Bất đẳng thức cũng đơn giản thôi.
Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}>a+b+c[/TEX]
Với a;b;c dương thỏa mãn : [TEX]abc\leq1[/TEX]
ap dung bat dang thuc cosi: a/c+ca>=2a, b/a + ab >= 2b, c/b + bc >=2c.
Cong lai ta co: a/c + b/a + c/b + ab+bc+ca >= 2(a+b+c) <=>2(a/c + b/a + c/b) + 2(ab+bc+ca) >=4(a+b+c) (1*).
Ap dung cosi cho 3 so: a^2b + ab + b >=3ab, b^2c + bc + c >= 3bc, c^2a + ca + a >=3ca.
Cong 3 bdt ta co: a^2b + b^2c + c^2a + ab+bc+ca + a+b+c >= 3ab + 3bc + 3ca
=> a^2b + b^2c + c^2a + a+b+c ≥ 2ab + 2bc + 2ca (*).
Mat khac tu gia thiet ta co: 1 >=abc => a/c >=a.abc /c = a^2b.
Tuong tu: b/a >= b^2c, c/b>= c^2a => a/c + b/a + c/b>= a^2b + b^2c + c^2a,
so sanh voi (*) ta co: a/c + b/a + c/b + a+b+c>= a^2b + b^2c + c^2a +a+b+c>=2ab + 2bc + 2ca.
ghi gon la: (a/c + b/a + c/b) + (a+b+c) >=2(ab+bc+ca) (2*).
Lay (1*) + (2*) ve theo ve: 3(a/c + b/a + c/b) + 2(ab+bc+ca) + (a+b+c) >= 4(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)
=> 3(a/c + b/a + c/b) >= 3(a+b+c) => đpcm. Dau = xay ra khi a=b=c
chú ý latex và gõ tiếng việt có dấu
>-