Toán 9 Tân phương trình và hệ phương trình

[bat.nap.quan.tai.hon.em.lan.cuoi]

2.[tex]\left\{\begin{matrix}y^2=(5x+4)(4-x)\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0\end{matrix}\right.[/tex]
3.[tex]\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=7\\ 2x+\frac{1}{x+y}=3\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}y^2=(5x+4)(4-x)\\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0\end{matrix}\right [/tex][tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2=(5x+4)(4-x)\\ (y-5x-4)(y+x-4)=0\end{matrix}\right.[/tex]

[TEX]\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=7\\ 2x+\frac{1}{x+y}=3\end{matrix}\right [/tex][tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3(a+\frac{1}{a})^2+b^2=13\\ a+\frac{1}{a}+b=3\end{matrix}\right[/TEX]

[TEX](a=x+y; b=x-y)[/TEX]

 

[nhokpq_ine]

Tiếp tục duy trì
[tex]1.(x-2)^4+(x-3)^4=1[/tex]

Dạng : [TEX](x+a)^4+(x+b)^4=c[/TEX]
Cách làm:
Đặt: [TEX]y=x+ \frac{a+b}{2}[/TEX] => pt trùng phương.

 

[mitd]

1.[tex]\left\{\begin{matrix}xy+x+y=x^2-2y\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y)\end{matrix}\right.[/tex]

Sửa lại đề nhé :

[tex]\left\{\begin{matrix}xy+x+y=x^2-2y^2\\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2(x-y)\end{matrix}\right.[/TEX]

DK : [TEX]x\geq1 ; y\geq0[/TEX]

Phân tich [TEX]Pt (1) = x^2-xy-2y^2-(x+y)=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](x+y)(x-2y)-(x+y)=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX](x+y)(x-2y-1)=0[/TEX]

Kết hợp vơi Đk [TEX]\Rightarrow x=2y+1[/TEX]

\Rightarrow THế vo PT (2) giải ................

 

[minhtuyb]

Ừ nhỉ sai đề :-"
Tiếp nào ae :
[tex]1.4x^2+4y-4xy+5y^2+1=0[/tex]
[tex]2.x^4=24x+32[/tex]
[tex]3.4x^4-7x^2-5x-1=0[/tex]
Mấy câu này dễ không

 

[linhhuyenvuong]

Ừ nhỉ sai đề :-"
Tiếp nào ae :
[tex]1.4x^2+4y-4xy+5y^2+1=0[/tex]
[tex]2.x^4=24x+32[/tex]
[tex]3.4x^4-7x^2-5x-1=0[/tex]
Mấy câu này dễ không

1.
[TEX](4x^2-4xy+y^2)+(4y^2+4y+1)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](2x-y)^2+(2y+1)^2=0[/TEX]
....
2,[TEX]x^4=24x+32[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+4x^2+4=4x^2+24x+36[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+2)^2=4(x+3)^2[/TEX]
....

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

chiều nay vừa đc thầy cho bài đóng góp tí cho vui

[TEX]1. a, \left{\begin{\sqrt{1 - 16y^2} - \sqrt{1-16x^2} = 2 (x+y)}\\{x^2 + y^2 + 4xy = \frac{1}{5}}[/TEX]

[TEX]b, \left{\begin{y^2 + \sqrt{3y^2 - 2x + 3} = \frac{2x}{3} + 5}\\{3x - 2y = 5}[/TEX]

[TEX]c, \left{\begin{y + \frac{4}{3} \sqrt{x^2 - 6y + 1}= \frac{x^2 + 17}{6}}\\{\frac{x^2y - 5}{49} = \frac{2}{y} - \frac{12}{x^2} + \frac{4}{9}}[/TEX]

[TEX]d, \left{\begin{(3 + 2\sqrt{2})^x + (1+ \sqrt{2})^y = 4}\\{(3 + 2\sqrt{2})^y + (1 + \sqrt{2})^x = 4}[/TEX]

2. giải và biện luận

[TEX]a, \left{\begin{x + y + \sqrt{xy} = a}\\{x - y= a}[/TEX]

[TEX]b, \left{\begin{x +y+ xy = a^2 +2a}\\{x^4 + y^4 = 2a^4}[/TEX]

3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

[TEX]\left{\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx}\\{x^2 = y^3 - 4y^2 + my}[/TEX]

4. cho x, y,z >0 t/m

[TEX]\left{\begin{x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25}\\{\frac{y^2}{3} + z^2 = 9}\\{z^2 + xz + x^2 = 16}[/TEX]

tính [TEX]A = xy + 2yz + 3xz[/TEX]

5. giải pt ẩn x, y,z

[TEX]\frac{xy}{ay + bx} = \frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + ay} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]

 

[minhtuyb]

3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

[TEX]\left{\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx}\\{x^2 = y^3 - 4y^2 + my}[/TEX]

Đây là hệ pt đối xứng kiểu 2. Giả sử [TEX](x_0;y_0)[/TEX] là 1 nghiệm của hệ thì [TEX](y_0;x_0)[/TEX] cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì [TEX]x_0=y_0[/TEX]. Lúc này hệ có nghiệm [TEX](x_0;x_0)[/TEX], thay vào hệ ta có:
[TEX]x_0^2=x_0^3-4x_0^2+mx_0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x_0^3-5x_0^2+mx_0=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x_0(x_0^2-5x_0+m)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x_0=0}\\{x_0^2-5x_0+m=0(1)}[/TEX]
-Vì hệ đã có nghiệm [TEX](0;0)[/TEX] nên để hệ có nghiệm duy nhất thì pt (1), hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX]
*TH 1: (1) vô nghiệm khi:
[TEX]\Delta =25-4m<0\Leftrightarrow m>\frac{25}{4}[/TEX]
*TH 2: (1) có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX]. Dễ thấy điều này không xảy ra, vì tam thức bậc hai có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX] có dạng: [TEX]kx^2=0(k\neq 0)[/TEX]
-Vậy để hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì [TEX] m>\frac{25}{4}[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Đây là hệ pt đối xứng kiểu 2. Giả sử [TEX](x_0;y_0)[/TEX] là 1 nghiệm của hệ thì [TEX](y_0;x_0)[/TEX] cũng là nghiệm của hệ. Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì [TEX]x_0=y_0[/TEX]. Lúc này hệ có nghiệm [TEX](x_0;x_0)[/TEX], thay vào hệ ta có:
[TEX]x_0^2=x_0^3-4x_0^2+mx_0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x_0^3-5x_0^2+mx_0=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x_0(x_0^2-5x_0+m)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x_0=0}\\{x_0^2-5x_0+m=0(1)}[/TEX]
-Vì hệ đã có nghiệm [TEX](0;0)[/TEX] nên để hệ có nghiệm duy nhất thì pt (1), hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX]
*TH 1: (1) vô nghiệm khi:
[TEX]\Delta =25-4m<0\Leftrightarrow m>\frac{25}{4}[/TEX]
*TH 2: (1) có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX]. Dễ thấy điều này không xảy ra, vì tam thức bậc hai có nghiệm kép [TEX]x_1=x_2=0[/TEX] có dạng: [TEX]kx^2=0(k\neq 0)[/TEX]
-Vậy để hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì [TEX] m>\frac{25}{4}[/TEX]

bạn mới xét có điều kiện cần còn thiếu đk đủ nữa vì trong một số bài sẽ ko có m thỏa mãn

* ĐK đủ: Với [TEX]m > \frac{25}{4}[/TEX]

[TEX]\left{\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx (1)}\\{x^2 = y^3 - 4y^3 + my(2)}[/TEX]

[TEX]\left{\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx )}\\{(x-y)(x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y + m) = 0 }[/TEX]

[TEX]\left[\begin {\left{(II)\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx }\\{x - y = 0 }\\(III){\left{\begin{y^2 = x^3 - 4x^2 + mx }\\{x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y + m = 0 }[/TEX]

DDCM (II) có nghiệm là x = y = 0
(III) vô nghiệm

kết hợp cả đk cần như của minhtuyb rồi kết luận

[TEX]c, \left{\begin{y + \frac{4}{3} \sqrt{x^2 - 6y + 1} = \frac{x^2 + 17}{6} (1)}\\{\frac{x^2y - 5}{49} = \frac{2}{y} - \frac{12}{x^2} + \frac{4}{9}(2)}[/TEX]

[TEX]Dat \sqrt{x^2 - 6y +1} = t[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \frac{t^2}{6} - \frac{4t}{3} + \frac{8}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x^2 = 15 + 6y[/TEX] thay vào (2) .................

 

[minhtuyb]

\frac{xy}{ay + bx} = \frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + ay} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]

Quên mất điều kiện đủ bài trên . Bài này mình xin sửa lại đề một chút cho nó đối xứng:
[TEX]\frac{xy}{ay + bx} = \frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + az} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}(1)[/TEX]

-Dễ thấy [TEX]x,y,z\neq 0[/TEX]
Có:
[TEX]\frac{xy}{ay + bx} = \frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + az}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{xyz}{ayz + bxz} = \frac{yzx}{bxz + cxy} = \frac{zxy}{cxy + ayz}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ayz + bxz=bxz + cxy=cxy + ayz[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}ayz + bxz=bxz + cxy\\ ayz + bxz=cxy + ayz\\ bxz + cxy=cxy + ayz\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}ayz=cxy\\ bxz=cxy \\ bxz = ayz\end{matrix}\right.\Rightarrow (I)\left\{\begin{matrix}az=cx\\ bz=cy \\ bx = ay\end{matrix}\right.[/TEX]
-Thay (I) vào (1) có:
[TEX]\frac{xy}{2ay} = \frac{yz}{2bz } = \frac{zx}{2cx}=\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]
[TEX][/B] [B]\Rightarrow \frac{x}{2a} = \frac{y}{2b } = \frac{z}{2c}=\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}(2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^2}{4a^2} = \frac{y^2}{4b^2 } = \frac{z^2}{4c^2}=\frac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{(a^2 + b^2 + c^2)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}=\frac{1}{4}(3)[/TEX]
-Thế (3) vào (2):
[TEX]\frac{x}{2a} = \frac{y}{2b } = \frac{z}{2c}=\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{b}{2}\\ z=\frac{c}{2}\end{matrix}\right.[/TEX]
Mong bài này không bỏ sót cài gì :-S

 

[linhhuyenvuong]

1 bài cũng khá hay nhưng không khó.
[TEX] -x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}-3=0[/TEX]

 

[wagashi.13]

1 bài cũng khá hay nhưng không khó.
[TEX] -x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}-3=0[/TEX]

[TEX]4\sqrt[4]{2-x^4} \leq -x^4+5[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4( -x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}-3) \leq -x^4-4x^2+12x-7 \Leftrightarrow 0 \leq -(x^2-1)^2-6(x-1)^2[/TEX]

[TEX]"=" \Leftrightarrow x=1[/TEX]

 

[minhtuyb]

[tex]1/x^2-3x+\frac{7}{2}=\sqrt{x^4-6x^3+15x^2-18x+10}[/tex]
[tex]2/(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4[/tex]
[tex]3/ (x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)=32xyz[/tex]
[tex]4/ \frac{x^3+1}{2}=\sqrt[3]{2x-1}[/tex]

 

[linhhuyenvuong]

[tex]2/(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4[/tex]
[tex]3/ (x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)=32xyz[/tex]
[tex]4/ \frac{x^3+1}{2}=\sqrt[3]{2x-1}[/tex]

2,[TEX](\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4[/TEX]

[TEX]](\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=a ;(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=b[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left{\begin{a+b=4}\\{ab=1} [/TEX]
....
3,
[TEX]x^2+1 \geq2x;y^2+2 \geq2\sqrt{2}y; z^2+8 \geq 4\sqrt{2}z[/TEX]
\Rightarrow[TEX](x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)\geq32xyz[/TEX]
''='' .......
4,
[TEX]\sqrt[3]{2x-1}=t \Rightarrow t^3=2x-1[/TEX]

[TEX]\left{\begin{x^3+1=2t}\\{t^3+1=2x} [/TEX]
....

 

[minhtuyb]

Bình tĩnh bạn, chưa kiếm đề kịp @-)
[TEX]1/\left\{\begin{matrix}x^{19}+y^5=2012z+z^{2011}\\ y^{19}+z^5=2012x+x^{2011}\\ z^{19}+x^5=2012y+y^{2011}\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]2/(x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x^2[/TEX]
[TEX]3/x(x^2-1)=\sqrt{2}[/TEX]
P/s: Vừa kiếm đc nguồn đề mới, tha hồ cho ae làm :khi (25)::khi (25)::khi (25):
Thêm 1 hệ

[tex]4/\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\\ xy+yz+zx=-\frac{3}{4}\\ xyz=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.[/tex]

 

[linhhuyenvuong]

Bình tĩnh bạn, chưa kiếm đề kịp @-)
[TEX]2/(x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x^2[/TEX]
[TEX]3/x(x^2-1)=\sqrt{2}[/TEX]

2,
[TEX](x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x^2 [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+17x-630)(x^2+83x-630)=2001x^2(1)[/TEX]
x=0 ko là nghiệm

\Rightarrow[TEX](1) \Leftrightarrow (x+17-\frac{630}{x})(x+83-\frac{630}{x})=2001 (2)[/TEX]

[TEX]x-\frac{630}{x}=y[/TEX]

\Rightarrow[TEX](2) \Leftrightarrow (y+17)(y+83)=2001[/TEX]
....
3,
[TEX]x(x^2-1)=\sqrt{2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^3-x-\sqrt{2}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^3-2\sqrt{2}-x+\sqrt{2}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}x+1)=0[/TEX]
....

 

[l0vely_heart]

Tìm các bộ số nguyên :
[TEX]\left{\begin{y^3=x^3 + 2x^2 + 1}\\{xy=z^2 + 2} [/TEX]
Giải hệ
[TEX]\left{\begin{x-2\sqrt{y+1}=3}\\{x^3 - 4x^2\sqrt{y+1}-9x - 8y = -52 - 4xy} [/TEX]

 

[lan_phuong_000]

[TEX]\sqrt{1+1999^2+\frac{1999^2}{2000^2}}+\frac{1999}{2000}[/TEX]

 

[minhtuyb]

[TEX]\sqrt{1+1999^2+\frac{1999^2}{2000^2}}+\frac{1999}{2000}[/TEX]

Đây không phải là pt nhé, lần sau bạn chú ý
Áp dụng c/thức [TEX]\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}|[/TEX] (Dễ dàng cm bằng cách biến đổi tương đương) với [TEX]a=1;b=\frac{1}{1999}[/TEX] thì tính được ngay giá trị b/thức đã cho là 2000

 

[thienlong_cuong]

Bình tĩnh bạn, chưa kiếm đề kịp @-)
[TEX]1/\left\{\begin{matrix}x^{19}+y^5=2012z+z^{2011}\\ y^{19}+z^5=2012x+x^{2011}\\ z^{19}+x^5=2012y+y^{2011}\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]2/(x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x^2[/TEX]
[TEX]3/x(x^2-1)=\sqrt{2}[/TEX]
P/s: Vừa kiếm đc nguồn đề mới, tha hồ cho ae làm :khi (25)::khi (25)::khi (25):
Thêm 1 hệ

[tex]4/\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\\ xy+yz+zx=-\frac{3}{4}\\ xyz=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.[/tex]

Bài 1 cho số dương cho dễ chơi nha ! Chứ nó âm ra thì lằng nhằng (do các số mũ đều là số lẻ nên cũng ko mấy khác nhau giữa âm và dương)
Để tiện cho hấn dương (âm ngược lại)

Giả sử [TEX]x \geq y \geq z[/TEX]

Khi đó rõ ràng rằng
[TEX]x^{19} + y^{5} \geq y^{19} + z^{5}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2012z + z^{2012} \geq 2012x + x^{2012}[/TEX]

Mà theo điều giải sử thì buộc lòng

[TEX]\Leftrightarrow 2012z + z^{2012} \leq 2012x + x^{2012}[/TEX]

Vậy bắt buộc x = z , ! thay vô dô ta nào !
Tới đó mình dừng thôi chớ nhác lắm !

Thêm 1 hệ

[tex]4/\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\\ xy+yz+zx=-\frac{3}{4}\\ xyz=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.[/tex]

Hệ 2 ni tìm ra cái lão x + y + z = 0 thì chém tan tác
Bài cùn nhưng cụng đc : thay -(x + y) = z

 

[l0vely_heart]

Giải hệ
[TEX]\left{\begin{x-2\sqrt{y+1}=3}\\{x^3 - 4x^2\sqrt{y+1}-9x - 8y = -52 - 4xy} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{2x^2 + 3xy=3y - 13}\\{3y^2 + 2xy =2x + 11} [/TEX]
Ai giúp mình.....