[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[jet_nguyen]

Bài 129. Giải hệ phương trình

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5} = (x^2+2x-6)(x^3+4) \\ x+ \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{y^2}\end{array} \right.[/tex]​

Mình gợi ý thôi nhé.
ĐK:......
Ta có:
$\bullet \sqrt{x^3-6x+5}=\sqrt{(x-1)(x^2-x+5)}$ \leq $ \dfrac{x^2-x+5+x+1}{2}=\dfrac{x^2+2x-6}{2}$
$\bullet x^2=\sqrt[3]{x^6}=\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{2}.\dfrac{x^3}{2}.4}$ \leq $ \dfrac{x^3+4}{3}$
Vì thế ta có: $VT$ \leq $VP$.
Dấu "=" xảy ra khi $x-1=x^2+x-5$ và $\dfrac{x^3}{2}=4$ suy ra $x=2$.
Tới đây thì ổn rồi nhé.

 

[mr.hoanghuy92]

[TEX]\sqrt{x}+\sqrt[4]{x{(1-x)}^{2}}+\sqrt[4]{{(1-x)}^{3}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{{x}^{3}}+\sqrt[4]{{x}^{2}(1-x)}[/TEX] Help me!!!

 

[hoangviet177]

Giải giúp mình bài này với
[TEX]\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2{x}^{2}-2x+2}}\geq 1[/TEX]

 

[truongduong9083]

bài này giống đề khối A năm 2010 bạn ạ
bạn xem đáp án có trên mạng nhé

[TEX]\sqrt{x}+\sqrt[4]{x{(1-x)}^{2}}+\sqrt[4]{{(1-x)}^{3}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{{x}^{3}}+\sqrt[4]{{x}^{2}(1-x)}[/TEX]

bài đấy đổi vị trí [TEX]sqrt{x}[/TEX] cho [TEX]sqrt{1-x}[/TEX] thì làm được bạn ạ
sử dụng liên hợp có nghiệm [TEX]x = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[jet_nguyen]

[TEX]\sqrt{x}+\sqrt[4]{x{(1-x)}^{2}}+\sqrt[4]{{(1-x)}^{3}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{{x}^{3}}+\sqrt[4]{{x}^{2}(1-x)}[/TEX] Help me!!!

ĐK: $0$ \leq $x$ \leq $1$
Ta có:
$$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x{(1-x)}^{2}}+\sqrt[4]{{(1-x)}^{3}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{{x}^{3}}+\sqrt[4]{{x}^{2}(1-x)}$$$$\Longleftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x(1-x)}(\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{x})+(\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{x})(\sqrt[4]{(1-x)^2}+\sqrt[4]{x(1-x)}+\sqrt{x^2})=0$$$$ \Longleftrightarrow (\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x})(\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{x})+(\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{x})[2\sqrt[4]{x(1-x)}+\sqrt[4]{(1-x)^2}+\sqrt[4]{x^2}]=0$$$$ \Longleftrightarrow (\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{x})[(\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{x})^2-(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x})]=0$$

@jet_nguyen: H kiểm tra lại bài giải nhé
P/s: Đã sửa lại bài, mọi người kiểm tra hộ mình nhé.

 

[duynhan1]

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2+y^2+2y = 4 \\ (x^2+xy)(y+1) + x = 6 \end{cases}$$

Bạn nào giúp mình với, đang bí

 

[duynhan1]

Giải phương trình:

[tex](2x+1)+ (x\sqrt{x^{2}+2})+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0[/tex]

Biến đổi phương trình thành: $$x+ x\sqrt{x^2+2} = (-x-1) + (-x-1) \sqrt{(-x-1)^2+2}$$
Dùng hàm số nhé.

 

[mr.hoanghuy92]

[TEX]\left\{\begin{{x}^{2}+xy-3x+y=0\\{{x}^{4}+3{x}^{2}y-5{x}^{2}+{y}^{2}=0}\right.[/TEX] Giúp mình với!!!

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

+ Nếu x = 0 thì y = 0 (Thỏa mãn)
+ Nếu x khác 0
chia phương trình (1) cho x; phương trình
(2) cho [TEX]x^2[/TEX] ta được
[tex]\left\{ \begin{array}{l}x+\frac{y}{x} + y - 3 = 0\\ x^2+(\frac{y}{x})^2 +3y-5=0 \end{array} \right.[/tex]
Đặt [TEX]a = x+\frac{y}{x}; b =y [/TEX]
Hệ phương trình trở thành
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a+b = 3 \\ a^2+b- 5 = 0 \end{array} \right.[/tex]
Đến đây bạn giải nốt nhé

 

[meoyu_s2]

Giải pt (x^2+1)^2=5-xsqrt(2x^2+4)
Giúp e với ạ (

 

[jet_nguyen]

Giải pt $$(x^2+1)^2=5-x\sqrt{2x^2+4}$$

Bạn tham khảo cách này nhé.
$\bullet$ $x< 0$ ta viết lại phương trình như sau:
$$x^4+2x^2+1=5+\sqrt{2(x^4+2x^2)}$$ Đặt $t=\sqrt{2(x^4+2x^2)}$(ĐK: t \geq 0) thì phương trình trở thành:
$$t^2-2t-8=0$$$$\Longleftrightarrow t=4$$ $\bullet$ $x$ \geq $0$ ta viết lại phương trình như sau:
$$x^4+2x^2+1=5-\sqrt{2(x^4+2x^2)}$$ Đặt $t=\sqrt{2(x^4+2x^2)}$(ĐK: t \geq 0) thì phương trình trở thành:
$$t^2+2t-8=0$$$$\Longleftrightarrow t=2$$ Bạn tiếp tục nhé.
​

​

 

[giaosu_fanting_thientai]

Cách 1:
Đặt $\begin{cases} a= \sqrt{2x-1} \\ b = \sqrt{2y-1} \end{cases} $ đưa về hệ đối xứng.
Cách 2:
Bình phương 2 vế và đưa về ẩn xy.
Cách 2 có vẻ nhẹ nhàng hơn

.

Sao mất luôn đề bài r..
Không biết bình phuơng lên thì nhẹ nhàng thế nào, chưa thử mà cũng k dám thử.
Cách 2 nhẹ nhàng mà k dám thử đuơng nhiên cách 1 cũng k dám động 8-}
Bài 9/ t
Đây là bài làm của bạn taooat94

Biết bài này đánh giá mà k biết đánh giá thế nào, ra là phải dùng phép thế

duynhan1: Đi thi ai dám thế 8-}

 

[duynhan1]

[tex]9.\left\{ \begin{array}{l} x+y = 2xy \\ (x+3)sqrt{2x-1}+(y+3)sqrt{2y-1}=2\sqrt{(y+3)(x+3)} \end{array} \right.[/tex]

Cách 1:
Hê phương trình đã cho tương đương với: $$\begin{cases} 2x + 2y = 4xy \\ (2x+6) \sqrt{2x-1} + (2y+6)\sqrt{2y-1} = 2\sqrt{(2x+6)(2y+6)} \end{cases}$$
Đặt $\begin{cases} a=\sqrt{2x-1} \\ b = \sqrt{2y-1} \end{cases}$, ta có: $$\begin{cases} a^2 + b^2 + 2 = (a^2+1)(b^2+1) \\ (a^2+7)a + (b^2+7)b = 2\sqrt{(a^2+7)(b^2+7)} \end{cases} $$
Từ phương trình (1) rút ra được $a^2b^2 = 1$
Nhẹ nhàng chưa cậu :-w
Cách 2:
Bình phương 2 vế phương trình (2) ta có: $$\begin{aligned} &(x+3)^2 (2x-1) + (y+3)^2 (2y-1) + 2(x+3)(y+3) \sqrt{(2x-1)(2y-1)} = 4(x+3)(y+3) \\ \Leftrightarrow & 2(x^3+y^3) + 11(x^2+y^2) + 12(x+y) - 18 + 2(xy + 3(x+y) + 9) \sqrt{4xy-2x-2y+1} = 4 (xy+3(x+y) + 9) \end{aligned}$$
Thực ra thì cách 2 không đơn giản như tớ tưởng, nhưng nó có mục đích của nó, đối với 1 biểu thức x, y đối xứng, nhưng bị tách nhau ra thì ta bình phương sẽ thực hiện được phép thế theo ẩn (x+y) và xy.

 

[duynhan1]

[tex]9.\left\{ \begin{array}{l} x+y = 2xy \\ (x+3)sqrt{2x-1}+(y+3)sqrt{2y-1}=2\sqrt{(y+3)(x+3)} \end{array} \right.[/tex]

Bây giờ mới nhớ bài ni làm rồi, và cũng không phải là 2 cách trên, mà là sử dụng BĐT.
Cách 3:
Điều kiện: $\begin{cases} x \ge \frac12 \\ y \ge \frac12 \end{cases}$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $$ \begin{aligned} (x+3) \sqrt{2x-1}+(y+3) \sqrt{2y-1} & \ge 2 \sqrt{(x+3)(y+3)\sqrt{(2x-1)(2y-1)}} = \\ & = 2 \sqrt{(x+3)(y+3)} \text{(do x+y=2xy)} \end{aligned}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $$\begin{aligned} & (x+3)\sqrt{2x-1} = (y+3)\sqrt{2y-1} \\ \Leftrightarrow & (\sqrt{2x-1})^3 + 7 \sqrt{2x-1} = (\sqrt{2y-1})^3 + 7 \sqrt{2y-1} \\ \Leftrightarrow & \sqrt{2x-1} = \sqrt{2y-1} \text{(do hàm số }f(t) = t^3 + 7t \text{ đồng biến trên } \mathbb{R} \text{)} \\ \Leftrightarrow & x= y \end{aligned}$$
Thay vào (1) ta được: $x=y=1$.

 

[huyhungkm94]

Giúp mình Giải phương trình này nha
[tex] (x^2-4x+11)(x^4-8x+21)=35 [/tex]

 

[jet_nguyen]

Giúp mình Giải phương trình này nha
[tex] (x^2-4x+11)(x^4-8x+21)=35 [/tex]

Bạn tham khảo thử cách này nha.
Ta có: $$x^2-4x+11=(x-2)^2+7 \ge 7$$$$x^4-8x+21=(x^2-4)+5 \ge 5$$ Do đó: $VT \ge 35$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=2$

 

[mr.hoanghuy92]

Bất phương trình [TEX]\sqrt{6}({x}^{2}-3x+1)+\sqrt{{x}^{4}+{x}^{2}+1}\leq 0[/TEX]

 

[so_0]

Bất phương trình [TEX]\sqrt{6}({x}^{2}-3x+1)+\sqrt{{x}^{4}+{x}^{2}+1}\leq 0[/TEX]

thoạt nhìn bài chỉ có 1 căn --> đặt điều kiện, bình phương ta được
$$5x^4-36x^3+65x^2-36x+5\leq 0$$ (*)

xét x=0 không là nghiệm của bất

(*) $$\Leftrightarrow 5(x+\frac{1}{x})^2-36(x+\frac{1}{x})+55 \leq 0 $$

 

[duynhan1]

Bất phương trình [TEX]\sqrt{6}({x}^{2}-3x+1)+\sqrt{{x}^{4}+{x}^{2}+1}\leq 0[/TEX]

"Thoạt nhìn" , ta thấy $$\begin{cases} x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x+1)(x^2-x+1) \\ x^2 - 3x + 1 = 2(x^2-x+1)-(x^2+x+1) \end{cases}$$