Toán [Toán 9]Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

[vitconcatinh_foreverloveyou]

mik` có một số đề làm ko xuể nhờ các bạn cùng làm một tay
1, cm các bdt
[tex] a, a + \frac{1}{b(a-b)} \geq 3 \forall a>b>0 [/tex]

[tex] b, a+ \frac{4}{(a-b)(b+1)^2} \geq 3 \forall a> b \geq 0[/tex]

[tex] c, a+ \frac{1}{b(a-b)^2} \geq 2.\sqrt{2} \forall a>b>0[/tex]

[tex] d, \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2} , a>b [/tex]

[tex] e, a+ \frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^2} >3 \forall a>1[/tex]


2, tìm min
[tex] A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/tex]

[tex] A= \frac {1}{a^2+b^2+c^2} +\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} (a,b,c>0; a+b+c=1)[/tex]

tks nhìu

 

[niemkieuloveahbu]

1)Ta có [TEX]a-b+b+\frac{1}{b(a-b)}\geq3[/TEX]( Cosi)
2)[TEX]a-b+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\geq3[/TEX](cosi)
3)[TEX]\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq2\sqrt{2}[/TEX]
Nếu có tg s làm tiếp cho, giờ s phải học bài đã

 

[cattrang2601]

Câu B và C làm tương tự nhau
Câu B
[TEX]B=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow B^2 = 4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + 4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + 2\sqrt{4^2 - (\sqrt{10 + 2\sqrt{5}})^2} = 8 + 2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = 8 + \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = 8 + 2\sqrt{5} - 2 = 6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]B = \sqrt{5} + 1[/TEX]
Còn Câu D hình như sai đề hay sao mà dễ thế này
D = 1

Tui chữa lại bài ông toàn chút nha
Câu D không phải bằng 1 đâu nha
Câu C nên làm theo cách này
[TEX]C=\sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}[/TEX]

[TEX]C=\sqrt{49-42\sqrt{5}+45}-\sqrt{49+42\sqrt{5}+45}[/TEX]

[TEX]C=(7-3\sqrt{5})-(7+3\sqrt{5})[/TEX]

[TEX]C=-6\sqrt{5}[/TEX]

 

[bboy114crew]

A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/tex]

[tex] A= \frac {1}{a^2+b^2+c^2} +\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} (a,b,c>0; a+b+c=1)[/tex]

tks nhìu

Ta có:
[TEX]A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/TEX]
[TEX]\geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \geq \frac{9}{3+\sum a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
phần còn lại ở đây:
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90

 

[01263812493]

[tex] A= \frac {1}{a^2+b^2+c^2} +\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} (a,b,c>0; a+b+c=1)[/tex]

tks nhìu

[TEX]\blue A \geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac} \geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=...[/TEX]

4rum khác cũng tính trùng ở 4rum này hả bboy

 

[bboy114crew]

mik` có một số đề làm ko xuể nhờ các bạn cùng làm một tay


[tex] d, \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2} , a>b [/tex]

[tex] e, a+ \frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^2} >3 \forall a>1[/tex]


tks nhìu

d.
Ta có:
[TEX]\frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^3+1+12b^2 \geq 12ab[/TEX]
áp dụng BDT AM-GM ta co:
[TEX]a^3+a^3+1 \geq 3a^2 [/TEX]
ta sẽ CM:
[TEX]3a^2+12b^2\ geq 12ab \Leftrightarrow a^2+4b^2 \geq 4ab[/TEX]
Đúng theo AM-GM!
e.cứ biến đổi tương đương!
hoặc là bài này:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1698451#post1698451

[TEX]\blue A \geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac} \geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=...[/TEX]

Bài trêm của cậu ở đây mà!
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90

 

[echcon_997]

Ta có:
[TEX]A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/TEX]
[TEX]\geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \geq \frac{9}{3+\sum a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
phần còn lại ở đây:
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90

Cho em hỏi cái \sum_{i=1}^k a_i^n là gì thế ạ, em thấy nó trong nhiều sách nhưng 0 hiểu lắm!

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

d.
Ta có:
[TEX]\frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^3+1+12b^2 \geq 12ab[/TEX]
áp dụng BDT AM-GM ta co:
[TEX]a^3+a^3+1 \geq 3a^2 [/TEX]
ta sẽ CM:
[TEX]3a^2+12b^2\ geq 12ab \Leftrightarrow a^2+4b^2 \geq 4ab[/TEX]
Đúng theo AM-GM!
e.cứ biến đổi tương đương!
hoặc là bài này:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1698451#post1698451


Bài trêm của cậu ở đây mà!
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90

cái này còn có cách khác mà e đc chữa

[TEX]d, \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2}[/TEX]

áp dụng BDT [TEX](x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]

[TEX]\rightarrow 0< 4b(a-b) \leq (b+a-b)^2 = a^2[/TEX]

[TEX]\rightarrow \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq \frac{2a^2 +1}{a^2}[/TEX]

[TEX]= 2a +\frac{1}{a^2} = a+a+ \frac{1}{a^2} \geq 3[/TEX]

[TEX]e, a(a-1)(a+1)^3 = 27.(a-1).\frac{a+1}{3} . \frac{a+1}{3} . \frac{a+1}{3}[/TEX]

[TEX]\leq 27.(\frac{(a-1) + \frac{a+1}{3} + \frac{a+1}{3} + \frac{a+1}{3}}{4})^4[/TEX]

[TEX]= 27. \frac{a^4}{16}[/TEX]

[TEX]\rightarrow a+ \frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3} \geq a+ \frac{64}{27a}\geq 2.\sqrt{a.\frac{64}{27a}} >3 [/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

thêm bài nữa
1. cm bdt

[tex] a, \frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} +\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z ( \forall x,y,z>0)[/tex]

[tex] \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} ( x,y,z \geq 1 ; \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2 ) [/tex]

[tex] \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 +\frac{1}{z^2}} \geq \frac {3}{2} .\sqrt{17}[/tex]

2.tìm min

[tex] a, P= \frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c}[/tex]

[tex] b, A= \frac{1+x^4}{x(x-1)(x+1)} (x>1)[/tex]

[tex] c, A= \frac{x^2}{x+y} +\frac{y^2}{y+z} + \frac{z^2}{z+x} ( x,y,z>0 ; \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} =1)[/tex]

[tex] d, B= \frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} (x,y,z>0 ; x+y+z =9 ) [/tex]

 

[hoa_giot_tuyet]

Cho em hỏi cái \sum_{i=1}^k a_i^n là gì thế ạ, em thấy nó trong nhiều sách nhưng 0 hiểu lắm!

Tổng hoán vị ấy mà, hồi tr' cũng chả hỉu @@

Ví dụ như đề cho là a,b,c thì viết [TEX]\sum{a}[/TEX] có nghĩa là tổng a+b+c

 

[bboy114crew]

thêm bài nữa
1. cm bdt

[tex] a, \frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} +\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z ( \forall x,y,z>0)[/tex]

[tex] \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} ( x,y,z \geq 1 ; \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2 ) [/tex]

[tex] \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 +\frac{1}{z^2}} \geq \frac {3}{2} .\sqrt{17}[/tex]

2.tìm min

[tex] a, P= \frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c}[/tex]

[tex] b, A= \frac{1+x^4}{x(x-1)(x+1)} (x>1)[/tex]

[tex] c, A= \frac{x^2}{x+y} +\frac{y^2}{y+z} + \frac{z^2}{z+x} ( x,y,z>0 ; \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} =1)[/tex]

[tex] d, B= \frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} (x,y,z>0 ; x+y+z =9 ) [/tex]

Gợi ý:
1.
a)[TEX] \frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} \geq 2\frac{xy}{z} [/TEX](AM-GM)
Làm tương tự rôi cộng lại:
[TEX]\frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} +\frac{z^3}{xy} \geq\sum\frac{xy}{z}[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]\frac{xy}{z} +\frac{zy}{x} =y(\frac{x}{z} +\frac{z}{x} ) \geq 2y[/TEX]
Làm tương tự rồi cộng lại ta được DPCM!
b)Dùng Cauchy-schwarz
c.)Dùng mincopxki (đó cũng là một dạng của Cauchy-schwarz)
2.
a. Đặt [TEX]b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z[/TEX]
Từ đó tính a,b,c theo x,y,z sau dó dùng AM-GM
b.
c. http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=146076
d. dùng đẳng thức:
[TEX]\frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} =\frac{y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{x^3}{z^2 + zx + x^2} [/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

giúp mik` mấy bài hình này
1, cho t/g ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH, p/g AD , BC=a, AC=b, AB=c, AH=h, AD=d , p= (a+b+c)/2 . cm
[tex]a, d^2 = \frac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2}[/tex]

[tex]b, h^2= \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]

[tex]2, \Delta ABC , D \in BC . CM[/tex]

[tex] AB^2.CD + AC^2.BD - AD^2.BC = DB.DC.BC[/tex]

[tex] 3, \Delta ABC , BC=a, AC=b, AB=c, [/tex] đ c t/ư [tex]h_a , h_b, h_c . CM[/tex]


[tex] a, \frac{1}{{h}^2_a} \leq \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a)[/tex]

[tex]b, \frac{1}{{h}^2_a} + \frac{1}{{h}^2_b} + \frac{1}{{h}^2_c} \leq \frac{1}{4}. (a+b+c)^2[/tex]

tks nhìu

 

[duynhan1]

giúp mik` mấy bài hình này
1, cho t/g ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH, p/g AD , BC=a, AC=b, AB=c, AH=h, AD=d , p= (a+b+c)/2 . cm
[tex]a, d^2 = \frac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2}[/tex]

Công thức tính diện tích tam giác :
[TEX]\red S_{ABC} = \frac12 bc \sin \ A[/TEX]
[TEX]\red sin A = 2 sin {\frac{A}{2}} . cos { \frac{A}{2}} \\ cos A = 2 cos^2 {\frac{A}{2}} - 1 \\ a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A [/TEX]

Áp dụng vào bài toán ta có:
[TEX]\frac12bd sin {\frac{A}{2}} + frac12bd sin {\frac{A}{2}}= \frac12 bc sin A \\ \Leftrightarrow (b+c) d =2 bc . cos{\frac{A}{2}} \\ \Leftrightarrow (b+c)^2 d^2 = 2b^2c^2 ( 1 + cos A) = bc ( 2bc + 2bc cos A) = bc ( 2bc + ( b^2 + c^2 -a^2)) \\ \Leftrightarrow d^2 = \frac{bc( (b+c)^2 -a^2) }{(b+c)^2}[/TEX]
P/s: Không biết em học mấy CT đó chưa nhưng anh bí quá rồi

[tex]b, h^2= \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]

Công thức Herong xong rồi ^^

[tex] 3, \Delta ABC , BC=a, AC=b, AB=c, [/tex] đ c t/ư [tex]h_a , h_b, h_c . CM[/tex]
[tex] a, \frac{1}{{h}^2_a} \leq \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a)[/tex]

[tex]b, \frac{1}{{h}^2_a} + \frac{1}{{h}^2_b} + \frac{1}{{h}^2_c} \leq \frac{1}{4}. (a+b+c)^2[/tex]

Anh nghĩ đề là :
[TEX]h_a^2 \le \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a) [/TEX]
Tương tự cho câu b^^
Gợi ý: Áp dụng câu 1b

 

[cuonghyp1997]

Giúp em mấy bài về SNT:

1, Cho a,b,c,d thuộc N sao, sao cho [TEX]ab=cd.[/TEX]
CM: [TEX]a^n+b^n+c^n+d^n [/TEX]là hợp số.(n thuộc N)

2.a> Tìm p là SNtố để [TEX]2^p+p^2[/TEX] ng tố.
b> Tìm n thuộc Z để [TEX]n^{1998} +n^{1997}+1[/TEX] là số ng tố.

Thanks mọi người

latex

.

 

[thienlong_cuong]

Giúp em mấy bài về SNT:

2.a> Tìm p là SNtố để [TEX]2^p+p^2[/TEX] ng tố.
Thanks mọi người
.

kém coi mới chỉ chém đc bài này !

Với p = 3k + 1 và 3k + 2

Thì [TEX]p^2 = 3k + 1[/TEX] (*)

Do p nguyên tố nên p lẻ (thử p =2 ko t/m)

Nên [TEX]2^p = 3k - 1[/TEX] (*)(*)

Cộng 2 vế (*) và (*)(*) \Rightarrow [TEX]2^p + p^2 [/TEX] chia hết 3

Vậy p = 3k
\Rightarrow p = 3

 

[cattrang2601]

đại số 9. toán dãy số có quy luật

Kì thi học sinh giỏi toán tới, mình nghĩ sẽ có dạng toán này nên mình post lên cho các bạn tham khảo nha.

Chú ý:
[FONT=&quot]có 4 cách thông thường để giải loại toán này
Cách 1: truy toán
Cách 2: phân tích đánh giá số hạng tổng quát
Cách 3: quy nạp toán học
Cách 4: đưa về tính nghiệm của một phương trình
Cách 5: vận dụng các cách đã học
Ví dụ 1:
[/FONT][FONT=&quot] Cho A= [/FONT][TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}[/TEX] có 100 dấu căn.
Chứng minh A không phải là số tự nhiên.
GIẢI

Dễ thấy A> 1. sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy[TEX]\sqrt{2+\sqrt{2}} < \sqrt{2+2}= \sqrt{4}=2[/TEX]
[TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} < \sqrt{2+2}= \sqrt{4}=2[/TEX]
.......
[TEX]A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} < \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/TEX]
Do vậy ta có 1 < A < 2 \Rightarrow [TEX]A\notin N [/TEX]( đpcm)
Cách này thường được gọi là truy toán

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Áp dụng vào bài toán ta có:
[TEX]\frac12bd sin {\frac{A}{2}} + frac12bd sin {\frac{A}{2}}= \frac12 bc sin A \\ \Leftrightarrow (b+c) d =2 bc . cos{\frac{A}{2}} \\ \Leftrightarrow (b+c)^2 d^2 = 2b^2c^2 ( 1 + cos A) = bc ( 2bc + 2bc cos A) = bc ( 2bc + ( b^2 + c^2 -a^2)) \\ \Leftrightarrow d^2 = \frac{bc( (b+c)^2 -a^2) }{(b+c)^2}[/TEX]
P/s: Không biết em học mấy CT đó chưa nhưng anh bí quá rồi
Công thức Herong xong rồi ^^


Anh nghĩ đề là :
[TEX]h_a^2 \le \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a) [/TEX]
Tương tự cho câu b^^
Gợi ý: Áp dụng câu 1b

mấy cái ct kia chắc là e cm đc
nhưng cái phần ct hẻong là j ạ
e chưa a có thể nói kĩ phần này đc ko ạ?

 

[cattrang2601]

Ví dụ 2: rút gọn dãy tính sau:
[TEX]\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}[/TEX]
với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Giải:

Xét số hạng tổng quát
[TEX]\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}[/TEX]

Vậy:[TEX]\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}[/TEX]

[TEX]=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})[/TEX]

[TEX]=\sqrt{n}-1[/TEX]

Cách này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát

 

[nguyenphihuyen2009]

bai nay chac khong co ai giai duoc dau
ngtu sat gom 26 proton, 30 noron va 26 electron. tinh khoi luong electron co trong 1 kg sat. biet: khoi luong cua e la 9,1095.10^-27 kg
khoi luong cua p =1,6726.10^-27
khoi luong cua n=1,6750.10^-27

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

1, cho x,y>0. tìm min
[tex] A= \frac{(x+y)^3}{xy^2}[/tex]
2. tìm min
[tex]B= \frac{\overline{abc}}{a+b+c}[/tex]
tks nhìu