[toán 12]Một số bài toán chọn lọc

[vodichhocmai]

2) Cho 3 số dương[TEX] x; y; z[/TEX] thoả mãn : [TEX]x + y + z = \frac{zy}{3x}[/TEX]

CMR : [TEX] x \leq \frac{2\sqrt[]{3}-3}{6}(y+z) [/TEX]

[TEX]\blue x + y + z = \frac{zy}{3x}\le \frac{(y+z)^2}{12x}[/TEX]

[TEX]\blue \righ (z+y)^2-12x(z+y)-12x^2\ge 0[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow (z+y)\ge \(6+4\sqrt{3}\)x[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow x \leq \frac{2\sqrt[]{3}-3}{6}(y+z)\ \ \ \ Done!![/TEX]

 

[giangmanu]

Cho[TEX] a , b > 0[/TEX] và [TEX]ab + a +b = 3[/TEX]

CMR : [TEX]\frac{3a}{b+1} + \frac{3b}{a+1} + \frac{ab}{a+b} \leq a^2 +b^2 +\frac{3}{2}[/TEX]

 

[thong1990nd]

giúp mình cái bài này với
1) Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thoả mân [TEX]xyz=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}[/TEX][TEX]+\frac{z^3}{(1+z)(1+y)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
2) Cho 3 số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn
[TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]
CMR
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

 

[giangmanu]

Ai có đề thi thử báo toán học & tuổi trẻ tháng 6 không ???

 

[vodichhocmai]

giúp mình cái bài này với
1) Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thoả mân [TEX]xyz=1[/TEX].CMR
[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}[/TEX][TEX]+\frac{z^3}{(1+z)(1+y)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
2) Cho 3 số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn
[TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]
CMR
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

[TEX]\red AM-GM\rightarrow\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge \frac{3}{4}x[/TEX]

[TEX]\red \rightarrow \sum_{cyclic}\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\ge \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}[/TEX]

Dùng đồng bậc :

[TEX]\blue 3=ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\le 1[/TEX]

Chú ý rằng : [TEX]\blue abc+a^2(b+c)=a\(bc+ab+ac)=3a[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow VT\le \frac{1}{abc+a^2(b+c)}+ \frac{1}{abc+b^2(a+c)}+ \frac{1}{abc+c^2(b+a)}[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow VT\le \frac{1}{3}\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)[/TEX]

[TEX]\blue \rightarrow VT\le \frac{1}{3} \(\frac{ab+bc+ca}{abc}\)=(dpcm)[/TEX]

 

[thefool]

Cho[TEX] a , b > 0[/TEX] và [TEX]ab + a +b = 3[/TEX]

CMR : [TEX]\frac{3a}{b+1} + \frac{3b}{a+1} + \frac{ab}{a+b} \leq a^2 +b^2 +\frac{3}{2}[/TEX]

từ giả thiét bài toán ta có:[TEX](1+a)(1+b)=4[/TEX]
biến đổi vế trái của BĐT thành:[TEX]\frac{3a^2+3b^2+3a+3b}{(1+a)(1+b)}+\frac{ab}{a+b} \leq 3/4(a^2+b^2)+3/4(a+b)+(a+b)/4=3/4(a^2+b^2)+(a+b)[/TEX]
vậy ĐPCM \Leftrightarrowa+b\geq2.quá đon gian thui nhé.

 

[pytago_hocmai]

từ giả thiét bài toán ta có:[TEX](1+a)(1+b)=4[/TEX]
biến đổi vế trái của BĐT thành:[TEX]\frac{3a^2+3b^2+3a+3b}{(1+a)(1+b)}+\frac{ab}{a+b} \leq 3/4(a^2+b^2)+3/4(a+b)+(a+b)/4=3/4(a^2+b^2)+(a+b)[/TEX]
vậy ĐPCM \Leftrightarrowa+b\geq2.quá đon gian thui nhé.

Bạn có nhầm ko ? Để có được CM trên thì cuối cùng là ta phải đi CM a+b \leq 2 mới đúng chứ . Bạn cứ làm cho hết đi xem sao , mình nghĩ giải thế này cũng hay nhưng chưa ổn hay sao ấy

 

[vodichhocmai]

Bạn có nhầm ko ? Để có được CM trên thì cuối cùng là ta phải đi CM a+b \leq 2 mới đúng chứ . Bạn cứ làm cho hết đi xem sao , mình nghĩ giải thế này cũng hay nhưng chưa ổn hay sao ấy

[TEX]If:\ \ \left{ab+b+a=3\\a,b>0[/TEX] [TEX]We\ \ have:\ \ 2\le a+b<3[/TEX]

Do nó bài [TEX]fool[/TEX] tới già cũng không ra

Mà bài trên tương đối dễ mà .

 

[thefool]

[TEX]If:\ \ \left{ab+b+a=3\\a,b>0[/TEX] [TEX]We\ \ have:\ \ 2\le a+b<3[/TEX]

Do nó bài [TEX]fool[/TEX] tới già cũng không ra

Mà bài trên tương đối dễ mà .

he sao lại tới già không ra.ra bây giờ nè:tiếp tục lời giải ta có:
[TEX]YCBT \Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{4}+3/2\geq a+b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[(a+b)^2-2ab+6]/4 \geq a+b[/TEX]
thế [TEX]2a+2b+2ab=6 \Rightarrow \Leftrightarrow(a+b)^2\geq2(a+b)[/TEX]
\Leftrightarrowa+b\geq2.

 

[vodichhocmai]

he sao lại tới già không ra.ra bây giờ nè:tiếp tục lời giải ta có:
[TEX]YCBT\Leftrightarrow(a^2+b^2)/4+3/2 \geq a+b \Leftrightarrow\frac{(a+b)^2-2ab+6}{4}\geqa+b \Leftrightarrow\{(a+b)^2+2(a+b)}{4}\geqa+b\Leftrightarrow(a+b)^2-2(a+b)\geq0\Leftrightarrowa+b\geq2.[/TEX]
[TEX]CM a+b\geq2 là ra ĐPCM[/TEX]

[TEX]a+b\ge 2[/TEX] quá dễ .Nhưng làm cái gì [TEX]fool?[/TEX]

 

[thefool]

[TEX]a+b\ge 2[/TEX] quá dễ .Nhưng làm cái gì [TEX]fool?[/TEX]

quá dễ thì cũng phải làm:
ta có [TEX]a+b+ab=3\Rightarrow(a+b)^2/4+a+b\geq3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[(a+b)+6].[(a+b)-2]\geq0\Leftrightarrow(a+b)\geq2[TEX][/TEX]

 

[vodichhocmai]

Bạn có nhầm ko ? Để có được CM trên thì cuối cùng là ta phải đi CM a+b \leq 2 mới đúng chứ . Bạn cứ làm cho hết đi xem sao , mình nghĩ giải thế này cũng hay nhưng chưa ổn hay sao ấy

[TEX]If:\ \ \left{ab+b+a=3\\a,b>0[/TEX] [TEX]We\ \ have:\ \ 2\le a+b<3[/TEX]

Do nó bài [TEX]fool[/TEX] tới già cũng không ra

Mà bài trên tương đối dễ mà .

he sao lại tới già không ra.ra bây giờ nè:tiếp tục lời giải ta có:
[TEX]YCBT \Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{4}+3/2\geq a+b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[(a+b)^2-2ab+6]/4 \geq a+b[/TEX]
thế [TEX]2a+2b+2ab=6 \Rightarrow \Leftrightarrow(a+b)^2\geq2(a+b)[/TEX]
\Leftrightarrowa+b\geq2.

Trời>> Anh đang trích lời nói của Quang chứ của em đâu mà nói ??

 

[thefool]

[TEX]If:\ \ \left{ab+b+a=3\\a,b>0[/TEX] [TEX]We\ \ have:\ \ 2\le a+b<3[/TEX]

Do nó bài [TEX]fool[/TEX] tới già cũng không ra

Mà bài trên tương đối dễ mà .


Trời>> Anh đang trích lời nói của Quang chứ của em đâu mà nói ??

anh có cách nào hay post cho mọi người xem đi...................em nhầm

 

[pytago_hocmai]

Bãn cãi xôn xao quá .

@thefoll : ý mình là bạn đi CM [TEX]a+b \geq 2[/TEX] để làm gì , cộng vào cái lúc đầu bạn giải thì có ra được đpcm đâu . Nếu muốn cộng vào để có đpcm thì phải là [TEX] a+b \leq 2[/TEX] , mà điều này là ko xảy ra vì [TEX]a+b \geq 2 [/TEX] rồi

 

[vodichhocmai]

Cho[TEX] a , b > 0[/TEX] và [TEX]ab + a +b = 3[/TEX]

CMR : [TEX]\red \frac{3a}{b+1} + \frac{3b}{a+1} + \frac{ab}{a+b} \leq a^2 +b^2 +\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\blue \left{s+p=3\\T=\frac{3\(s^2-2p+s\)}{4}+\frac{p}{s}-s^2+2p-\frac{3}{2} \\s^2\ge 4p[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\left{s+p=3\\T=\frac{3\(s^2+3s-6\)}{4}+\frac{3-s}{s}-s^2+2(3-s)-\frac{3}{2}\\2\le s<3[/TEX]

[TEX]\red\Rightarrow T'=\frac{6s+9}{4}-\frac{3}{s^2}-2s-2 [/TEX]

Vậy bất đẳng thức [TEX]\blue Done!![/TEX]

 

[thefool]

Bãn cãi xôn xao quá .

@thefoll : ý mình là bạn đi CM [TEX]a+b \geq 2[/TEX] để làm gì , cộng vào cái lúc đầu bạn giải thì có ra được đpcm đâu . Nếu muốn cộng vào để có đpcm thì phải là [TEX] a+b \leq 2[/TEX] , mà điều này là ko xảy ra vì [TEX]a+b \geq 2 [/TEX] rồi

cậu đọc kĩ bài giải của tớ chưa vậy?************************************************.......................

 

[giangmanu]

Các bác ơi làm hộ em bài này sao em làm ra nghiệm lẻ ???

Giải phương trình :

[TEX]4^{log_2{2x}} - x^{log_2{6}} = 2. 3^{log_2{4x^2}}[/TEX]

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[vodichhocmai]

Các bác ơi làm hộ em bài này sao em làm ra nghiệm lẻ ???

Giải phương trình :

[TEX]\red 4^{log_2{2x}} - x^{log_2{6}} = 2. 3^{log_2{4x^2}} [/TEX]

[TEX]\blue \left{4^{log_2{2x}}=4^{1+t}\\x^{log_2{6}} =6^t\\2. 3^{log_2{4x^2}}=2.3^{2+2t}=18.9^t\\t=log_2x \ \ x>0[/TEX]

[TEX]\red (pt)\Leftrightarrow 4.4^t-6^t=18.9^t[/TEX]

[TEX]\blue \Leftrightarrow 4\(\frac{4}{9}\)^t-\(\frac{2}{3}\)^t-18=0[/TEX]

[TEX]\red Done!![/TEX]

Gọi tuii giải rồi ouu lunn

 

[giangmanu]

Mọi người làm câu BĐT trong đề thi thử tuần này của ttt nhá :

Cho [TEX] a , b , c > 0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1 .[/TEX]

CMR : [TEX]\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ba}{c+ba}\leq\frac{3}{2}[/TEX]

 

[giangmanu]

Sắp thi Đại học rồi nên mình chúc tất cả các bạn trên diễn đàn làm bài thật tốt '' Khoảng 200% sức mình gì đó '' . Tạm biệt diễn đàn ! Tạm biệt tất cả