Nhưng phần sau của bạn hơi phức tạp nhỉ!!
Từ cái $$P=\dfrac{a}{\sqrt{8bc+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{8ac+b^2}}+\dfrac{c}
{\sqrt{8ab+c^2}}$$
Ta áp dụng Holder
Gọi $B= a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab)$
=> $P^2.B$\geq $(a+b+c)^3$
Ta cần cm $(a+b+c)^3$\geq $B$
hay : $(a+b+c)^3$\geq$a^3+b^3+c^3+24$
\Leftrightarrow $c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2$\geq0 đúng
=. đpcm
Đặt biểu thức là P
Đặt $a=\dfrac{bc}{a^2} \ \ \ \ b=\dfrac{ac}{b^2} \ \ \ \ c=\dfrac{ab}{c^2}$
Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{8a+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{8bc}{a^2}+1}}=\dfrac{a}
{\sqrt{8bc+a^2}}$
$P=\dfrac{a}{\sqrt{8bc+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{8ac+b^2}}+\dfrac{c}
{\sqrt{8ab+c^2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\dfrac{a^2}{a\sqrt{8bc+a^2}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{8ac+b^2}}+\dfrac{c^2}
{c\sqrt{8ab+c^2}} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}
{a\sqrt{8bc+a^2}+b\sqrt{8ac+b^2}+c\sqrt{8ab+c^2}} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}
{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc}}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
$(\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc})^2
\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc) \leq (a+b+c)[a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)]=
(a+b+c)(a+b+c)^3=(a+b+c)^4$
$\rightarrow
\sqrt{a}.\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+8abc} \leq
(a+b+c)^2$
$\rightarrow P \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$
P/S: Nếu được dùng kì hiệu $\sum$ thì đỡ mệt rồi
Holder cái gì, chỉ cần Bunhiacopski và Cauchy thôi mà
Mọi nguời thử xem cách này !
Đặt $x=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a}},y=\dfrac{1}{\sqrt{1+8b}},z=\dfrac{1}{\sqrt{1+8c}} \Rightarrow a=\dfrac{1-x^2}{8x^2},b=\dfrac{1-y^2}{8y^2},c=\dfrac{1-z^2}{8z^2}(0<x,y,z<1)\\abc=1 \rightarrow 8^3x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$
Theo yêu cầu đề bài ta chỉ cần cm: $x+y+z \geq 1$
Giả sử nguợc lại$ x+y+z<1$ Khi đó
$1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(y+z)[(x+y)+(x+z)] \geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$
Tuơng tự với y,z và nhân ba vế này ta đựoc:
$8x^2y^2z^2=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2 \Leftrightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x) \Leftrightarrow \sum x(y-z)^2<0 $
Bất đẳng thức cuối cùng không đúng. Điều đó chứng tỏ giả sử sai nên BDT đc cm
)