Ôn Thi Đại Học 2013.

[vivietnam]

Bài 19:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\tan^6x} $

$ \displaystyle\int \dfrac{d(\tan x)}{\tan^6x(\tan^2x+1)} $
$=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^6(t^2+1)}$
$=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^4(t^2.(t^2+1))}$
$=\displaystyle \int \dfrac{1}{t^4}(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t^2+1})dt$
$=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^6}-\displaystyle \int \dfrac{1}{t^2.t^2.(t^2+1)}dt$
$=\displaystyle \int t^{-6}dt-\displaystyle \int t^{-4}dt+\displaystyle \int t^{-2}dt-\displaystyle \int\dfrac{dt}{t^2+1}$
$=\dfrac{t^{-7}}{-7}-\dfrac{t^{-5}}{-5}+\dfrac{t^{-3}}{-3}-arctant+C $

 

[vivietnam]

Bài 28:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int(4x^2-2x-1)e^{2x}dx$

$ I=\displaystyle \int \dfrac{4x^2-2x-1}{2}d(e^2x)$
$ I=\dfrac{(4x^2-2x-1)e^{2x}}{2}-\displaystyle \int\dfrac{4x-1}{2}d(e^2x) $
$I=\dfrac{(4x^2-2x-1)e^{2x}}{2}-\dfrac{(4x-1)e^{2x}}{2}+\displaystyle \int 2e^{2x}dx$
$I= \dfrac{(4x^2-2x-1)e^{2x}}{2}-\dfrac{(4x-1)e^{2x}}{2}+e^{2x}+C $

 

[sky_fly_s2]

Bài 26:Tìm nguyên hàm $ I=\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sqrt{7+\cos 2x}}dx $

$\Leftrightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{8-2\sin^2x}}d(\sin x)$
Đặt $\sin x=2\sin t \Rightarrow d(sinx)=2\cos tdt$
$\Leftrightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{2\cos t}{\sqrt{8-8\sin^2t}}dt$
$\Leftrightarrow I=\displaystyle \int \dfrac{2\cos t}{2\sqrt{2}\cos t}dt$
$\Leftrightarrow I = \dfrac{t}{\sqrt{2}}+C$

 

[jet_nguyen]

Bài 29: Tính tích phân: $I=\int^0_{\sqrt3} \dfrac{x}{x^2+2+2\sqrt{1+x^2}}dx$

Bài 30: Tính tích phân: $I=\int^0_{\sqrt8}\sqrt{16-x^2}dx$

Bài 31: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}} \sin x \sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{2}}dx$

Bài 32: Tính tích phân: $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{2\sin^2(\dfrac{\pi}{4}-x)}{\cos 2x}\mathrm{d}x.$

Bài 33: Tính tích phân: $I=\int\limits_0^\dfrac{\pi}{3} {\dfrac{\sin x(x+1)}{\cos^3 x}} dx$

 

[truongduong9083]

Bài 34: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\sqrt{3}}_{1} \dfrac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}$

Bài 35: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{x^4+x^2+1}{x^6+1}dx$

Bài 36: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\sqrt{e}}_{1} \dfrac{1-2lnx}{x\sqrt{1+2\ln x}}dx$

Bài 37: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{2}}_{0} \dfrac{\sin^5x}{\sin^5x+\cos^5x}dx$

Bài 38: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{1}_{0} \dfrac{dx}{(1+x^3)\sqrt[3]{1+x^3}}dx$

 

[newstarinsky]

Bài 34: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\sqrt{3}}_{1} \dfrac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}$

Đặt $x=\tan t\Leftrightarrow dx=(1+\tan^2t)dt$
Đổi cận
$x=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}\\
x=\sqrt{3}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{3}$

Nên $I=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{(1+\tan^2t).\cos t}{\tan^2t}dt\\
=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\tan^2t.cost}dt\\
=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\cos t}{\sin t}dt\\
=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{d( \sin t)}{ \sin t}\\
=\ln(\sin t)\\
=\ln(\sqrt{\dfrac{3}{2}})$

 

[nghgh97]

Bài 38: Tính tích phân:
\[I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(1 + {x^3})\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}}}} dx\]

Em làm thử nhé
Đặt: $ t = 1 + {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx$
Ta có:
$\bullet$ $ x = 0 \Rightarrow t = 1$
$\bullet$ $x = 1 \Rightarrow t = 2$
\[I = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{t\sqrt[3]{t}}}} dt = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^4}}}}}} dt = \int\limits_1^2 {{t^{ - 4/3}}} dt = \left| { - 3{t^{ - 1/3}}} \right| = \left| { - 3\sqrt[3]{t}} \right| = 3\left( {\sqrt[3]{2} + 1} \right)\]

 

[sky_fly_s2]

Bài 29: Tính tích phân: $I=\int^0_{\sqrt3} \dfrac{x}{x^2+2+2\sqrt{1+x^2}}dx$

$\Leftrightarrow I=\int^0_{\sqrt3} \dfrac{x}{(\sqrt{1+x^2}+1)^2}dx$
Đặt $\sqrt{1+x^2}=t \Rightarrow t^2=1+x^2 \Rightarrow tdt=xdx$
Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=1$
$x=\sqrt{3} \Rightarrow t=2$
$\Leftrightarrow I=\int^2_{1} \dfrac{t}{(t+1)^2}dt$
$\Leftrightarrow I=\int^2_{1} \dfrac{t+1}{(t+1)^2}dt-\int^2_{1} \dfrac{1}{(t+1)^2}dt=ln|t+1|-\dfrac{1}{t+1}=ln2-\dfrac{1}{6}$

Bài 30: Tính tích phân: $I=\int^0_{\sqrt8}\sqrt{16-x^2}dx$

Đặt $x=4\sin t \Rightarrow dx=4\cos tdt$
Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=0$
$x=\sqrt{8} \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}$
$I=4\int^\frac{\pi}{4}_{0}\cos t\sqrt{16-16\sin^2t}dt=16\int^\frac{\pi}{4}_{0}\cos^2tdt=8 \int ^\frac{\pi}{4}_{0}(\cos2t+1)dt=4\sin2t+8t=\dfrac{\pi}{2}+4$

P/s: Bạn chịu khó viết hoa đầu câu nhé, cảm ơn bạn nhiều.

 

[vivietnam]

Bài 37: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{2}}_{0} \dfrac{\sin^5x}{\sin^5x+\cos^5x}dx$

Đặt $ x=\dfrac{\pi}{2}-t \Longrightarrow dx=-dt$
$ I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{2}}_{0} \dfrac{cos^5t}{sin^5t+cos^5t}dt $
Do tích phân không phụ thuộc vào biến
$ \Longrightarrow 2I=\displaystyle \int dx \Longrightarrow I=\dfrac{\pi}{4}$

 

[vivietnam]

Bài 33: Tính tích phân: $I=\int\limits_0^\dfrac{\pi}{3} {\dfrac{\sin x(x+1)}{\cos^3 x}} dx$

$I=-\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}(x+1)d(\dfrac{1}{cos^2x})=-\dfrac{1}{2}\dfrac{x+1}{cos^2x}|_0^{\dfrac{\pi}{3}}+\dfrac{1}{2}tanx|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}=-\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{-3+\sqrt{3}}{2}$

 

[sky_fly_s2]

Bài 35: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{x^4+x^2+1}{x^6+1}dx$

$\Leftrightarrow I=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1}dx=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{x^2+1}dx+2\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{x^6+1}dx$
tính tích phân $I_{1}=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{x^2+1}dx$.Đặt $x=tant \Rightarrow dx=\frac{1}{cos^2t}dt$
Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=0$
$x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}$
$\Leftrightarrow I_{1}=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{cos^2t(tan^2t+1)}dt=\displaystyle \int^1_{0}dt=\frac{\pi}{4}$
tính tích phân $I_{2}=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{x^6+1}dx$.Đặt $u=x^3 \Rightarrow du=3x^2dx$
cận không đổi
$\Leftrightarrow I_{2}=\frac{1}{3}\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{1}{u^2+1}du$
tương tự như $I_{1}$ ta tính được $I_{2}=\frac{\pi}{12}$
Vậy $I=I_{1}+2I_{2}=\frac{5\pi}{12}$

 

[sky_fly_s2]

Bài 36: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\sqrt{e}}_{1} \dfrac{1-2lnx}{x\sqrt{1+2\ln x}}dx$

Đặt $t=\sqrt{1+2\ln x} \Longrightarrow t^2=1+2lnx \Longrightarrow tdt=\frac{1}{x}dx và 1-2lnx=2-t^2$
Đổi cận $x=1 \Longrightarrow t=1$
$x=\sqrt{e} \Longrightarrow t=\sqrt{2}$
$\Longleftrightarrow I=\displaystyle \int^{\sqrt{2}}_{1} \dfrac{(2-t^2)t}{t}dt=\displaystyle \int^{\sqrt{2}}_{1} {(2-t^2)}dt=2t-\frac{t^3}{3}=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}$

 

[vivietnam]

Bài 31: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}} \sin x \sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{2}}dx$

$I=\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}} \sin x \sqrt{\dfrac{3}{2}-cos^2x}dx$
Đặt $ cosx=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.sint \Longrightarrow -sinxdx=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.costdt $
$I=-\displaystyle \dfrac{3}{2}\int^{0}_{\frac{\pi}{4}} cos^2tdt$
$I=-\displaystyle \dfrac{3}{4}\int^{0}_{\frac{\pi}{4}}(1+cos2t)dt$
$I=-\dfrac{3}{4}(t+\dfrac{sin2t}{2})|_{\frac{\pi}{4}}^0=\dfrac{3}{4}.(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}) $

Bài 32: Tính tích phân: $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{2\sin^2(\dfrac{\pi}{4}-x)}{\cos 2x}\mathrm{d}x.$

$I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{6}} \dfrac{1-sin2x}{cos2x}dx$
$I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{6}}(\dfrac{cos2x}{sin^22x-1}-\dfrac{sin2x}{cos2x})dx$
$ I=(\dfrac{1}{4} ln(|\dfrac{sin2x-1}{sin2x+1}|)+\dfrac{1}{2}.lncos2x)|_{0}^{\dfrac{\\pi}{6}} $
$I=\dfrac{1}{4}.ln(\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2})+\dfrac{1}{2}.ln(\dfrac{1}{2}) $

 

[jet_nguyen]

Bài 39: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^3_{1} \dfrac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$ (Trích đề khối B - 2009)

Bài 40: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{6}}_{0} \dfrac{\tan^4x}{\cos2x}dx$ (Trích đề khối A - 2008)

Bài 41: Tính tích phân: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{2\cos 2x}}} dx$

Bài 42: Tính tích phân:$I = \int\limits_0^1 {{x^3}\ln \left( {\dfrac{{4 - {x^2}}}{{4 + {x^2}}}} \right)} dx$

Bài 43: Tính tích phân :$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin ^2 x - 2x} \right)\cot ^2 xdx} $

 

[truongduong9083]

Bài 44: Tính tích phân :$\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {x.\sin x{{\cos }^2}xdx} $

Bài 45: Tính tích phân :$I = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin ^3 x + \cos ^3 x}}{{3 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm in2x}}}dx} $


Bài 46: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{1}_{-1} \dfrac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}dx$

Bài 47: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{4}} \dfrac{x\cos x}{\sin^3x}dx$

Bài 48: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{x^2.e^{2x}}{(x+1)^2}dx$

 

[vivietnam]

Bài 45: Tính tích phân :$I = \int\limits_0^\pi {\dfrac{{\sin ^3 x + \cos ^3 x}}{{3 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm in2x}}}dx} $

$I=\displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{(sinx+cosx)(4-(3+sin2x))}{3+sin2x}dx$
$I=\displaystyle \int_0^{\pi}\dfrac{4d(sinx-cosx)}{4-(sinx-cosx)^2}-\displaystyle \int_0^{\pi} (sinx+cosx)dx $
$ I=-ln(|\dfrac{t-2}{t+2}|)|_{-1}^1+2$
$ I=2-2ln3$

 

[vivietnam]

Bài 39: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^3_{1} \dfrac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$ (Trích đề khối B - 2009)

$ I=-\displaystyle \int_1^3 (3+lnx).d(\dfrac{1}{x+1})=-(\dfrac{3+lnx}{x+1})|_1^3+\displaystyle \int_1^3 \dfrac{1}{x(x+1)}$
$ I=-\dfrac{3+ln3}{4}+\dfrac{3}{2}+ln(\dfrac{x}{x+1})|_1^3$
$I=\dfrac{3-ln3}{4}+ln(\dfrac{3}{4})+ln2$

 

[vivietnam]

Bài 40: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{6}}_{0} \dfrac{\tan^4x}{\cos2x}dx$ (Trích đề khối A - 2008)

$I=\displaystyle \int^{\dfrac{\pi}{6}}_{0} \dfrac{\tan^4x.d(tanx)}{1-tan^2x}$
$I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{t^4.dt}{1-t^2}$

$I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}( -\dfrac{1}{t^2-1}-(1+t^2))dt $
$I=(-\dfrac{1}{2}ln|\dfrac{t-1}{t+1}|-\dfrac{t^3}{3}-t)|_ 0^{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$


$I=-\dfrac{1}{2}.ln(\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})-\dfrac{10\sqrt{3}}{27} $

Bài 46: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^{1}_{-1} \dfrac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}dx$

$I=\int_{-1}^0 \dfrac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}+\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}} =I_1+I_2 $

Xét $I_1$

Đặt $ x=-t \Longrightarrow dx=-dt $

$I_1=\int_0^1 \dfrac{dt}{1+\sqrt{1+t^2}-t} $

Do tích phân không phụ thuộc biến

$I= \int_0^1 \dfrac{dx}{1+\sqrt{1+x^2}-x} +\int_0^1 \dfrac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}} $

$I=\int_0^1 dx \Longrightarrow I=1 $

 

[vivietnam]

Bài 48: Tính tích phân: $I=\displaystyle \int^1_{0} \dfrac{x^2.e^{2x}}{(x+1)^2}dx$

$I=\dfrac{1}{2}\int_0^1 (1-\dfrac{1}{x+1})^2d(e^{2x}) $

$I=\dfrac{1}{2}.e^{2x}|_0^1-\int_0^1 \dfrac{d(e^{2x})}{x+1} -\int_0^1 e^{2x}d(\dfrac{1}{x+1})$

$I=\dfrac{e^{2}-1}{2}-\int_0^1 \dfrac{d(e^{2x})}{x+1}-\dfrac{e^{2x}}{x+1}|_0^1+\int_0^1 \dfrac{d(e^{2x})}{x+1} $

$I=\dfrac{e^{2}-1}{2}-\dfrac{e^2}{2}+1 =\dfrac{1}{2}$

 

[vivietnam]

Bài 42: Tính tích phân:$I = \int\limits_0^1 {{x^3}\ln \left( {\dfrac{{4 - {x^2}}}{{4 + {x^2}}}} \right)} dx$

$I=\dfrac{1}{2}\int_0^1 t(\ln(4-t)-\ln(4+t))dt $
$I=\dfrac{1}{4} \int_0^1 (\ln(4-t)-\ln(4+t))d(t^2) $
$I=\dfrac{1}{4}(\ln(4-t)-\ln(4+t))t^2|_0^1+\dfrac{1}{4} \int_0^1 (\dfrac{t^2}{4-t}+\dfrac{t^2}{4+t})dt $
$I=\dfrac{1}{4}.\ln\dfrac{3}{5} +\dfrac{1}{4} \int_0^1 (\dfrac{16}{4-t}-t-4 +\dfrac{16}{4+t}+t-4)dt $
$I=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}(16\ln(4-t)-8t+16\ln(t+4))|_0^1$
$I=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{3}{5} +\dfrac{1}{4} (16\ln\dfrac{15}{16}-8) $