[12]toán ôn thi đại học về pt, hpt

[man_moila_daigia]

Cho mọi nguoi 1 bài cũng tạm
$$\left\{ \begin{array}{l} y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2\end{array} \right.$$

 

[man_moila_daigia]

Cho mọi nguoi 1 bài cũng tạm
$$\left\{ \begin{array}{l} y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2\end{array} \right.$$
P/S: DEL HỘ 1 BÀI CHO MÌNH, ẤN NHẦM

 

[harryharry_09]

Cho mọi nguoi 1 bài cũng tạm
$$\left\{ \begin{array}{l} y+xy^2=6x^2\\1+x^2y^2=5x^2\end{array} \right.(2)$$

nhận thấy y=0 không thỏa mãn pt (2) nên hpt [TEX] \Leftrightarrow \left{\frac 1y+x=\frac{6x^2}{y^2}\\ \frac 1{y^2}+x^2=\frac{5x^2}{y^2}(*)[/TEX]

--> quy về hệ đơn giản

 

[congtucan12]

thử 1 bài này xem

tìm m để hpt có no

[TEX]\left{\begin{\sqrt x +\sqrt{1-y} =m}\\{\sqrt{1-x}+\sqrt y=m}[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

thử 1 bài này xem

tìm m để hpt có no

[TEX]\left{\begin{\sqrt x +\sqrt{1-y} =m}\\{\sqrt{1-x}+\sqrt y=m}[/TEX]

[TEX]x,y \in [0,1][/TEX]
[TEX]gt \to \sqrt{x}-\sqrt{1-x}=\sqrt{y}-\sqrt{1-y}(!)[/TEX]
Xét hàm [TEX]f(t)=\sqrt{t}-\sqrt{1-t} \forall t \in [0,1][/TEX]
[TEX]f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{1}{2\sqrt{1-t}} >0[/TEX] nên [TEX]f(t)[/TEX] đồng biến trên [TEX][0,1](!!)[/TEX]
Từ [TEX](!) [/TEX]và [TEX](!!)[/TEX] ta có [TEX]x=y[/TEX]
vậy ta cần tìm [TEX]m[/TEX] để pt
[TEX]f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/TEX] có nghiệm
Khảo sát hàm ta thu được kết quả
[TEX] 1 \leq m \leq \sqrt{2}[/TEX]

 

[thong1990nd]

[TEX]1,\blue \left{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8.\sqrt 2\\\sqrt x+\sqrt y=4[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{\sqrt{(x+y)^2-2xy}+\sqrt{2xy}=8\sqrt[]{2}}\\{x+y+2\sqrt{xy}=16}[/TEX]
đặt [TEX]a=x+y,b=\sqrt{xy}[/TEX]
hệ [TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{\sqrt[]{a^2-2b^2}+\sqrt[]{2}b=8\sqrt[]{2}}\\{a+2b=16}[/TEX]
đến đây dùng PP thế

 

[yenngocthu]

Cho hệ pt: [TEX]\blue \left{x+a.y-a=0\\x^2+y^2-x=0[/TEX]

Tìm tất cả các giá trị của a để hpt đã cho có 2 nghiệm pb

b.Gọi [TEX]\red (x_1,y_1)[/TEX] và [TEX]\red (x_2;y_2)[/TEX] là các nghiệm của hệ đã cho .Hãy cm :

[TEX] \red(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \leq 1[/TEX]

 

[pytago_hocmai]

Cho hệ pt: [TEX]\blue \left{x+a.y-a=0\\x^2+y^2-x=0[/TEX]

Tìm tất cả các giá trị của a để hpt đã cho có 2 nghiệm pb

b.Gọi [TEX]\red (x_1,y_1)[/TEX] và [TEX]\red (x_2;y_2)[/TEX] là các nghiệm của hệ đã cho .Hãy cm :

[TEX] \red(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \leq 1[/TEX]

Hệ [TEX]\Leftrightarrow \left{x+a.y-a=0 (1) \\(x- \frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}(2)[/TEX]

(1) là PT đường thẳng [TEX]x+a.y-a=0[/TEX]

(2) là PT đường tròn (C) tâm [TEX]I(\frac{1}{2};0)[/TEX] và [TEX]R=\frac{1}{2}[/TEX]

a) để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính R

[TEX]d _{(I/d)} < R [/TEX]

[TEX]\Rightarrow ...[TEX] [U][B]b)[/B][/U] gọi [TEX]A(x_1;y_1); B(x_2;y_2)[/TEX] thuộc (C)

Ta có [TEX] AB^2= (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 [/TEX]

AB lớn nhất khi nó là đường kính đường tròn (C)

[TEX]\Rightarrow AB \leq 1[/TEX] hay [TEX]AB^2 \leq 1 [/TEX] đpcm

 

[pytago_hocmai]

Tặng mấy bạn 1 hệ hay !

Giải hệ :

[TEX]\left{ x+ \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} =x^2+y \\ y+ \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} =y^2+x[/TEX]

 

[yenngocthu]

Giải hệ :

[TEX]\left{ x+ \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} =x^2+y(1) \\ y+ \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} =y^2+x(2)[/TEX]

bài này có trong THTT đúng không &gt;-&gt;-&gt;-

Theo như cahs của thày Nhiên thì:

Lấy em (1)+(2) ta dược :

[TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} =y^2+x^2[/TEX]

nhận thấy chú [TEX]x^2-2x+9=(x-1)^2+8 \geq 8 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-2x+9} \geq 2[/TEX]

nên [TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

TT có [TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq |xy|[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq 2.|xy|[/TEX]

theo cauchy [TEX]x^2+y^2 \geq 2.|xy|[/TEX]

theo cm :VT=VP nên pt sẽ cho 2 nghiệm (0,0) và (1,1)

 

[yenngocthu]

bài tiếp

[TEX]\red \left{ xy. (x+y+2)=x.(1-x^2)+y.(1-y^2)\\\frac{y^2+6}{3.\sqrt{x+y}}=\sqrt{y^2+3x+1}+y[/TEX]

 

[thong1990nd]

[TEX]\red \left{ xy. (x+y+2)=x.(1-x^2)+y.(1-y^2)\\\frac{y^2+6}{3.\sqrt{x+y}}=\sqrt{y^2+3x+1}+y[/TEX]

giải PT 1
[TEX]\Leftrightarrow xy(x+y+2)=(x+y)-(x+y)(x^2-xy+y^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy(x+y+2)=(x+y)-(x+y)[(x+y)^2-3xy][/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy(x+y+2)=(x+y)[1+3xy-(x+y)^2][/TEX]
đặt [TEX]a=x+y,b=xy[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b(a+2)=a(1+3b-a^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab+2b=a+3ab-a^3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a(a^2-1)-2b(a-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a-2b)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{a=1}\\{b=\frac{a^2+a}{2}}[/TEX]
với [TEX]a=1 \Leftrightarrow x+y=1 \Rightarrow x=1-y[/TEX]
thay vào PT 2 có [TEX]y^2-3y+6=3\sqrt[]{y^2-3y+4}[/TEX]
đặt [TEX]\sqrt[]{y^2-3y+4}=t[/TEX] ([TEX]t \geq 0[/TEX]) là ngon
TH kia làm bình thường mỏi tay quá

 

[thong1990nd]

tặng mấy bạn chăm học chứ để bên kia mốc xanh chả ai làm
1) [TEX]\left{\begin{x^2+3y=9}\\{y^4+4(2x-3)y^2-48y-48x+155=0}[/TEX]
2) [TEX]\left{\begin{2(x^3+2x-y-1)=x^2(y+1)}\\{y^3+4x+1+ln(y^2+2x)=0}[/TEX]
3) [TEX]\left{\begin{x^3+y^2=1}\\{x^2+xy+y^2-y=0}[/TEX]

 

[pytago_hocmai]

bài này có trong THTT đúng không &gt;-&gt;-&gt;-

Theo như cahs của thày Nhiên thì:

Lấy em (1)+(2) ta dược :

[TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} =y^2+x^2[/TEX]

nhận thấy chú [TEX]x^2-2x+9=(x-1)^2+8 \geq 8 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-2x+9} \geq 2[/TEX]

nên [TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy|[/TEX]

TT có [TEX] \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq |xy|[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq 2.|xy|[/TEX]

theo cauchy [TEX]x^2+y^2 \geq 2.|xy|[/TEX]

theo cm :VT=VP nên pt sẽ cho 2 nghiệm (0,0) và (1,1)

Đây là cách của thầy Nhiên đấy à , hóa ra cũng không khác gì cách làm của mình . Tuy nhiên bạn trình bày có nhầm lẫn một chút , mình đã sửa lại vào trích dẫn này , bạn có thể so sánh trích dẫn này với bài giải của bạn để tìm ra lỗi sai .

Thêm một điều nữa là mình nghĩ cách làm này chỉ cho ta nghiệm duy nhất x=y=1 mà thôi . Bởi vì ở đây phải sử dụng đến 2 BDT là

[TEX]\left{ \sqrt[3]{x^2-2x+9} \geq 2 \\ x^2+y^2 \geq 2|xy|[/TEX]

tất nhiên x=y=0 cũng là nghiệm của PT nhưng với 2 BDT trên thì chỉ cho x=y=1 khi xảy ra dấu bằng thôi

Có lẽ do cách lập luận chưa chặt trong lời giải của bạn nên việc ra được 2 nghiệm thế kia là chưa ổn . Bạn có thể dẫn đường link lời giải của thầy Nhiên cho mình xem được ko , vì cách này mình tự nghĩ ra và ko biết là thầy Nhiên đã giải . Hoặc nếu lời giải ở trên báo THTT thì bạn có thể viết đúng lời giải lại ko .

 

[pytago_hocmai]

tặng mấy bạn chăm học chứ để bên kia mốc xanh chả ai làm
2) [TEX]\left{\begin{2(x^3+2x-y-1)=x^2(y+1)} (1) \\{y^3+4x+1+ln(y^2+2x)=0}(2)[/TEX]

Bài này là thi thử của chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

[TEX](1) \Leftrightarrow 2x(x^2+2) -2(y+1) = x^2(y+1) \Leftrightarrow 2x(x^2+2)=(y+1)(x^2+2) \Rightarrow 2x=y+1 ( Do .:. x^2+2 \neq 0 )[/TEX]

Thế vào (2) ta được : [TEX]y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)=0[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(y)=y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)[/TEX]

[TEX]f'(y) =3y^2+2+ \frac{2y+1}{y^2+y+1} = 3y^2+ \frac{2y^2+4y+2+1}{y^2+y+1} > 0[/TEX] với mọi y

Vì thế f(y)=0 có ko quá một nghiệm . Nhận thấy y=1 nghiệm đúng PT \Rightarrow x=1

Vậy PT có nghiệm (x;y)=(1;1)


P/s : thong1990nd và yenngocthu cùng ở Nam Định

 

[yenngocthu]

Đây là cách của thầy Nhiên đấy à , hóa ra cũng không khác gì cách làm của mình . Tuy nhiên bạn trình bày có nhầm lẫn một chút , mình đã sửa lại vào trích dẫn này , bạn có thể so sánh trích dẫn này với bài giải của bạn để tìm ra lỗi sai .

Thêm một điều nữa là mình nghĩ cách làm này chỉ cho ta nghiệm duy nhất x=y=1 mà thôi . Bởi vì ở đây phải sử dụng đến 2 BDT là

[TEX]\left{ \sqrt[3]{x^2-2x+9} \geq 2 \\ x^2+y^2 \geq 2|xy|[/TEX]

tất nhiên x=y=0 cũng là nghiệm của PT nhưng với 2 BDT trên thì chỉ cho x=y=1 khi xảy ra dấu bằng thôi

Có lẽ do cách lập luận chưa chặt trong lời giải của bạn nên việc ra được 2 nghiệm thế kia là chưa ổn . Bạn có thể dẫn đường link lời giải của thầy Nhiên cho mình xem được ko , vì cách này mình tự nghĩ ra và ko biết là thầy Nhiên đã giải . Hoặc nếu lời giải ở trên báo THTT thì bạn có thể viết đúng lời giải lại ko .

1.Thành thật xin lỗi là tôi nhầm chỗ đó

2. bài này tôi nhớ cách làm của nó là là thế thôi chứ không biết bài thầy Nhiên ở link nào cả ( tình cờ koi ké báo bạn thoai chứ tôi nghèo lắm lấy xiền đâu ra đặt báo )

3. Để trả lời cho câu hỏi về 2 nghiệm của bạn tôi chỉ hỏi bạn 1 câu thôi tại sao bạn tìm ra dược cái này [TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy| [/TEX] ( thử viết lại và coi xem cái trường hợp x=0,y=0 ) xuất hiện ở đâu nhé&gt;-&gt;-&gt;-


P/S" hi vọng bạn không dấu danh tính chứ Q

 

[pytago_hocmai]

Bạn thử hướng làm này xem

tặng mấy bạn chăm học chứ để bên kia mốc xanh chả ai làm

3) [TEX]\left{\begin{x^3+y^2=1} (1)\\{x^2+xy+y^2-y=0}(2)[/TEX]

Nhận thấy x=y=0 nghiệm đúng hệ PT

Với [TEX]x;y \neq 0[/TEX] , ta chia 2 vế của (1) cho [TEX]y^3[/TEX] , thu được [TEX](\frac{x}{y})^3 + \frac{1}{y}=\frac{1}{y^3}[/TEX]

Nhân thêm x vào 2 vế của (2) thu được : [TEX]x^3+x^2y+xy^2-xy=0[/TEX]

Tiếp tục , chia 2 vế cho [TEX]y^3[/TEX] được : [TEX](\frac{x}{y})^3 + (\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} - \frac{x}{y^2} =0[/TEX]

Đặt [TEX]\left{ a=\frac{x}{y} \\ b= \frac{1}{y}[/TEX] . Khi đó hệ trở thành

[TEX]\left{ a^3+b=b^3 \\ a^3+a^2 -a-ab =0[/TEX]

Đến đây biến đổi 1 chút sẽ cho ta b=1 \Rightarrow ...

gần 4 giờ sáng rồi , mình đi nghỉ đã , mệt quá , chỉ nghĩ ra được cách dài thế này thôi . Có thể ko cần đặt mà vẫn ra được y=1 đấy . Nhưng mất công post rồi thì đành vậy . Còn ít nữa , các bạn tự giải nhé !

 

[pytago_hocmai]

3. Để trả lời cho câu hỏi về 2 nghiệm của bạn tôi chỉ hỏi bạn 1 câu thôi tại sao bạn tìm ra dược cái này [TEX] \frac{2xy}{ \sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq |xy| [/TEX] ( thử viết lại và coi xem cái trường hợp x=0,y=0 ) xuất hiện ở đâu nhé&gt;-&gt;-&gt;-

Bạn xem lại chỗ này , VT=VP khi dấu bằng đồng thời xảy ra ở hệ [TEX] \left{ \sqrt[3]{(x-1)^2+8} \geq 2 \\ |xy| \geq xy[/TEX]

Vì thế , chỉ có thể x=y=1 hoặc x=-y=1 mà thôi .

Bật YM đi Ngọc

 

[nguyenminh44]

-Phương trình F(x,y)=c được gọi là phương trình vế trái đẳng cấp bậc n nếu F(x,y) là một đa thức mà mọi hạng tử đều có bậc n, còn c là một hằng số. Trong trường hợp c=0 thì ta nói đó là phương trình đẳng cấp bậc n.
-Hệ phương trình vế trái đẳng cấp là hệ mà mọi phương trình đều có vế trái đẳng cấp.
Cách giải:
-Đặt y=tx hay x=ty
-Tính t
-Tính x và y theo t

Đây là phương pháp tổng quát để giải hệ vế trái đẳng cấp bậc n vẫn được giảng dạy ở các trường phổ thông.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt, không nên máy móc áp dụng. Ở đây, xin nêu ra cách giải cho trường hợp bậc của [TEX]F_1(x,y)[/TEX] và của [TEX]F_2(x,y)[/TEX] bằng nhau
[TEX]\left {F_1^{(n)}(x,y)=c_1 \\ F_2^{(n)}(x,y)=c_2 [/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \left {c_2F_1^{(n)}(x,y) =c_1c_2 \\ c_1F_2^{(n)}(x,y) =c_2c_1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow c_2F_1^{(n)}(x,y)-c_1F_2^{(n)}(x,y)=0[/TEX]

Đến đây ta được một phương trình đẳng cấp. Giải bằng cách chia cả 2 vế cho [TEX]x^n[/TEX] (hoặc [TEX]y^n[/TEX] ) sau khi xét trường hợp [TEX]x=0[/TEX] (hoặc [TEX]y=0[/TEX])

So với cách giải tổng quát, cách giải này thực ra có cùng bản chất, nhưng gọn hơn ở phần đặt ẩn phụ và phần xét điều kiện đặt ẩn phụ đó

Ví dụ

[TEX]\left { 3x^2+2xy+y^2=11 \\ x^2+2xy+5y^2 =25[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left { 75x^2+50xy+25y^2=11.25 \\ 11x^2+22xy+55y^2=11.25[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left { 64x^2+28xy-30y^2=0 \\ 3x^2+2xy+y^2=11[/TEX]

y=0 không thoả mãn

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left { 32(\frac{x}{y})^2+14\frac{x}{y}-15=0 \\ 3x^2+2xy+y^2=11[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ...[/TEX]

Còn một phương pháp nữa, cũng khá quen , post sau vậy...

 

[taulongaodu]

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{1-y^2} = 1 \\ y+ sqrt{1-x^2} =sqrt{3} \end{array} \right[/TEX]
bài này dùng phương pháp lượng giác hóa đặt x= Cos u ; y= Cos v với u, v thuộc (0;pi) các bạn nghĩ sao