[TOPIC] Hàm liên tục & đạo hàm

[bigbang195]

chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất (không giải, chỉ áp dụng hs liên tục )

liên hợp lên thì -3 không phải là nghiệm nên:

[TEX]\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}-9=0[/TEX]

chọn x "vừa vừa" là pt kia có nghiệm mặt khác nó lại đồng biến.

 

[tamcat]

Chứng minh pt sau có nghiệm với mọi giá tri của m:
1, [TEX](1-m^2)(x+1)^3 +x^2-x-3=0[/TEX]
2.[TEX]m(2cosx - sqrt{2}) =2sin5x+1[/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

Tính đạo hàm :

=))

[TEX]sinx^{cos x} = e^{ln sinx ^cos x} = e^{cos x. ln sinx}[/TEX] (dạng cơ bản rồi nhểy ))

 

[utit_9x]

Chứng minh pt sau có nghiệm với mọi giá tri của m:
1, [TEX](1-m^2)(x+1)^3 +x^2-x-3=0[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow (1-{m}^{2}){x}^{3}+(4-3{m}^{2}){x}^{2}+(2-3{m}^{2})x-(2+{m}^{2})=0=f(x)[/TEX]
Đặt [TEX]{m}^{2} = t (t\geq 0)[/TEX]
PT được viết lại như sau:
[TEX](1-t){x}^{3}+(4-3t){x}^{2}+(2-3t)x-(2+t)=0[/TEX]
TH1: t=1 thì thay vào có pt bậc 2 có nghiệm ==> PT có nghiệm
TH2: [TEX]t\neq 1[/TEX]
[TEX]{f}^{'}(x)=3(1-t){x}^{2}+2(4-3t)x+(2-3t)[/TEX]
Xét f'(x) có [TEX]\Delta >0 [/TEX] và 3(1-t) > 0
==> f'(x) >0 ==> f(x) đồng biến ==> pt luôn có nghiệm ~!

[TEX]PT \Leftrightarrow (1-{m}^{2}){x}^{3}+(4-3{m}^{2}){x}^{2}+(2-3{m}^{2})x-(2+{m}^{2})=0=f(x)[/TEX]
Đặt [TEX]{m}^{2} = t (t\geq 0)[/TEX]
PT được viết lại như sau:
[TEX](1-t){x}^{3}+(4-3t){x}^{2}+(2-3t)x-(2+t)=0[/TEX]
TH1: t=1 thì thay vào có pt bậc 2 có nghiệm ==> PT có nghiệm
TH2: [TEX]t\neq 1[/TEX]
[TEX]{f}^{'}(x)=3(1-t){x}^{2}+2(4-3t)x+(2-3t)[/TEX]
Xét f'(x) có [TEX]\Delta >0 [/TEX] và 3(1-t) > 0
==> f'(x) >0 ==> f(x) đồng biến ==> pt luôn có nghiệm ~!

Hình như pt bậc 3 nào cũng có ít nhất 1 nghiệm nhỉ ????

Uh bạn tham khảo phía trang trước ý

 

[miss_kool]

CMR pt sau luôn có nghiệm mọi m
$$(9-5m)x^5 +(m^2 -1)x^4 -1=0$$

 

[duynhan1]

CMR pt sau luôn có nghiệm mọi m
$$(9-5m)x^5 +(m^2 -1)x^4 -1=0$$

Phương trình bậc lẻ luôn có ít nhất 1 nghiệm.

Cách chứng minh bạn xem ở trang trước.
Xét :

• [TEX]9-5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac95 [/TEX], thay vào thì tìm được nghiệm
• [TEX]9-5m \not= 0 \Leftrightarrow m \not= \frac95[/TEX], đây là phương trình bậc 5 nên có ít nhất 1 nghiệm
  

 

[herrycuong_boy94]

Tìm f(x)

 

[duynhan1]

Cho [TEX]\frac{a}{7} + \frac{b}{5} + \frac{c}{3} = 0 [/TEX].

Chứng minh phương trình : [TEX]ax^4 + bx^2 + c = 0 [/TEX] có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1).

2 cách.

 

[giaosu_fanting_thientai]

Tìm f(x)

Từ pt đầu --->[TEX] [x^3f'(x)]'=-1 \Leftrightarrow x^3f'(x)=-x+a \Leftrightarrow f'(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{a}{x^3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{2x^2}+b[/TEX]

Kết hợp [TEX]f(1)=1;f(-2)=-1 \Rightarrow a=\frac{-4}{3}; b=\frac{-2}{3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{3}[/TEX]

x khác 0 nữa.

(

 

[giaosu_fanting_thientai]

Cách 1:
bt tương đương chứng minh pt [TEX]at^2+bt+c=0[/TEX] có ít nhất 1 nghiệm [TEX]\in(0;1)[/TEX]

Xét hàm số[TEX] f(t)=at^2+bt+c[/TEX]
[TEX]f(\frac{5}{7})=\frac{a5^2}{7^2}+\frac{5b}{7}+c[/TEX]

[TEX] \frac{a}{7}+\frac{b}{5}+\frac{c}{3} = \frac{7}{5^2}(\frac{a5^2}{7^2}+\frac{5b}{7}+c) + c (\frac {1}{3}-\frac{7}{5^2})=\frac{7}{5^2}f(\frac{5}{7})+\frac{4c}{75}=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(\frac{5}{7})=-\frac{4}{21}c=-\frac{4}{21}f(0)[/TEX]

xét 2 trường hợp c=0 và c khác 0 rồi kết luận pt có ít nhất 1 nghiệm [TEX]\in(0;\frac{5}{7})[/TEX]
nên pt có ít nhất 1 nghiệm[TEX]\in(0;1)[/TEX]

Cách 2:

Xét hs:[TEX] f(x)=\frac{ax^7}{7}+\frac{bx^5}{5}+\frac{cx^3}{3}[/TEX]

có f(1)=f(0)=0

hs liên tục và có đạo hàm trên [0;1] tồn tại[TEX] x_0\in(0;1)[/TEX] sao cho [TEX]f'(x_0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow ax_0^6+bx_0^4+cx_0^2=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x_0^2(ax_0^4+bx_0^2+c)=0[/TEX]

[TEX]\red \Leftrightarrow ax_0^4+bx_0^2+c = 0 [/TEX](Do [TEX]\red x_o \not= 0 [/TEX] )

[TEX]\Rightarrow ax_0^4+bx_0^2+c =0[/TEX] có nghiệm[TEX] \in(0;1)[/TEX]
pt trùng phương có nghiệm dương khác 0 nên sẽ có 1 nghiệm âm là số đối với nó

có ít nhất 2 nghiệm.

I think so.

 

[duynhan1]

Một số bài toán về phương trình tiếp tuyến.

1. Cho đường cong [TEX](C):x^3 -2x^2+8x+5[/TEX]. Chứng minh không có bất kỳ 2 tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.
2. Cho đường cong [TEX](C): y=x^3-3x^2+1[/TEX]. Chứng minh rằng trên (C) tồn tại vô số cặp điểm mà 2 tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau. Mọi đường thẳng nối từng cặp điểm trên luôn đi qua một điểm cố định (1;-1)

 

[linh030294]

(*) Tớ nghĩ câu 2 bạn có thể gợi ý một tí được không

 

[linh030294]

1 . Cho đường cong$$(C):x^3 -2x^2+8x+5$$. Chứng minh không có bất kỳ 2 tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.
(*)Trả lời :
Ta có : $$y' = 3x^2 - 4x + 8$$
Giả sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự là x_A , x_B , thuộc đồ thị , ta có :
* Hệ số góc của tiếp tuyến A, B có giá trị là : $$y'(x_A) ; y'(x_B)$$ .
* Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
$$<=> y'(x_A). y'(x_B) = -1 <=> (3{x_A}^2 - 4x_A + 8)(3{x_B}^2 - 4x_B + 8) = -1$$
$$=>$$ Bạn phân tích $$(3{x_A}^2 - 4x_A + 8)(3{x_B}^2 - 4x_B + 8)$$ khác -1
$$=> dpcm$$

 

[bonoxofut]

1. Cho đường cong [TEX](C):x^3 -2x^2+8x+5[/TEX]. Chứng minh không có bất kỳ 2 tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.
2. Cho đường cong [TEX](C): y=x^3-3x^2+1[/TEX]. Chứng minh rằng trên (C) tồn tại vô số cặp điểm mà 2 tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau. Mọi đường thẳng nối từng cặp điểm trên luôn đi qua một điểm cố định (1;-1)

1. Khi nói đến sự vuông góc của 2 đường thẳng thì ta nghĩ đến tích hệ số góc bằng -1. Mà khi nói đến hệ số góc, thì ta lại nghĩ đến đạo hàm.

Ta có:

Nghĩa là không có điểm nào trên độ thị của hàm số trên, mà tại đó có tiếp tuyến với hệ số góc âm. Nghĩa là không thể có 2 tiếp tuyến nào vuông góc nhau. Vì muốn tích 2 hệ số góc là -1, thì phải có 2 hệ số góc trái dấu nhau.

2. Đạo hàm của 1 hàm số bậc 3 theo x sẽ làm 1 hàm số bậc 2 theo x, nghĩa là đồ thị của đạo hàm một hàm bậc 3 sẽ là 1 parabol. Parabol này phải có 1 trục đối xứng, tạm gọi trục đó là x = c.

Như vậy, tại 2 điểm bất kỳ của một hàm bậc 3 mà tiếp tuyến của chúng song song với nhau, hay nói cách khác đạo hàm tại 2 điểm đó là bằng nhau, thì chắc chắc rằng hoành độ của 2 điểm này phải đối xứng qua c.

Trong bài này ta sẽ cố gắng chứng minh rằng điểm cố định đó chính là điểm uốn (điểm có đạo hàm cấp 2 bằng 0) của đồ thị.
​

 

[duynhan1]

2. Cho đường cong [TEX](C): y=x^3-3x^2+1[/TEX]. Chứng minh rằng trên (C) tồn tại vô số cặp điểm mà 2 tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau. Mọi đường thẳng nối từng cặp điểm trên luôn đi qua một điểm cố định (1;-1)

2. $$y' = 3x^2 - 6x$$.

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Nên ta có yêu cầu bài toán tương đương với: Chứng minh tồn tại vô số k sao cho các phương trình :
$$3x^2- 6x =k$$ có 2 nghiệm phân biệt.
[TEX]\Leftrightarrow \Delta' = 9 + 3k>0 \Leftrightarrow k>-3 (dpcm) [/TEX]

b. Giả sử tiếp tuyến đi qua 2 điểm cố định có hệ số góc là k>-3, tọa độ $$x1, x2(x1\not = x_2)$$. Ta có : x1, x2 là nghiệm của phương trình

[TEX]3x^2 - 6x - k = 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ x_1+x_2 = 2 \\ 3. x_1.x_2 = -k[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y_1 - y_2 = x_1^3 - x_2^3 - 3(x_1^2-x_2^2) \\= (x_1-x_2)(x_1^2 + x_2^2 + x_1.x_2 - 3( x_1+x_2) ) \\ = ( x_1 - x_2) ( (x_1+x_2)^2 - x_1.x_2 -6) \\ = (x_2-x_1)(2+x_1.x_2) [/TEX]

Phương trình đi qua 2 điểm [TEX]x_1, x_2 [/TEX] có dạng :

[TEX](\Delta) : (y_1-y_2) (x-x_1) - (x_1-x_2) (y-y_1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x_2-x_1)(2+x_1.x_2) (x-x_1) + (x_2-x_1)(y-y_1) = 0 \\ \Leftrightarrow (2+x_1.(2-x_1))(x-x_1) + y- (x_1^3-3x_1^2+1) = 0 (\ do x_1 \not= x_2) \\ \Leftrightarrow (x_1^2 - 2x_1)( 1 - x) + ( 2x + y - 1) = 0[/TEX]

Gọi điểm cố định mà $$(\Delta)$$ luôn đi qua là [TEX]M(x_o;y_o) [/TEX].
Ta có điều kiện cần và đủ để [TEX](\Delta )[/TEX] luôn đi qua M là :
[TEX](x_1^2 - 2x_1)( 1 - x_o) + ( 2x_o + y_o - 1) = 0 \forall x_1 \\ \Leftrightarrow \left{ 1-x_o = 0 \\ 2x_o + y_o -1 = 0 \right. \Leftrightarrow \left{ x_o = 1 \\ y_o = -1 [/TEX]

Vậy đường nối 2 cặp điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với nhau luôn đi qua điểm cố định : [TEX]M(1;-1)[/TEX]

 

[duynhan1]

Thêm 2 bài nữa

3. Cho $$(C): y = 4x^3 - 6x^2 +1$$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm $$M(-1;-9)$$.
4. Cho $$(C): y = x^3 - 3x + 2$$ . Tìm $$M \in (C)$$ sao cho qua M chỉ vẽ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến (C).

 

[doigiaythuytinh]

3. Cho $$(C): y = 4x^3 - 6x^2 +1$$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm $$M(-1;-9)$$.
4. Cho $$(C): y = x^3 - 3x + 2$$ . Tìm $$M \in (C)$$ sao cho qua M chỉ vẽ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến (C).

3. Cách làm:
- Giả sử hoành độ tiếp điểm là [TEX]x=x_o[/TEX], khi đó pt tiếp tuyến có dạng:
[TEX](d): y=y'(x_o)(x-x_o) + y(x_o) \ \ (1)[/TEX]
- Điểm [TEX]M (-1,-9) \in (d) \Leftrightarrow y_M=y'(x_o)(x_M-x_o)+y(x_o)[/TEX]
Giải ra được [TEX]x_o[/TEX]. Thay vào (1), ta được các tiếp tuyến thoả YCBT
@Còn một cách nữa đấy ^^

4. Tương tự
http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1483038&postcount=3

 

[doigiaythuytinh]

5. Cho hàm số [TEX]y=\frac{2x^2 + mx +m}{x+1}[/TEX]
Xác định m sao cho qua điểm [TEX]A(0,1)[/TEX] không có đường thẳng nào tiếp xúc với hai đồ thị

6. Cho hàm số [TEX]y=\frac{x^2 +2x+2}{x+1}[/TEX]
Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị qua điểm [TEX]A(1,0)[/TEX] và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

 

[duynhan1]

7. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị của $$(C): y=x^3 + 3x^2$$, trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

8. Cho $$(C): y = \frac{x^2-2x+1}{x-2}$$ và điểm $$A(6;4)$$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A

 

[nhocngo976]

7. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị của $$(C): y=x^3 + 3x^2$$, trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

[TEX]y'=3x^2+6x[/TEX]

ptdt qua A: [TEX]y=k(x-a) (\Delta)[/TEX]

[TEX]\Delta \ tt\ C <=> \left{\begin{x^3+3x^2=k(x-a) \\ 3x^2+6x=k[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{ x=0 \\ x^2-3(a-6)x-3a=0 (*)[/TEX]

với x=0 ---> tt : y=0 ---> không có tt nào vuông góc vs nó

---> ycbt \Leftrightarrow[TEX](*) \ co \ 2 \ nghiem \ pb \ tm \ k_{x_1}.k_{x_2}=-1[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{\Delta >0 \\ (3x_1^2+6x_1)(3x_2^2+6x_2)=-1[/TEX][TEX][/TEX]