A/ Hệ phương trình bậc nhất:
1) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: (Dùng định thức)
[TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}a_1 x + b_1 y = c_1 \,\,\,\,\,\,\,(a_2^2 + b_2^2 \ne 0) \\ \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \,\,\,\,\,\,(a_2^2 + b_2^2 \ne 0) \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
[TEX]D = \left| {\begin{array}...{a_1 } & {b_1 } \\{a_2 } & {b_2 } \\\end{array}} \right| = a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ [/TEX]
[TEX]D_x = \left| {\begin{array}..{c_1 } & {b_1 } \\{c_2 } & {b_2 } \\\end{array}} \right| = c_1 b_2 - c_2 b_1 \\ [/TEX]
[TEX]D_y = \left| {\begin{array}..{a_1 } & {c_1 } \\{a_2 } & {c_2 } \\\end{array}} \right| = a_1 c_2 - a_2 c_1 \\ [/TEX]
Nếu:[TEX]\[D \ne 0\][/TEX] hệ có nghiệm duy nhất:[TEX]\[\left\{ {\begin{array}{...}\begin{array}{l}x = \frac{{D_x }}{D} \\ \\ \end{array} \\{y = \frac{{D_y }}{D}} \\\end{array}} \right.\][/TEX]
Nếu:[TEX]\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}D = 0 \\ D_x \ne 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}D = 0 \\ D_y \ne 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\][/TEX]: hệ vô nghiệm
Nếu:[TEX]\[D = D_x = D_y = 0\][/TEX]: hệ có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:[TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}2 x - 3 y = 13 \,\,\,\,\,\,\, \\ \\ 7 x + 4 y = 2 \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
B / Hệ phương trình bậc hai
- Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ hai phương trình hai ẩn được gọi là đối xứng loại I nếu khi hoán vị hai ẩn, mỗi phương trình đều không đổi.
Nói cách khác, hệ phương trình
[TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}{F}_{1}(x,y)=0\,\,\,\,\,\,\, \\ \\ {F}_{2}(x,y)=0 \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
được gọi là đối xứng loại I nếu [TEX]{F}_{1}(y,x)={F}_{1}(x,y),{F}_{2}(y,x)={F}_{2}(x,y)[/TEX]
Ví dụ:
(I) [TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=-7\,\,\,\,\,\,\, \\ \\{x}^{2}+{y}^{2}-3x-3y=16 \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
Chú ý: Từ định nghĩa ta thấy ngay rằng nếu [TEX](\alpha ,\beta )[/TEX] là một nghiệm của hệ đối xứng loại I thì [TEX](\beta ,\alpha )[/TEX] cũng là một nghiệm của nó.
Cách giải
Ta đã biết:
1) Nếu [TEX]{x}_{1},{x}_{2}[/TEX] là hai nghệm của phương trình [TEX]a{x}^{2} + bx +c = 0[/TEX] thì :
[TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}{x}_{1} +{x}_{2} =-\frac{b}{a}\,\,\,\,\,\,\, \\ \\{x}_{1}{x}_{2}= \frac {c}{a} \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
2) Nếu [TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2}=S\,\,\,\,\,\,\, \\ \\{x}_{1}{x}_{2}= P \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX] , với điều kiện [TEX]{S}^{2}-4P\geq 0 [/TEX] thì [TEX]{x}_{1}, {x}_{2}[/TEX] là 2 nghiệm của phương trình
[TEX]{X}^{2}-Sx+P=0[/TEX] (II)
3)Có thể biểu diễn tổng các lũy thừa cùng bậc của 2 nghiệm qua [TEX]{x}_{1}+{x}_{2}[/TEX] và [TEX]{x}_{1}{x}_{2}[/TEX] chẳng hạn:
[TEX]{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={({x}_{1}+{x}_{2})}^{2} -2{x}_{1}{x}_{2}[/TEX]
[TEX]{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}={({x}_{1}+{x}_{2})}^{3} -3{x}_{1}{x}_{2}({x}_{1}+{x}_{2})[/TEX]
[TEX]{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={\left[{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2} -2{x}_{1}{x}_{2} \right]}^{2}-2{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}[/TEX]
Nhờ những cách biến đổi này, nếu đặt [TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}x+y=S\,\,\,\,\,\,\, \\ \\XY=P \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX] (III)
thì có thể biến đổi hệ phương trình đối xứng loại I thành một hệ phương trình đối với 2 ẩn S và P. Nếu tìm được S và P thì từ các đẳng thức (III) và phương trình (II) ta tìm được x và y
Phương pháp chung để giải hệ phương trình đối xứng loại I như sau:
- Đặt [TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}x+y=S\,\,\,\,\,\,\, \\ \\xy=P \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
- Biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình đối với 2 ẩn S và P
- Giải hệ phương trình vừa nhận được đối với 2 ẩn S và P
- Với mỗi cặp S và P tương ứng, tiếp tục giải hệ phương trình [TEX]\[{\left\{ \begin{array}{l}x+y=S\,\,\,\,\,\,\, \\ \\xy=P \,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \right.}\][/TEX]
hpt đối xứng loại 2.
Xét hpt:
[tex]\left\{\begin{matrix}\ F_1(x,y)=0 \\ F_2(x,y)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu [TEX]F_1(y,x)=F_2(x,y), F_2(y,x)=F_1(x,y)[/TEX] hay nói cách khác, khi hoán vị 2 ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Phương pháp giải :
-Trừ từng vế tương ứng của 2 phương trình ta được một phương trình tích
-Phương trình tích này tương đương với 2 phương trình;
-Mỗi phương trình trong 2 pt vừa nói kết hợp với một trong 2 phương trình đã cho ta có một hệ;
-Giải những hệ này ta được nghiệm của hệ đã cho.
VD: Giải hpt:
[TEX](I) \left\{\begin{matrix}\ 2x^2+y=3y^2-2 (1) \\ 2y^2+x=3x^2-2 (2) \end{matrix}\right.[/TEX]
Trừ từng vế của (1) và (2) ta được:
[TEX]5(x^2-y^2)-(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(5x+5y-1)=0[/TEX]
Hệ (I) trở thành 2 hệ:
[TEX](II) \left\{\begin{matrix}\ 2x^2+y=3y^2-2 \\ x-y=0 \end{matrix}\right.[/TEX]
hay
[TEX](I) \left\{\begin{matrix}\ 2x^2+y=3y^2-2 \\ 5x+5y-1=0 \end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] (I) có 4 nghiệm: [TEX](-1;-1),(2;2),(\frac{1- \sqrt{209}}{10};\frac{1+ \sqrt{209}}{10}),(\frac{1+ \sqrt{209}}{10};\frac{1-\sqrt{209}}{10})[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
