[12]toán ôn thi đại học về pt, hpt

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi yenngocthu, 29 Tháng mười hai 2008.

Lượt xem: 11,722

  1. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    Bạn thử trình bày cách lượng giác hoá của mình xem sao :)

    Phương pháp đánh giá không mẫu mực

    [TEX]PT(1) \Rightarrow 1=(x+\sqrt{1-y^2})^2 \leq 2(x^2+1-y^2)[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow y^2-x^2 \leq \frac{1}{2}[/TEX]

    [TEX]VT \ PT(2) \leq \sqrt{2(1+y^2-x^2)} \leq \sqrt{ 2(1+\frac{1}{2})} \leq sqrt{3}[/TEX]

    Dấu = xảy ra khi (hay hệ tương đương với)

    [TEX]\left{ x=\sqrt{1-y^2} \\ x+\sqrt{1-y^2} = 1 \ \ \ [/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \left{ x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{\sqrt 3}{2}[/TEX]

    Cách lượng giác hoá cũng có thể làm dựa trên "tinh thần" cách đại số này. Cậu thử xem, được đấy :) ;)
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng sáu 2009
  2. giangmanu

    giangmanu Guest

    giải hệ phương trình :

    [TEX]\left{\begin{x=\frac{y^3}{3}+siny}\\{y=\frac{z^3}{3}+sinz}\\{z=\frac{x^3}{3}+sinx[/TEX]
     
  3. yenngocthu

    yenngocthu Guest


    [TEX]\frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq \frac{2|xy|}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

    tức là ở đây có cái này không vậy ta[TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

    Mà để xảy ra dấu ''='' ở đây thì chắc chắn x=0 hoặc y=0 roài kết hợp với pt thứ 2 của cái hệ trên thì x=y nên kết luận dược x=y=0
     
  4. ừ đúng rồi , ở đây xảy ra 2 trường hợp . Mình sơ xuất quá

    ;)
     
  5. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    Trước hết, nhận thấy x,y,z cùng dấu (thử xem, cũng là 1vấn đề đấy :) ;) )
    Do vậy ta xét riêng trường hợp x,y,z \geq 0

    Xét hàm [TEX] f(t)= \frac{t^3}{3} +sin t -t [/TEX] trên[TEX] [0,+\infty )[/TEX]
    [TEX]f'(t)=t^2+cost-1[/TEX]

    [TEX]f"(t)=2t-sint[/TEX]

    [TEX]f^{(3)}(t)=2-cost >0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f"(t) \geq f"(0)= 0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f'(t) \geq f'(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty ) [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f(t) \geq f(0)=0 \ \ \forall t \in [0,+\infty )[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow \frac{t^3}{3} +sin t \geq t \ \ \forall t \in [0,+\infty ) \ \ (*)[/TEX]

    Thu được [TEX]x \geq y \geq z \geq x [/TEX]

    thu tiếp được [TEX]x=y=z= \frac{z^3}{3} +sinz \Rightarrow x=y=z=0 \ \ do \ \ (*)[/TEX]

    Tương tự với trường hợp còn lại.

    Nghiệm [TEX](0;0;0)[/TEX]
     
  6. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    cách 2
    [TEX]\left{\begin{x^2-y^2+1+2x\sqrt{1-y^2}=1}\\{y^2-x^2+1+2y\sqrt{1-x^2}=3}[/TEX]
    cộng 2 PT đc
    [TEX]2+2(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})=4[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1[/TEX]
    [TEX]VT=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt[]{(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)}=1[/TEX]
    dấu = x/ra [TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt[]{1-y^2}}=\frac{y}{\sqrt[]{1-x^2}}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow x=y[/TEX] ko là nghiêm của hệ
    ta thấy [TEX](\frac{1}{2};\frac{\sqrt[]{3}}{2})[/TEX] là 1 cặp nghiệm duy nhất tm
    cách lập luận này ko chặt chẽ cho lắm
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng sáu 2009
  7. thong1990nd

    thong1990nd Guest

    còn dư 1 bài giải nốt
    [TEX]\left{\begin{16x^2+48y-144=0}\\{y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0}[/TEX]
    cộng 2 PT có hệ mới
    [TEX] \left{\begin{x^2+3y=9}\\{y^4+2y^2(4x-6)+16x^2-48x+11=0}[/TEX]
    PT 2 \Leftrightarrow [TEX][y^2+(4x-6)]^2=5^2[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y^2+4x+6=5}\\{y^2+4x+6=-5}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{y^2+4x=-1}\\{y^2+4x=-11}[/TEX]
    kết hợp với PT 1 của hệ ban đầu là đc
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng sáu 2009
  8. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    Đoạn cuối đúng là chưa được chặt chẽ :p :)

    Để tớ cải tiến lại nhé: vẫn theo hướng bình phương, nhưng đưa về lượng giác.

    Đặt [TEX]x=cos u \ , \ y=cosv \ \ \ u,v \in [0,\pi][/TEX]

    [TEX]HPT \Leftrightarrow \left {cosu +sin v=1 \\ cos v+sin u= \sqrt 3[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow \left { cos^2u+sin^2v+2cosu. sin v=1 \\ cos^2v +sin^2u +2cosv .sin u=3[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 2+2cosu .sin v +2sin u .cos v =4 \Leftrightarrow sin(u+v)=1[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow u+v=\frac{\pi}{2}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow sin u=cosv \ ; \ cos u=sin v[/TEX]

    Thay vào hệ ta có [TEX]x=cosu=\frac 1 2 \ ; \ y= cos v=\frac{\sqrt 3}{2}[/TEX]

    :)
    ------
    Bình loạn : phương pháp đánh giá không mẫu mực thường đưa ra lời giải hay, gọn và bất ngờ nhưng không được "tự nhiên" cho lắm :D
     
  9. nguyenminh44

    nguyenminh44 Guest

    (Tiếp) Giải hệ vế trái đẳng cấp bậc 2

    Ở bài trứơc tớ đã nêu cách triệt tiêu hệ số tự do, đưa hệ

    [TEX]\left { ax^2+bxy+cy^2=d \\ a'x^2+b'xy+c'y^2=d' \ \ \ \ \(I)[/TEX]

    về dạng [TEX]Ax^2+Bxy+Cy^2=0[/TEX]

    Ở bài này, xin nêu tiếp một cách giải khác. Đó là kĩ thuật tạo bình phương
    Mục đích: đưa phương trình hệ quả về dạng [TEX](Ax+By)^2=C [/TEX]

    Cách giải:

    [TEX](I) \Leftrightarrow \left { m(ax^2+bxy+cy^2)=md \\ n(a'x^2+b'xy+c'y^2)=nd[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow (am+a'n)x^2+((bm+b'n)xy+(cm+c'n)y^2=dm+d'n[/TEX]

    Để VT trở thành dạng bình phương thì ta phải chọn m,n sao cho

    [TEX]4(am+a'n)(cm +c'n)=(bm+b'n) \ \ \(*)[/TEX] (thử giải thích xem tại sao ;) :) )

    Đến đây ta đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với m và n. Từ đó có cách chọn m,n thích hợp

    Ví dụ

    [TEX]\left {2x^2+7xy-2x^2=2 \\ x^2+2xy+4y^2=1[/TEX]

    Phân tích: Làm theo đúng phương pháp trên, đến phương trình [TEX](*)[/TEX] ta có:

    [TEX]4(2m+n)(-2m+4n)=(7m+2n)^2 \Leftrightarrow 65m^2+4mn-12n^2=0[/TEX]

    Từ đó giải ra được [TEX]\frac m n =\frac 2 5 [/TEX]

    Ta chọn [TEX]m=2 ; n=5[/TEX]

    Lời giải

    [TEX]HPT \Leftrightarrow \left { 4x^2+14xy-4y^2=4 \\ 5x^2+10xy+20y^2=5[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 9x^2+24xy+16y^2=9 \Leftrightarrow (3x+4y)^2=9 \Leftrightarrow 3x+4y= \ ^+_-3[/TEX]

    Thế vào hệ ...
    _________
    Chú ý: cách giải này không giải được tất cả các hệ đẳng cấp bậc 2 vì không phải hệ nào cũng cho ra kết quả m,n "đẹp" :)

    Tìm m để hệ sau có nghiệm

    [TEX]\left {5x^2+2xy-y^2 \geq 3 \\ 2x^2+2xy+y^2 \leq \frac{m}{m-1}[/TEX]
     
  10. yenngocthu

    yenngocthu Guest

    1,giả sử x,y là nghiệm của hpt:

    [TEX]\red\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX]

    Xác định a để tích số xy nhỏ nhất


    2, Cho hpt:[TEX]\red \left{x^3-y^3=m.(x-y)\\x+y=1[/TEX]

    Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt [TEX]\red (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)[/TEX] với [TEX]\red x_1,x_2,x_3 [/TEX]lập thành 1 CSC và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1
     
    Last edited by a moderator: 15 Tháng sáu 2009
  11. 1. [TEX]\left{x+y=2a-1\\x^2+y^2=a^2+2a-3[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow \left{ x+y=2a-1(1) \\ (x+y)^2- 2xy=a^2+2a-3(2) [/TEX]

    Thế (1) vào (2) và rút gọn thu được : [TEX]2xy=3(a-1)^2+1 \geq 1 \Rightarrow xy \geq \frac{1}{2} [/TEX]

    Dấu bằng xảy ra khi a=1 . Vậy với a=1 thì xy đạt min

    2. Hệ

    [TEX] \left{x^3-y^3=m.(x-y) (1)\\x+y=1(2)[/TEX]

    Rõ ràng x=y là nghiệm của (1) . Thế vào (2) ta được [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

    Nghiệm còn lại ở (1) sẽ là [TEX]x^2+xy+y^2=m(3)[/TEX]

    Từ [TEX](2) \Rightarrow y=1-x [/TEX]. Thế vào trên thu được [TEX]x^2-x+1-m=0[/TEX]

    Do hệ ban đầu có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng và trong đó có 2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên việc còn lại là tìm m để PT (3) có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1;x_2[/TEX] sao cho [TEX]x_2- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x_1[/TEX] hay là [TEX]x_1+x_2=1 [/TEX] . (Điều này đúng theo vi-et)

    Vì thế (3) sẽ có 1 nghiệm lớn hơn 0 và 1 nghiệm nhỏ hơn 0 [TEX] \Rightarrow x_1x_2 < 0 \Rightarrow 1-m <0 \Leftrightarrow m>1[/TEX]

    Mặt khác do 2 nghiệm này có trị tuyệt đối lớn hơn 1 nên [TEX]x_1 < -1 & x_2 >1[/TEX]

    Suy tiếp ra PT(3) phải có [TEX]\left{ a.f(-1) < 0 \\ a.f(1) <0 [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow m > 3[/TEX]

    Vậy m>3 thỏa mãn bài toán

    ( Ở đây , nêu ta xét đến 2 trường hợp nữa là [TEX]\frac{1}{2} > x_2 > x_1[/TEX] hoặc [TEX]\frac{1}{2} < x_1 < x_2[/TEX] thì lại khá phức tạp . Còn với trường hợp [TEX]x_2 > \frac{1}{2} > x_1[/TEX] đã đúng theo vi-et mà đã trình bày ở trên )

    p/s: thực sự lời giải của mình chưa ổn lắm :D
     
  12. giangmanu

    giangmanu Guest

    cậu có thể giải thích luôn là tại sao x , y, z cùng dấu được không ???
     
  13. Rất đơn giản là giả sử x,y,z từng đôi một trái dấu đồng thời nhau ở mỗi PT thì sẽ có kết luận trên ngay :)
     
  14. mcdat

    mcdat Guest

    vth... thank hơi sớm :D

    Bài 1 có vấn đề oy

    [TEX]\red \huge \min_{-2a^2+8a \geq 7 } \ xy = \frac{11-6\sqrt{2}}{2}[/TEX]
     
  15. mcdat

    mcdat Guest

    Đúng là pro . Trâu VN mới nghĩ được thế này

    Thank Mr Minh
     
  16. Cụ thể đi , trình bày bài làm of you :D


    Nói hay thế
     
  17. vodichhocmai

    vodichhocmai Guest

    [TEX]DK: (x+y)^2\ge 4xy !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!![/TEX]
     
  18. Đúng là sai thật rồi , bài này lừa người rất tốt =))
     
  19. vht2007

    vht2007 Guest

    Có ích đc thì thanks đâu có sao. Sao cứ nhất thiết phải đúng, thanks cho người ta có hứng mà làm chứ 8-}
     
  20. Rao đi rao lại mà vẫn chưa ai làm bài này. Cho vào đây vậy. Nghiêm cấm dùng Schur dưới mọi hình thức

    Cho các số thực dương a,b,c . CMR :

    [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{b+c}{a^2+bc} + \frac{c+a}{b^2+ca} + \frac{a+b}{c^2+ab} [/TEX]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->