[TOPIC] Hàm liên tục & đạo hàm

Thảo luận trong 'Đạo hàm' bắt đầu bởi duynhana1, 7 Tháng ba 2011.

Lượt xem: 18,750

  1. bigbang195

    bigbang195 Guest

    liên hợp lên thì -3 không phải là nghiệm nên:

    [TEX]\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}-9=0[/TEX]

    chọn x "vừa vừa" là pt kia có nghiệm mặt khác nó lại đồng biến.
     
  2. tamcat

    tamcat Guest

    Chứng minh pt sau có nghiệm với mọi giá tri của m:
    1, [TEX](1-m^2)(x+1)^3 +x^2-x-3=0[/TEX]
    2.[TEX]m(2cosx - sqrt{2}) =2sin5x+1[/TEX]
     
  3. [TEX]sinx^{cos x} = e^{ln sinx ^cos x} = e^{cos x. ln sinx}[/TEX] (dạng cơ bản rồi nhểy ;)))
     
  4. utit_9x

    utit_9x Guest

    [TEX]PT \Leftrightarrow (1-{m}^{2}){x}^{3}+(4-3{m}^{2}){x}^{2}+(2-3{m}^{2})x-(2+{m}^{2})=0=f(x)[/TEX]
    Đặt [TEX]{m}^{2} = t (t\geq 0)[/TEX]
    PT được viết lại như sau:
    [TEX](1-t){x}^{3}+(4-3t){x}^{2}+(2-3t)x-(2+t)=0[/TEX]
    TH1: t=1 thì thay vào có pt bậc 2 có nghiệm ==> PT có nghiệm
    TH2: [TEX]t\neq 1[/TEX]
    [TEX]{f}^{'}(x)=3(1-t){x}^{2}+2(4-3t)x+(2-3t)[/TEX]
    Xét f'(x) có [TEX]\Delta >0 [/TEX] và 3(1-t) > 0
    ==> f'(x) >0 ==> f(x) đồng biến ==> pt luôn có nghiệm ~!

    Hình như pt bậc 3 nào cũng có ít nhất 1 nghiệm nhỉ ????

    Uh bạn tham khảo phía trang trước ý
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng tư 2011
  5. miss_kool

    miss_kool Guest

    CMR pt sau luôn có nghiệm mọi m
    [tex] (9-5m)x^5 +(m^2 -1)x^4 -1=0 [/tex]
     
  6. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Phương trình bậc lẻ luôn có ít nhất 1 nghiệm.

    Cách chứng minh bạn xem ở trang trước.
    Xét :

    • [TEX]9-5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac95 [/TEX], thay vào thì tìm được nghiệm
    • [TEX]9-5m \not= 0 \Leftrightarrow m \not= \frac95[/TEX], đây là phương trình bậc 5 nên có ít nhất 1 nghiệm
     
  7. Tìm f(x)

    [​IMG]
     
  8. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Cho [TEX]\frac{a}{7} + \frac{b}{5} + \frac{c}{3} = 0 [/TEX].

    Chứng minh phương trình : [TEX]ax^4 + bx^2 + c = 0 [/TEX] có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1).

    2 cách.
     
    Last edited by a moderator: 13 Tháng tư 2011


  9. Từ pt đầu --->[TEX] [x^3f'(x)]'=-1 \Leftrightarrow x^3f'(x)=-x+a \Leftrightarrow f'(x)=\frac{-1}{x^2}+\frac{a}{x^3}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{2x^2}+b[/TEX]

    Kết hợp [TEX]f(1)=1;f(-2)=-1 \Rightarrow a=\frac{-4}{3}; b=\frac{-2}{3}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{3}[/TEX]

    x khác 0 nữa.

    :((
     
  10. Cách 1:
    bt tương đương chứng minh pt [TEX]at^2+bt+c=0[/TEX] có ít nhất 1 nghiệm [TEX]\in(0;1)[/TEX]

    Xét hàm số[TEX] f(t)=at^2+bt+c[/TEX]
    [TEX]f(\frac{5}{7})=\frac{a5^2}{7^2}+\frac{5b}{7}+c[/TEX]

    [TEX] \frac{a}{7}+\frac{b}{5}+\frac{c}{3} = \frac{7}{5^2}(\frac{a5^2}{7^2}+\frac{5b}{7}+c) + c (\frac {1}{3}-\frac{7}{5^2})=\frac{7}{5^2}f(\frac{5}{7})+\frac{4c}{75}=0[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow f(\frac{5}{7})=-\frac{4}{21}c=-\frac{4}{21}f(0)[/TEX]

    xét 2 trường hợp c=0 và c khác 0 rồi kết luận pt có ít nhất 1 nghiệm [TEX]\in(0;\frac{5}{7})[/TEX]
    nên pt có ít nhất 1 nghiệm[TEX]\in(0;1)[/TEX]

    Cách 2:

    Xét hs:[TEX] f(x)=\frac{ax^7}{7}+\frac{bx^5}{5}+\frac{cx^3}{3}[/TEX]

    có f(1)=f(0)=0

    hs liên tục và có đạo hàm trên [0;1] tồn tại[TEX] x_0\in(0;1)[/TEX] sao cho [TEX]f'(x_0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=0[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow ax_0^6+bx_0^4+cx_0^2=0[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow x_0^2(ax_0^4+bx_0^2+c)=0[/TEX]

    [TEX]\red \Leftrightarrow ax_0^4+bx_0^2+c = 0 [/TEX](Do [TEX]\red x_o \not= 0 [/TEX] )

    [TEX]\Rightarrow ax_0^4+bx_0^2+c =0[/TEX] có nghiệm[TEX] \in(0;1)[/TEX]
    pt trùng phương có nghiệm dương khác 0 nên sẽ có 1 nghiệm âm là số đối với nó

    có ít nhất 2 nghiệm.

    I think so.
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng tư 2011
  11. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Một số bài toán về phương trình tiếp tuyến.

    1. Cho đường cong [TEX](C):x^3 -2x^2+8x+5[/TEX]. Chứng minh không có bất kỳ 2 tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.
    2. Cho đường cong [TEX](C): y=x^3-3x^2+1[/TEX]. Chứng minh rằng trên (C) tồn tại vô số cặp điểm mà 2 tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau. Mọi đường thẳng nối từng cặp điểm trên luôn đi qua một điểm cố định (1;-1)
     
  12. linh030294

    linh030294 Guest

    (*) Tớ nghĩ câu 2 bạn có thể gợi ý một tí được không :D :D :D
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng tư 2011
  13. linh030294

    linh030294 Guest

    1 . Cho đường cong[tex] (C):x^3 -2x^2+8x+5[/tex]. Chứng minh không có bất kỳ 2 tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.
    (*)Trả lời :
    Ta có : [tex]y' = 3x^2 - 4x + 8[/tex]
    Giả sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự là x_A , x_B , thuộc đồ thị , ta có :
    * Hệ số góc của tiếp tuyến A, B có giá trị là : [tex]y'(x_A) ; y'(x_B)[/tex] .
    * Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
    [tex]<=> y'(x_A). y'(x_B) = -1 <=> (3{x_A}^2 - 4x_A + 8)(3{x_B}^2 - 4x_B + 8) = -1[/tex]
    [tex]=>[/tex] Bạn phân tích [tex](3{x_A}^2 - 4x_A + 8)(3{x_B}^2 - 4x_B + 8)[/tex] khác -1
    [tex]=> dpcm[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng tư 2011
  14. bonoxofut

    bonoxofut Guest

    1. Khi nói đến sự vuông góc của 2 đường thẳng thì ta nghĩ đến tích hệ số góc bằng -1. Mà khi nói đến hệ số góc, thì ta lại nghĩ đến đạo hàm.

    Ta có:
    [​IMG]
    Nghĩa là không có điểm nào trên độ thị của hàm số trên, mà tại đó có tiếp tuyến với hệ số góc âm. Nghĩa là không thể có 2 tiếp tuyến nào vuông góc nhau. Vì muốn tích 2 hệ số góc là -1, thì phải có 2 hệ số góc trái dấu nhau.

    2. Đạo hàm của 1 hàm số bậc 3 theo x sẽ làm 1 hàm số bậc 2 theo x, nghĩa là đồ thị của đạo hàm một hàm bậc 3 sẽ là 1 parabol. Parabol này phải có 1 trục đối xứng, tạm gọi trục đó là x = c.

    Như vậy, tại 2 điểm bất kỳ của một hàm bậc 3 mà tiếp tuyến của chúng song song với nhau, hay nói cách khác đạo hàm tại 2 điểm đó là bằng nhau, thì chắc chắc rằng hoành độ của 2 điểm này phải đối xứng qua c.

    Trong bài này ta sẽ cố gắng chứng minh rằng điểm cố định đó chính là điểm uốn (điểm có đạo hàm cấp 2 bằng 0) của đồ thị. :D
     
  15. duynhan1

    duynhan1 Guest



    2. [tex]y' = 3x^2 - 6x [/tex].

    Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Nên ta có yêu cầu bài toán tương đương với: Chứng minh tồn tại vô số k sao cho các phương trình :
    [tex]3x^2- 6x =k [/tex] có 2 nghiệm phân biệt.
    [TEX]\Leftrightarrow \Delta' = 9 + 3k>0 \Leftrightarrow k>-3 (dpcm) [/TEX]

    b. Giả sử tiếp tuyến đi qua 2 điểm cố định có hệ số góc là k>-3, tọa độ [tex] x1, x2(x1\not = x_2) [/tex]. Ta có : x1, x2 là nghiệm của phương trình

    [TEX]3x^2 - 6x - k = 0 [/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \left{ x_1+x_2 = 2 \\ 3. x_1.x_2 = -k[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow y_1 - y_2 = x_1^3 - x_2^3 - 3(x_1^2-x_2^2) \\= (x_1-x_2)(x_1^2 + x_2^2 + x_1.x_2 - 3( x_1+x_2) ) \\ = ( x_1 - x_2) ( (x_1+x_2)^2 - x_1.x_2 -6) \\ = (x_2-x_1)(2+x_1.x_2) [/TEX]

    Phương trình đi qua 2 điểm [TEX]x_1, x_2 [/TEX] có dạng :

    [TEX](\Delta) : (y_1-y_2) (x-x_1) - (x_1-x_2) (y-y_1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x_2-x_1)(2+x_1.x_2) (x-x_1) + (x_2-x_1)(y-y_1) = 0 \\ \Leftrightarrow (2+x_1.(2-x_1))(x-x_1) + y- (x_1^3-3x_1^2+1) = 0 (\ do x_1 \not= x_2) \\ \Leftrightarrow (x_1^2 - 2x_1)( 1 - x) + ( 2x + y - 1) = 0[/TEX]

    Gọi điểm cố định mà [tex] (\Delta) [/tex] luôn đi qua là [TEX]M(x_o;y_o) [/TEX].
    Ta có điều kiện cần và đủ để [TEX](\Delta )[/TEX] luôn đi qua M là :
    [TEX](x_1^2 - 2x_1)( 1 - x_o) + ( 2x_o + y_o - 1) = 0 \forall x_1 \\ \Leftrightarrow \left{ 1-x_o = 0 \\ 2x_o + y_o -1 = 0 \right. \Leftrightarrow \left{ x_o = 1 \\ y_o = -1 [/TEX]

    Vậy đường nối 2 cặp điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với nhau luôn đi qua điểm cố định : [TEX]M(1;-1)[/TEX]

     
  16. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Thêm 2 bài nữa

    3. Cho [tex] (C): y = 4x^3 - 6x^2 +1[/tex] . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm [tex]M(-1;-9)[/tex].
    4. Cho [tex] (C): y = x^3 - 3x + 2[/tex] . Tìm [tex] M \in (C) [/tex] sao cho qua M chỉ vẽ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến (C).
     
  17. 3. Cách làm:
    - Giả sử hoành độ tiếp điểm là [TEX]x=x_o[/TEX], khi đó pt tiếp tuyến có dạng:
    [TEX](d): y=y'(x_o)(x-x_o) + y(x_o) \ \ (1)[/TEX]
    - Điểm [TEX]M (-1,-9) \in (d) \Leftrightarrow y_M=y'(x_o)(x_M-x_o)+y(x_o)[/TEX]
    Giải ra được [TEX]x_o[/TEX]. Thay vào (1), ta được các tiếp tuyến thoả YCBT
    @Còn một cách nữa đấy ^^

    4. Tương tự :D
    http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1483038&postcount=3
     
  18. 5. Cho hàm số [TEX]y=\frac{2x^2 + mx +m}{x+1}[/TEX]
    Xác định m sao cho qua điểm [TEX]A(0,1)[/TEX] không có đường thẳng nào tiếp xúc với hai đồ thị

    6. Cho hàm số [TEX]y=\frac{x^2 +2x+2}{x+1}[/TEX]
    Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị qua điểm [TEX]A(1,0)[/TEX] và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
     
  19. duynhan1

    duynhan1 Guest

    7. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị của [tex](C): y=x^3 + 3x^2[/tex], trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

    8. Cho [tex] (C): y = \frac{x^2-2x+1}{x-2} [/tex] và điểm [tex] A(6;4) [/tex]. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A
     
  20. nhocngo976

    nhocngo976 Guest

    [TEX]y'=3x^2+6x[/TEX]

    ptdt qua A: [TEX]y=k(x-a) (\Delta)[/TEX]

    [TEX]\Delta \ tt\ C <=> \left{\begin{x^3+3x^2=k(x-a) \\ 3x^2+6x=k[/TEX]

    \Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{ x=0 \\ x^2-3(a-6)x-3a=0 (*)[/TEX]

    với x=0 ---> tt : y=0 ---> không có tt nào vuông góc vs nó

    ---> ycbt \Leftrightarrow[TEX](*) \ co \ 2 \ nghiem \ pb \ tm \ k_{x_1}.k_{x_2}=-1[/TEX]

    \Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{\Delta >0 \\ (3x_1^2+6x_1)(3x_2^2+6x_2)=-1[/TEX][TEX][/TEX]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->