Chỗ này sai kết quả nè huy ơi!Phải là [TEX]d_{(D,(BMN))}=\frac{a\sqrt{6}}{6}[/TEX]
Chứ.Bạn xem lại nhé!
OK. Bài hình đã sửa. Vừa nãy không có giấy tính nhẩm nên nhầm
Còn bài tích phân thì mình biết rồi. Lúc nãy mình không có giấy phải nhẩm nên phải tách từ từ vì sợ nhầm
)
Còn 1 câu nữa làm nốt:
Cho x,y,z>0 có [tex]x+y+z=xyz[/tex] . Chứng minh rằng:
[tex]xy+yz+xz\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}[/tex]
Để ý rằng trong 1 tam giác ta luôn có:
[tex]\tan a+\tan b+\tan c=\tan a.\tan b.\tan c[/tex] ( cái này vào bài phải chứng minh lại nhé). Thêm vào đó có điều kiện x,y,z>0
Vậy đặt [tex]x=\tan a[/tex],[tex]y=\tan b[/tex],[tex]z=\tan c[/tex] với a,b,c là 3 góc của 1 tam giác nhọn.
Bất đẳng thức trở thành
[tex]\tan a.\tan b+\tan b.\tan c+\tan a.\tan c\geq 3+\frac{1}{\cos ^{2}a}+\frac{1}{\cos ^{2}b}+\frac{1}{\cos ^{2}c}[/tex]
[tex]2VT=\tan a(\tan b+\tan c)+\tan b(\tan a+\tan c)+\tan c(\tan a+\tan b)[/tex]
[tex]=\frac{\sin a.\sin (b+c)+\sin b.\sin (a+c)+\sin c.\sin (a+b)}{\cos a.\cos b.\cos c}[/tex]
[tex]=\frac{\sin ^{2}a+\sin ^{2}b+\sin ^{2}c}{\cos a.\cos b.\cos c}[/tex]
[tex]2VP=6+\frac{2\cos a.\cos b+2\cos b.\cos c+2\cos c.\cos a}{\cos a.\cos b.\cos c}[/tex]
Thay vào bất đẳng thức trở thành:
[tex]\sin ^{2}a+\sin ^{2}b+\sin ^{2}c\geq 2\cos a.\cos b(1+\cos c)+2\cos b.\cos c(1+\cos a)+2\cos c.\cos a(1+\cos b)[/tex]
[tex]VT=(1-\cos a)(1+\cos a)+(1-\cos b)(1+\cos b)+(1-\cos c)(1+\cos c)[/tex]
Bất đẳng thức trở thành:
[tex](1+\cos a)[1-\cos a-2\cos b.\cos c]+(1+\cos b)[1-\cos b-2\cos a.\cos c]+(1+\cos c)[1-\cos c-2\cos b.\cos a]\geq 0[/tex]
Ta có:
[tex]1-\cos a-2\cos b.\cos c=1-\cos a-[\cos (b+c)+\cos (b-c)]=1-\cos (b-c)\geq 0[/tex]
Và [tex]1+\cos a> 0[/tex]
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Dấu = xảy ra [tex]\Leftrightarrow \cos (b-c)=\cos (a-c)=\cos (a-b)=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\pi }{3}[/tex] hay a,b,c là 3 góc của 1 tam giác đều
Thay vào được dấu bằng [tex]x=y=z=\sqrt{3}[/tex]
Làm thê này dài quá
( ,có cách ngắn hơn không???????
