Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[asroma11235]

1)Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc=1.Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+ \frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
2)Cho x,y,z > 0; xyz=1.CM:
[TEX]\sum \frac{\sqrt[]{1+x^3+y^3}}{xy} \geq 3\sqrt[]{3}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

1)Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc=1.Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+ \frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
2)Cho x,y,z > 0; xyz=1.CM:
[TEX]\sum \frac{\sqrt[]{1+x^3+y^3}}{xy} \geq 3\sqrt[]{3}[/TEX]

1, Ta có : áp dụng co si
[TEX]\sum_\frac{a^3}{(1+b)(1+c)} +\frac{1+b}{8}+\frac{c+1}{8} \geq \frac{3a}{4}[/TEX]
=> [TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+ \frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{a+b+c +3}{4}[/TEX]
ta có [TEX]a+b+c\geq 3[/TEX] do abc=1
=> đpcm
dấu = <=> a=b=c

 

[bboy114crew]

2)Cho x,y,z > 0; xyz=1.CM:
[TEX]\sum \frac{\sqrt[]{1+x^3+y^3}}{xy} \geq 3\sqrt[]{3}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{\sqrt[]{1+x^3+y^3}}{xy} \geq \sum \frac{\sqrt[]{3xy}}{xy}(AM-GM) \geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x^2y^2z^2}} = 3\sqrt[]{3}[/TEX]

 

[asroma11235]

Tưởng pic ko có ai/ )
1)Cho 3 số thực x,y,z t/m: [TEX]0<x<y\leq z[/TEX]
[TEX]3x+2y+z \leq 4[/TEX]
Tìm Max: [TEX]3x^2+2y^2+z^2[/TEX]
2)Chứng minh:

Với a,b,c là các số dương

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

bài 2

Cách 1 dùng [TEX]\sqrt{x} +\sqrt{y} \leq \sqrt{2(x+y)}[/TEX]

[TEX] VT \geq \sum \frac{\sqrt{a}+ \sqrt{b} }{\sqrt{2c} }[/TEX]

[TEX]\geq \sum \frac{2\sqrt{2c} }{ \sqrt{a}+ \sqrt{b}}[/TEX]

[TEX]=VP[/TEX]

 

[asroma11235]

Cần c/m
[TEX] \sum \sqrt{\frac{c}{a+b}} \leq 3[/TEX]

..........................

1)Cho 3 số thực x,y,z t/m: [TEX]0<x<y\leq z[/TEX]
[TEX]3x+2y+z \leq 4[/TEX]
Tìm Max: [TEX]3x^2+2y^2+z^2[/TEX]
2)Chứng minh:

Với a,b,c là các số dương

Làm tiếp coi/ bài này đâu đến nỗi rắc rối thế? :|
---------------------------------
------------------------------------------------------------------
--------------------

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

2)chứng minh:

với a,b,c là các số dương

c2:

Bđt cần c/m [tex]\leftrightarrow \sum a \ \sum\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \geq 3 \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}[/tex]

(đúng theo chebyshev)

....................................................................

c3:
Giả sử [tex]a \geq b \geq c[/tex]

[tex]\rightarrow (a-b)(\frac{1}{\sqrt{b(a+c)}}-\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}})+(a-c)(\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}-\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}})+(b-c)(\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}-\frac{1}{\sqrt{b(a+c)}}) \geq 0[/tex]

[tex]\leftrightarrow \frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{a+c-2b}{\sqrt{b(a+c)}} \geq 0[/tex]

[tex]\leftrightarrow ...[/tex]

 

[asroma11235]

Tưởng pic ko có ai/ )
1)Cho 3 số thực x,y,z t/m: [TEX]0<x<y\leq z[/TEX]
[TEX]3x+2y+z \leq 4[/TEX]
Tìm Max: [TEX]3x^2+2y^2+z^2[/TEX]
2)Chứng minh:

Với a,b,c là các số dương

....................................................................

Còn cách khác nữa không?

____________________________________________

 

[huu_thuong]

1. cho x, y, z> 0 thoả mãn

2. cho ai> 0. chứng minh :

 

[vuotlensophan]

bdt khó

1)cho abcd =1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+ \frac{9}{a+b+c+d}\geq \frac{25}{4}[/TEX]
2) cho a,b,c,d >0. CMR:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{a{b}^{2}+1}+\frac{{b}^{4}}{b{c}^{2}+1}+\frac{{c}^{4}}{c{a}^{2}+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}[/TEX]

 

[bboy114crew]

1)cho abcd =1. CMR:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+ \frac{9}{a+b+c+d}\geq \frac{25}{4}[/TEX]
2) cho a,b,c,d >0. CMR:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{a{b}^{2}+1}+\frac{{b}^{4}}{b{c}^{2}+1}+\frac{{c}^{4}}{c{a}^{2}+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}[/TEX]

2) Ta có:
[TEX]\frac{{a}^{4}}{a{b}^{2}+1}+\frac{{b}^{4}}{b{c}^{2}+1}+\frac{{c}^{4}}{c{a}^{2}+1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum \frac{b^2}{a}+\sum \frac{1}{a^2}}[/TEX]
Tới đây chắc ngon!

 

[thienlong_cuong]

[TEX]Prove that : \sum (\frac{2a}{b + c})^k \geq 3 [/TEX]

[TEX]with : a , b , c \geq 0 [/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

[TEX]Prove that : \sum (\frac{2a}{b + c})^k \geq 3 [/TEX]

[TEX]with : a , b , c \geq 0 [/TEX]

[TEX]Holder \Rightarrow (\sum (\frac{2a}{b + c})^k).3^{k-1} \geq (\sum \frac{2a}{b + c})^k \geq 3^k[/TEX]

 

[nerversaynever]

[TEX]Prove that : \sum (\frac{2a}{b + c})^k \geq 3 [/TEX]

[TEX]with : a , b , c \geq 0 [/TEX]

phải có điều kiện [TEX]k \le 0 \vee {2.2^k} \ge 3[/TEX] nếu ko bất đẳng thức sai

 

[bboy114crew]

Lên lớp 10 ùi nhưng góp tí cho lớp 9!
Cho [TEX](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2[/TEX]
CMR: [TEX](x+y+z)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \ge 9+ \frac{2(x+y+z-1)}{3xyz}[/TEX].

 

[bboy114crew]

Khởi động lại topic bằng bài sau!
Cho 3 số dương x,y,z.Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{2}{z}^{2}+{x}^{2}{z}^{2}}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Khởi động lại topic bằng bài sau!
Cho 3 số dương x,y,z.Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{2}{z}^{2}+{x}^{2}{z}^{2}}[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

[TEX](xy+yz+zx)(xyz+2) \geq 9xyz[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{36}{8+4zyz} \geq \frac{36}{9+{x}^{2}{y}^{2}+{y}^{2}{z}^{2}+{x}^{2}{z}^{2}}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho [TEX]x \geq -1; y \geq 1[/TEX] \ [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+8}[/TEX]

Tìm min [TEX]P= x^4+y^2-5(x+y)+2020[/TEX]

đề thi cuối kì năm ngoái

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

cm
[TEX]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + .... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24} (n>1)[/TEX]

[TEX]\frac{1}{2}. \frac{3}{4}. ..... . \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Tặng các bạn 1 bài nè
Cho các số thực dương a , b , c
CMR :

[TEX]\frac{1}{a\sqrt{a + b}} + \frac{1}{b\sqrt{c + b}} +\frac{1}{c\sqrt{a + c}} \geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}[/TEX]