2+xy+y^2=m(3)[/TEX]

Từ [TEX](2) \Rightarrow y=1-x [/TEX]. Thế vào trên thu được [TEX]x^2-x+1-m=0[/TEX]

Do hệ ban đầu có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên việc còn lại là tìm m để PT (3) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1;x_2[/TEX] sao cho [TEX]x_2- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x_1[/TEX] hay là [TEX]x_1+x_2=1 [/TEX] . (Điều này đúng theo vi-et)

Vì thế (3) sẽ có 1 nghiệm lớn hơn 0 và 1 nghiệm nhỏ hơn 0 [TEX] \Rightarrow x_1x_2 < 0 \Rightarrow 1-m <0 \Leftrightarrow m>1[/TEX]

Mặt khác do 2 nghiệm này có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên [TEX]x_1 < -1 & x_2 >1[/TEX]

Suy tiếp ra PT(3) phải có [TEX]\left{ a.f(-1) < 0 \\ a.f(1) <0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow m > 3[/TEX]

Vậy m>3 thỏa mãn bài toán

( Ở đây , nêu ta xét đến 2 trường hợp nữa là [TEX]\frac{1}{2} > x_2 > x_1[/TEX] hoặc [TEX]\frac{1}{2} < x_1 < x_2[/TEX] thì lại khá phức tạp . Còn với trường hợp [TEX]x_2 > \frac{1}{2} > x_1[/TEX] đã đúng theo vi-et mà đã trình bày ở trên )

p/s: thực sự lời giải của mình chưa ổn lắm

vth... thank hơi sớm

Bài 1 có vấn đề oy

[TEX]\red \huge \min_{-2a^2+8a \geq 7 } \ xy = \frac{11-6\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[mcdat]

(Tiếp) Giải hệ vế trái đẳng cấp bậc 2

Ở bài trứơc tớ đã nêu cách triệt tiêu hệ số tự do, đưa hệ

[TEX]\left { ax^2+bxy+cy^2=d \\ a'x^2+b'xy+c'y^2=d' \ \ \ \ \(I)[/TEX]

về dạng [TEX]Ax^2+Bxy+Cy^2=0[/TEX]

Ở bài này, xin nêu tiếp một cách giải khác. Đó là kĩ thuật tạo bình phương
Mục đích: đưa phương trình hệ quả về dạng [TEX](Ax+By)^2=C [/TEX]

Cách giải:

[TEX](I) \Leftrightarrow \left { m(ax^2+bxy+cy^2)=md \\ n(a'x^2+b'xy+c'y^2)=nd[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (am+a'n)x^2+((bm+b'n)xy+(cm+c'n)y^2=dm+d'n[/TEX]

Để VT trở thành dạng bình phương thì ta phải chọn m,n sao cho

[TEX]4(am+a'n)(cm +c'n)=(bm+b'n) \ \ \(*)[/TEX] (thử giải thích xem tại sao )

Đến đây ta đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với m và n. Từ đó có cách chọn m,n thích hợp

Ví dụ

[TEX]\left {2x^2+7xy-2x^2=2 \\ x^2+2xy+4y^2=1[/TEX]

Phân tích: Làm theo đúng phương pháp trên, đến phương trình [TEX](*)[/TEX] ta có:

[TEX]4(2m+n)(-2m+4n)=(7m+2n)^2 \Leftrightarrow 65m^2+4mn-12n^2=0[/TEX]

Từ đó giải ra được [TEX]\frac m n =\frac 2 5 [/TEX]

Ta chọn [TEX]m=2 ; n=5[/TEX]

Lời giải

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left { 4x^2+14xy-4y^2=4 \\ 5x^2+10xy+20y^2=5[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 9x^2+24xy+16y^2=9 \Leftrightarrow (3x+4y)^2=9 \Leftrightarrow 3x+4y= \ ^+_-3[/TEX]

Thế vào hệ ...
_________
Chú ý: cách giải này không giải được tất cả các hệ đẳng cấp bậc 2 vì không phải hệ nào cũng cho ra kết quả m,n "đẹp"

Tìm m để hệ sau có nghiệm

[TEX]\left {5x^2+2xy-y^2 \geq 3 \\ 2x^2+2xy+y^2 \leq \frac{m}{m-1}[/TEX]

Đúng là pro . Trâu VN mới nghĩ được thế này

Thank Mr Minh

 

[pytago_hocmai]

vth... thank hơi sớm

Bài 1 có vấn đề oy

[TEX]\red \huge \min_{-2a^2+8a \geq 7 } \ xy = \frac{11-6\sqrt{2}}{2}[/TEX]

Cụ thể đi , trình bày bài làm of you

Đúng là pro . Trâu VN mới nghĩ được thế này

Thank Mr Minh

Nói hay thế

 

[vodichhocmai]

Cụ thể đi , trình bày bài làm of you
Nói hay thế

[TEX]DK: (x+y)^2\ge 4xy !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!![/TEX]

 

[pytago_hocmai]

1. [TEX]\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow \left{ x+y=2a-1(1) \\ (x+y)^2- 2xy=a^2+2a-3(2) [/TEX]

Thế (1) vào (2) và rút gọn thu được : [TEX]2xy=3(a-1)^2+1 \geq 1 \Rightarrow xy \geq \frac{1}{2} [/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi a=1 . Vậy với a=1 thì xy đạt min

Đúng là sai thật rồi , bài này lừa người rất tốt =))

 

[vht2007]

vth... thank hơi sớm

Bài 1 có vấn đề oy

[TEX]\red \huge \min_{-2a^2+8a \geq 7 } \ xy = \frac{11-6\sqrt{2}}{2}[/TEX]

Có ích đc thì thanks đâu có sao. Sao cứ nhất thiết phải đúng, thanks cho người ta có hứng mà làm chứ 8-}

 

[pytago_hocmai]

Rao đi rao lại mà vẫn chưa ai làm bài này. Cho vào đây vậy. Nghiêm cấm dùng Schur dưới mọi hình thức

Cho các số thực dương a,b,c . CMR :

[TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{b+c}{a^2+bc} + \frac{c+a}{b^2+ca} + \frac{a+b}{c^2+ab} [/TEX]