[Toán 12]-1 số bài logarit- hàm số mũ

[yenngocthu]

[TEX]1,[/TEX]giải hệ:
[TEX]\red \left{e^x-e^{x-y}=y\\e^y-e^{y-z}=z\\e^z-e^{z-x}=x[/TEX]
[TEX]2,[/TEX]
[TEX]\blue \left{x>0,y<1\\e^{x^3+x^2+x+1}+ln\frac xy=e^{y^3+y^2+y+1}\\64.x^6-96.y^4+36.x^2-3=0[/TEX]
[TEX]3,[/TEX]
[TEX]\red \left{cosx=log_2(8.cosz-cos2x-5)\\cosy=log_2(8.cosx-cos2y-5)\\cosz=log_2(8.cosy-cos2z-5)[/TEX]
[TEX]4,[/TEX]
[TEX]\blue 2^x+2^{x+1}\leq 3^x+3^{x-1}[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

[TEX]4,[/TEX]
[TEX]\blue 2^x+2^{x+1}\leq 3^x+3^{x-1}[/TEX]

BPT [TEX]\Leftrightarrow 2^x+2.2^x \leq 3^x+\frac13 .3^x\Leftrightarrow 3.2^x \leq \frac43 3^x[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (\frac23)^x \leq \frac49 \Leftrightarrow x\leq 2[/TEX]

2
[TEX]\blue \left{x>0,y<1\\e^{x^3+x^2+x+1}+ln\frac xy=e^{y^3+y^2+y+1}\\64.x^6-96.y^4+36.x^2-3=0[/TEX]

ĐK: y>0. Khi đó từ PT 1 ta có [TEX]e^{x^3+x^2+x+1}+lnx=e^{y^3+y^2+y+1}+lny[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(t)=e^{t^3+t^2+t+1}+lnt[/TEX] với t>0.

[TEX]f'(t)=(3t^2+2t+1).e^{t^3+t^2+t+1}+\frac{1}{t}>0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(t)[/TEX] đồng biến trên (0;+\infty). Mà f(x)=f(y) \Rightarrow x=y.

Thay xuống PT dưới ta có [TEX]64x^6-96x^4+36x^2-3=0[/TEX]

Ta có [TEX]x \in (0;1)[/TEX]. Đặt [TEX]x=cost[/TEX] [TEX](t\in(0;\frac{\pi}{2}))[/TEX] ta có PT

[TEX]64cos^6t-96cos^4t+36cos^2t-3=0[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow 2(32cos^6t-48cos^4t+18cos^2t-1)-1=0 \Leftrightarrow 2cos6t-1=0[/TEX]

Do [TEX]t \in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX] nên t chỉ nhận các giá trị trong tập hợp [TEX]{\frac{\pi}{18};\frac{5\pi}{18};\frac{7\pi}{18}}[/TEX]

Do đó hệ có nghiệm [TEX]x=y={cos{\frac{\pi}{18}};cos{\frac{5\pi}{18}};cos{\frac{7\pi}{18}}}[/TEX]

 

[quang1234554321]

[TEX] [TEX]3,[/TEX]
[TEX]\red \left{cosx=log_2(8.cosz-cos2x-5)\\cosy=log_2(8.cosx-cos2y-5)\\cosz=log_2(8.cosy-cos2z-5)[/TEX]
[TEX]4,[/TEX]
[TEX]\blue 2^x+2^{x+1}\leq 3^x+3^{x-1}[/TEX]

Maths'solution

[TEX]$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}cosx = lo{g_2}(8cosz - cos2x - 5) \\\cos z = lo{g_2}(8cosy - cos2z - 5) \\cosy = lo{g_2}(8cosx - cos2y - 5) \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + \cos 2y + 5 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + \cos 2z + 5 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + \cos 2x + 5 \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + 2{\cos ^2}y + 4 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + 2{\cos ^2}y + 4 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}8a = {2^b} + 2{b^2} + 4 \\8b = {2^c} + 2{c^2} + 4 \\8c = {2^a} + 2{a^2} + 4 \\\end{array} \right. \\f(t) = {2^t} + 2{t^2} + 4;t \in (\frac{1}{2};1] \\f'(t) = {2^t}\ln 2 + 4t > 0\forall t \in (\frac{1}{2};1] \\\end{array}$[/TEX]
Vai trò [TEX]a,b,c[/TEX] như nhau

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]


Xét hàm [tex]f(t) = 2^t + 2t^2 +4 ; g(t) = 8t[/tex] ,

hai hàm này đồng biến trên [tex](\frac{1}{2} ; 1][/tex] . Khi đó hệ trở thành [tex]\begin{array} f(b) = g(a) \\f(c) = g(b) \\f(a) = g(c) \end{array}[/tex] .

Giả sử [TEX]a = max{a ; b ; c}[/TEX] thế thì [tex]a \geq b[/tex] ; [tex]a \geq c[/tex]

Từ [tex]a \ge b \Rightarrow f(a) \ge f(b) \Rightarrow g(c) \ge g(a) \Rightarrow c \ge a (*) [/tex], cùng với [tex]a \geq c [/tex] suy ra a = c và dĩ nhiên lúc này loạt BDT (*) có dấu đẳng thức , thành thử a = b = c , quay lại hệ được PT

[tex]t(a) = 2^a +2a^2 - 8a + 4 = 0[/tex] , hàm t(a) có [tex]t'(a) = 2^aln2 + 4a - 8 \le 2ln2 - 4 < 0 , \forall a \in (\frac{1}{2} ; 1][/tex] , suy ra hàm t(a) nghịch biến trên [TEX](1/2 ; 1][/TEX] mà [TEX]f(1) = 0[/TEX] nên PT [TEX]t(a) = 0[/TEX] có nghiệm duy nhất[TEX] a = 1[/TEX] .
Đến đây bài toán kết thúc được rồi

p/s : Đây là lời giải của giaythuytinh176 bên maths.vn

 

[taodo_lovely]

Maths'solution

[TEX]$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}cosx = lo{g_2}(8cosz - cos2x - 5) \\\cos z = lo{g_2}(8cosy - cos2z - 5) \\cosy = lo{g_2}(8cosx - cos2y - 5) \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + \cos 2y + 5 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + \cos 2z + 5 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + \cos 2x + 5 \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + 2{\cos ^2}y + 4 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\cos x = {2^{\cos y}} + 2{\cos ^2}y + 4 \\8\cos y = {2^{\cos z}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\8\cos z = {2^{\cos x}} + 2{\cos ^2}z + 4 \\\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}8a = {2^b} + 2{b^2} + 4 \\8b = {2^c} + 2{c^2} + 4 \\8c = {2^a} + 2{a^2} + 4 \\\end{array} \right. \\f(t) = {2^t} + 2{t^2} + 4;t \in (\frac{1}{2};1] \\f'(t) = {2^t}\ln 2 + 4t > 0\forall t \in (\frac{1}{2};1] \\\end{array}$[/TEX]

cám ơn cậu đã trích dẫn nhưng cũng nên trích dẫn cho đúng chứ
bài này phần đầu do giaythuytinh176 làm nhưng đoạn sau do thầy dobachu làm đấy chứ

Vai trò [TEX]a,b,c[/TEX] như nhau

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]


Xét hàm [tex]f(t) = 2^t + 2t^2 +4 ; g(t) = 8t[/tex] ,

hai hàm này đồng biến trên [tex](\frac{1}{2} ; 1][/tex] . Khi đó hệ trở thành [tex]\begin{array} f(b) = g(a) \\f(c) = g(b) \\f(a) = g(c) \end{array}[/tex] .

Giả sử [TEX]a = max{a ; b ; c}[/TEX] thế thì [tex]a \geq b[/tex] ; [tex]a \geq c[/tex]

Từ [tex]a \ge b \Rightarrow f(a) \ge f(b) \Rightarrow g(c) \ge g(a) \Rightarrow c \ge a (*) [/tex], cùng với [tex]a \geq c [/tex] suy ra a = c và dĩ nhiên lúc này loạt BDT (*) có dấu đẳng thức , thành thử a = b = c , quay lại hệ được PT

[tex]t(a) = 2^a +2a^2 - 8a + 4 = 0[/tex] , hàm t(a) có [tex]t'(a) = 2^aln2 + 4a - 8 \le 2ln2 - 4 < 0 , \forall a \in (\frac{1}{2} ; 1][/tex] , suy ra hàm t(a) nghịch biến trên [TEX](1/2 ; 1][/TEX] mà [TEX]f(1) = 0[/TEX] nên PT [TEX]t(a) = 0[/TEX] có nghiệm duy nhất[TEX] a = 1[/TEX] .
Đến đây bài toán kết thúc được rồi

p/s : Đây là lời giải của giaythuytinh176 bên maths.vn

 

[taodo_lovely]

mấy bài tiếp này

 

[anh2612]

Cho mình hỏi

Bài này làm thế nào nhỉ?

[TEX]x(log5-1) =log(2^x +1)-log6[/TEX]


[TEX](1 + \frac{1}{2x})log 3+log2 =log (27-3^{\frac{1}{x}})[/TEX]

Mình đnag cần gấp

Bế tắc ​

 

[hocmai.toanhoc]

Bài này làm thế nào nhỉ?

[TEX]x(log5-1) =log(2^x +1)-log6 (1)[/TEX]

Mình đnag cần gấp

Bế tắc ​

[TEX](1) \Leftrightarrow x.log \frac{5}{10} = log \frac{2^x+1}{6}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\frac{1}{2})^x = \frac{2^x+1}{6}[/TEX]

Đến đây đơn giản rồi

 

[hocmai.toanhoc]

Bài này làm thế nào nhỉ?
[TEX](1 + \frac{1}{2x})log 3+log2 =log (27-3^{\frac{1}{x}})[/TEX](2)
Mình đnag cần gấp

Bế tắc ​

Bài này làm cũng tương tự bài trên . Đây là những bài cơ bản về mũ và loga .

[TEX](2) \Leftrightarrow 2.3^{1+\frac{1}{2x}} = 27-3^{\frac{1}{x}[/TEX]

Đặt [TEX]3^{\frac{1}{x}}=t > 0[/TEX] và tiếp tục giải

 

[thong1990nd]

Bài này làm thế nào nhỉ?


[TEX](1 + \frac{1}{2x})log 3+log2 =log (27-3^{\frac{1}{x}})[/TEX]

Mình đnag cần gấp

Bế tắc ​

\Leftrightarrow [TEX](1+\frac{1}{2x})log3=log (27-3^{\frac{1}{x}})-log2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]log3^{1+\frac{1}{2x}}=log\frac{27-3^{\frac{1}{x}}}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2.3^{1+\frac{1}{2x}}=27-3^{\frac{1}{x}}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2.3.3^{\frac{1}{2x}}=27-3^{\frac{1}{x}}[/TEX] p)
đặt [TEX]t=3^{\frac{1}{2x}}[/TEX] nên p) \Leftrightarrow [TEX]t^2+6t-27=0[/TEX] đến đây đơn giản rùi
giải 1 câu ở trên
[TEX]2^{2\sqrt[]{x+3}-x}-5.2^{\sqrt[]{x+3}-1}+2^{x+4}=0[/TEX]
đặt [TEX]t=2^{\sqrt[]{x+3}}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{t^2}{2^x}-\frac{5}{2}t+16.2^x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2t^2-5.2^x.t+32.2^{2x}=0[/TEX]
có delta [TEX]=25.2^{2x}-256.2^{2x}<0[/TEX] \Rightarrow [TEX]PTVN[/TEX]

 

[anh2612]

Bài này nữa...Giúp mình

[TEX]\left{\begin{3^{logx}=4^{logy}}\\{(4x)^{log4}=(3y)^{log3}} [/tex]

Làm như thế này có đúng ko?8-|8-|

[TEX]x,y>0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{logxlog3=logylog4}\\{log4log(4x)=log3log(3y)}[/TEX]

Bạn nào làm tiếp hộc mình cái

Nhân tiện cho mình hỏi [TEX]/A.B/ [/TEX]có bằng[TEX] /A//B/[/TEX] không nhỉ ?b-(

 

[thong1990nd]

[TEX]\left{\begin{3^{logx}=4^{logy}}\\{(4x)^{log4}=(3y)^{log3}} [/tex]

Làm như thế này có đúng ko?8-|8-|

[TEX]x,y>0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{logxlog3=logylog4}\\{log4log(4x)=log3log(3y)}[/TEX]

Bạn nào làm tiếp hộc mình cái

Nhân tiện cho mình hỏi [TEX]/A.B/ [/TEX]có bằng [TEX]/A/./B/ [/TEX]không nhỉ ?b-(

đúng rồi đó
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{logx=\frac{logylog4}{log3}}\\{log4(log4+logx)=log3(log3+logy)}[/TEX]
thế PT 1 vào PT 2 của hệ có
[TEX]log4(log4+\frac{logylog4}{log3})=log3(log3+logy)[/TEX] (*)
từ (*) giải ra y \Rightarrow x
[TEX]/A.B/ [/TEX]=[TEX]/A/./B/ [/TEX] vì đều là số dương

 

[taodo_lovely]

mời các pro thử sức với bài này!!

[TEX]4.x^2+3^{\sqrt x}.x+3^{1+\sqrt x}<2.3^{\sqrt x}.x^2+2x+6[/TEX]
&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-

 

[anhdung12]

Bài này chuyển hết sang 1 vế rồi giải theo cách bt cũng ra mà
bpt [TEX]\Leftrightarrow {(2-3^{\sqrt{x}})(-2x^2+x+3)>0}\Leftrightarrow {(3^{\sqrt{x}}-2)(x+1)(2x-3)>0 [/TEX] đến đây là ra rồi
[tex]0=<x<log_2(3)[/tex] va 1,5<x

 

[anhdung12]

giải zùm: [TEX]2^{x+1}-2^{x^2+x-1}=x^2-2[/TEX]
@-)@-)

 

[vivietnam]

giải zùm: [TEX]2^{x+1}-2^{x^2+x-1}=x^2-2[/TEX]
@-)@-)

\Leftrightarrow[TEX]2^{x+1}-2^{x^2+x-1}=(x^2+x-1)-(x+1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2^{x+1}+(x+1)=2^{x^2+x-1}+(x^2+x-1)[/TEX]
[TEX]f(t)=2^t+t\Rightarrow f(t)'=2^t.ln2+1>0 [/TEX]
\Rightarrowf(t) DB \Rightarrow[TEX]f(x+1)=f(x^2+x-1)\Leftrightarrow x+1=x^2+x-1\Leftrightarrow x^2=2[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x=\sqrt{2}}\\{x = -\sqrt{2}} [/TEX]

 

[chjkuku_baby]

Mọi ng` ơi giải mấy bài này giùm mih` đi
1.CMR: [TEX]1-x \leq e^{-x}\leq 1- x + \frac{x^2}{2 }[/TEX] với mọi x thuộc [0,1]
2.Cho hàm số : [tex]\frac{1}{1+x+lnx}[/tex]
CMR: xy'=[TEX]y^2 lnx - y[/TEX]
3.Cho h/so: y=[TEX]e^{4x} sin{2x}[/TEX]
CMR: y''+20y=8y'
Mọi ng` giúp mih` nha

 

[doigiaythuytinh]

Mọi ng` ơi giải mấy bài này giùm mih` đi
1.CMR: 1-x <= [TEX]e^{-x}<= 1- x + x^2/2 [/TEX] với mọi x thuộc [0,1]
2.Cho hàm số : [TEX]y = 1/{1+x+lnx}[/TEX]
CMR: xy'=[TEX]y^2 lnx - y[/TEX]
3.Cho h/so: y=[TEX]e^{4x} sin{2x}[/TEX]
CMR: y''+20y=8y'
Mọi ng` giúp mih` nha

Bài 1: Dùng đạo hàm
Xét đạo hàm của các hàm số
[TEX]f = e^{-x }+ x - 1[/TEX] --> [TEX]f[/TEX] đồng biến
và [TEX]g = e^{-x}+ x - \frac{x^2}{2} -1[/TEX] ---> [TEX]g[/TEX] nghịch biến

Bài 2 + 3: bạn tính đạo hàm bậc 1 & 2 của y là đc thôi

 

[chjkuku_baby]

Bạn chỉ rõ cho mih` hiểu với nhất la` bài 1 đó dùng đạo hàm thế nao`

 

[chjkuku_baby]

Con` bài này nữa nak`
Tính đạo hàm
[TEX]y=\frac{{(x-1)}^2{(x-2)}^3}{{{(x+3}^4{(x+4)}^5} [/TEX]

 

[chjkuku_baby]

Bài 1: Dùng đạo hàm
Xét đạo hàm của các hàm số
[TEX]f = e^{-x }+ x - 1[/TEX] --> [TEX]f[/TEX] đồng biến
và [TEX]g = e^{-x}+ x - \frac{x^2}{2} -1[/TEX] ---> [TEX]g[/TEX] nghịch biến

Bài 2 + 3: bạn tính đạo hàm bậc 1 & 2 của y là đc thôi

mih` ko có hiểu chôc nay` bạn giảng cho mih` với
[TEX]g = e^{-x}+ x - \frac{x^2}{2} -1[/TEX] ---> [TEX]g[/TEX] nghịch biến