Toán [ Toán 9 ] Thảo luận các bài BĐT ôn thi vào lớp 10 chuyên

[huonggiangnb2002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xin chào mọi người! Trên diễn đàn mình chắc cũng có nhiều bạn đang ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán nhỉ ?! Mà thi chuyên toán thì chắc chắn phải học kĩ về BĐT rồi. Mình lập topic này để mọi người cùng thảo luận, chia sẻ về các bài BĐT hay, khó. Rất mong nhận được sự ủng hộ của mọi người đặc biệt là BQT Box Toán.
Mình xin đưa ra một số bài tập để các bạn cùng luyện nhé:
Bài 1: Với x>0, tìm GTNN của biểu thức:
[tex]M=4x^2 -3x + \frac{1}{4x} + 2017[/tex]
Bài 2: Cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn điều kiện: [tex]x\leq 2(y+z)[/tex]
Tìm GTLN của biểu thức:
[tex]P=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện: $a+b+c+ab+bc+ca = 6 abc$
Tìm GTNN của biểu thức: [tex]A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]

Lưu ý: Các bạn đăng bài lên nhớ ghi rõ số thứ tự của bài và viết in đậm để dễ theo dõi nhé! Khi viết công thức nhớ dùng Latex để các thành viên khác dễ nhìn, dễ hiểu.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1:
$M=4x^2 -3x + \dfrac{1}{4x} + 2017=(2x-1)^2+x+\dfrac{1}{4x}+2010$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$x+\dfrac{1}{4x}\geq 2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}=1\\\Rightarrow M\geq 2011$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$
Vậy...

 

[huonggiangnb2002]

Bài 1:
$M=4x^2 -3x + \dfrac{1}{4x} + 2017=(2x-1)^2+x+\dfrac{1}{4x}+2010$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$x+\dfrac{1}{4x}\geq 2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}=1\\\Rightarrow M\geq 2011$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$
Vậy...

Bạn kiểm tra lại bài 1 lượt đi nào. Cách làm của bạn đúng nhưng chỗ tách ấy, cái số 2017 bỗng nhiên biến thành 2010. Có vẻ bạn làm hơi tắt nên dẫn đến nhầm nhọt á !

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bạn kiểm tra lại bài 1 lượt đi nào. Cách làm của bạn đúng nhưng chỗ tách ấy, cái số 2017 bỗng nhiên biến thành 2010. Có vẻ bạn làm hơi tắt nên dẫn đến nhầm nhọt á !

mk nhầm chỗ đấy phải là $2016$=> $Min \ M=2017$

 

[huonggiangnb2002]

mk nhầm chỗ đấy phải là $2016$=> $Min \ M=2017$

Chuẩn rồi Nghĩ tiếp các bài khác đi nào, nhất là Bài 3 ấy, dễ cực luôn =))

 

[huonggiangnb2002]

Không thấy bạn nào cùng thảo luận hết, có phải là khó quá không ?! Mình xin đưa ra gợi ý nhé:
Bài 3: Chia 2 vế của điều kiện cho abc. Từ đó sử dụng BĐT Cauchy rồi blah blah ...

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Chuẩn rồi Nghĩ tiếp các bài khác đi nào, nhất là Bài 3 ấy, dễ cực luôn =))

e ms học lớp 8 chị ạ

 

[huonggiangnb2002]

e ms học lớp 8 chị ạ

Vậy hả ?! Mới học lớp 8 mà làm được bài 1 là giỏi đấy ! Bài 3 cũng không khó lắm đâu, chị gợi ý ở trên rồi đấy, em nghĩ thử đi

 

[huonggiangnb2002]

Mình up key Bài 2 và Bài 3 luôn nhé!
Bài 2:


Bài 3:

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Mình up key Bài 2 và Bài 3 luôn nhé!
Bài 2:

Bài 3:

Đăng thêm bài đi, mình ủng hộ

 

[huonggiangnb2002]

Đăng thêm bài đi, mình ủng hộ

Mình đăng bài tiếp nhé
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]P=a^2+ab+b^2-3a-3b+2017[/tex]
Bài 5: Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x + y =2.
Chứng minh rằng: [tex]\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\leq 2[/tex]
Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn 0 < x <2. Tìm GTNN của biểu thức [tex]P=\frac{2+x}{x}+ \frac{4-x}{2-x}[/tex]

Rất cảm ơn bạn đã ủng hộ : )

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=a^2+ab+b^2-3a-3b+2017\\=a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{9}{4}+ab-3a-\dfrac{3}{2}b+\dfrac{3}{4}b^2-\dfrac{3}{2}b+\dfrac{3}{4}+2014\\=\left ( a+\dfrac{b}{2}-\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4}(b-1)^2+2014\geq 2014$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$
Vậy...

 

[huonggiangnb2002]

$P=a^2+ab+b^2-3a-3b+2017\\=a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{9}{4}+ab-3a-\dfrac{3}{2}b+\dfrac{3}{4}b^2-\dfrac{3}{2}b+\dfrac{3}{4}+2014\\=\left ( a+\dfrac{b}{2}-\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4}(b-1)^2+2014\geq 2014$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$
Vậy...

Chuẩn rồi ! Bài 5 hôm trước vừa làm trên diễn đàn đúng không nhỉ ?!

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Chuẩn rồi ! Bài 5 hôm trước vừa làm trên diễn đàn đúng không nhỉ ?!

Lần đầu tiên e nhìn thấy chị ạ

 

[Phương Trang]

Mình đăng bài tiếp nhé

Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn 0 < x <2. Tìm GTNN của biểu thức [tex]P=\frac{2+x}{x}+ \frac{4-x}{2-x}[/tex]

Rất cảm ơn bạn đã ủng hộ : )

[tex]P=\frac{2+x}{x}+ \frac{4-x}{2-x}[/tex]
= [tex]2+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}) \geq 2+2(\frac{4}{x+2-x})[/tex]
[tex]=> P_{min} = 6[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x = 1

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

[tex]P=\frac{2+x}{x}+ \frac{4-x}{2-x}[/tex]
= [tex]2+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}) \geq 2+2(\frac{4}{x+2-x})[/tex]
[tex]=> P_{min} = \frac{14}{3}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x = 1
không chắc lắm

$3-x$ ở đâu vậy chị?

 

[Khánh Linh.]

$3-x$ ở đâu vậy chị?

chắc viết nhầm 2-x thành 3-x chăng?

 

[huonggiangnb2002]

[tex]P=\frac{2+x}{x}+ \frac{4-x}{2-x}[/tex]
= [tex]2+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}) \geq 2+2(\frac{4}{x+2-x})[/tex]
[tex]=> P_{min} = \frac{14}{3}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x = 1
không chắc lắm

Tính lại đi nào gái ơi ~ Cách làm đúng rồi nhưng tính kết quả thì có chút nhầm nhọt !
P >= 2+ 2.(4/2) = 6 hay là 14/3 nhỉ ?!

 

[huonggiangnb2002]

Lần đầu tiên e nhìn thấy chị ạ

https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-giup-e-voi-a.617125/
Còn nhớ không em ?! Nó chỉ thay đổi cái hình thức bên ngoài thôi chứ tấm lòng vẫn chung thủy, vẹn nguyên như lúc ban đầu :v

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-giup-e-voi-a.617125/
Còn nhớ không em ?! Nó chỉ thay đổi cái hình thức bên ngoài thôi chứ tấm lòng vẫn chung thủy, vẹn nguyên như lúc ban đầu :v

dạo này trí nhớ kém quá ^^
làm luôn vậy

Bài 5: Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x + y =2.
Chứng minh rằng:

Đặt $\sqrt[3]{x}=1-a\Rightarrow x=(1-a)^3$
$\Rightarrow y=2-(1-a)^3=a^3-3a^2+3a+1\leq a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3\\\Rightarrow \sqrt[3]{y}\leq a+1\Rightarrow \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\leq 1-a+a+1=2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=0\Rightarrow x=y=1$