Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[asroma11235]

1.Cho a,b,c [TEX]\neq[/TEX] 0.CMR:

2.Cho [TEX]2 \leq n \in Z[/TEX], không quy nạp, CM:

 

[conami]

Một bài trong đề toán chung của chuyên Lam Sơn
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số thực dương tuỳ ý thoả mãn[TEX] a+b+c=2[/TEX]. Tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}[/TEX]

 

[huu_thuong]

Một bài trong đề toán chung của chuyên Lam Sơn
Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là 3 số thực dương tuỳ ý thoả mãn[TEX] a+b+c=2[/TEX]. Tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}[/TEX]

tương tự với các số kia, nhóm vào rồi quy đồng, ta được max hình như bằng 1 >-

 

[asroma11235]

1.Cho a,b,c [TEX]\neq[/TEX] 0.CMR:

2.Cho [TEX]2 \leq n \in Z[/TEX], không quy nạp, CM:

Ta có: [TEX]k \in N[/TEX]

+)k=1
\Rightarrow

k=2;

\Rightarrow

k=n;

\Rightarrow

\Rightarrow

p/s: Ai vô bem nốt bài 1 hộ với, thứ 3 phải nộp rồi (

 

[locxoaymgk]

Bạn ơi,bài 1 đạt ẩn phụ là ra mà!

Đặt[TEX] a^2=x(x>0);b^2=y(y>0),c^2=z(z>0)[/TEX]
Ta có BDT:
[TEX]\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}\ge \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}[/TEX]
Dễ dàng Cm[TEX] BDT[/TEX] với[TEX] x,y,z>0[/TEX]
p/s:Bài này mình nghĩ bừa nhưng cái BDt cuối là đúng vì vậy thầy giáo cậu bảo sai thì cũng đừng trách tớ^^!

 

[khanh_ndd]

1.Cho a,b,c [TEX]\neq[/TEX] 0.CMR:

ta sẽ cm bđt sau
[TEX]\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}[/TEX]

giả sử [TEX]x\geq y\geq z>0[/TEX]. bđt cần cm tương đương:

[TEX]\sum \frac{x^2}{y^2+z^2}-\sum\frac{x}{y+z}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum(\frac{x^2}{y^2+z^2}-\frac{x}{y+z})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{xy(x-y)+zx(x-z)}{(y^2+z^2)(y+z)}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum xy(x-y)(\frac{1}{(y^2+z^2)(y+z)}-\frac{1}{(z^2+x^2)(z+x)})\ge 0[/TEX]

bđt trên đúng do [TEX]\frac{1}{(y^2+z^2)(y+z)}\ge\frac{1}{(z^2+x^2)(z+x)}\ge\frac{1}{(x^2+y^2)(x+y)}[/TEX]

một cách nữa đó là sử dụng phân tích S.O.S. viết bđt trên dưới dạng
[TEX]S_a(y-z)^2+S_b(z-x)^2+S_c(x-y)^2\geq 0[/TEX]

với [TEX]S_a=\frac{(y+z)^2}{(x^2+y^2)(z^2+x^2)}-\frac{1}{(x+y)(z+x)}...[/TEX]
có thể cm đc [TEX]S_b;S_c;S_a+S_b\geq 0[/TEX] với [TEX]x\geq y\geq z[/TEX]

 

[huu_thuong]

Bạn ơi,bài 1 đạt ẩn phụ là ra mà!

Đặt[TEX] a^2=x(x>0);b^2=y(y>0),c^2=z(z>0)[/TEX]
Ta có BDT:
[TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}[/TEX]
Dễ dàng Cm[TEX] BDT[/TEX] với[TEX] x,y,z>0[/TEX]

Chứng minh cái BDT bạn suy ra làm sao? mãi ko chứng minh ra (

 

[locxoaymgk]

CM công thức sau với[TEX] a,b,c>0[/TEX]
[TEX] \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}[/TEX]
Xét hiệu:

Tương tự

Cộng từng vế 3 BDT trên ta có:

[TEX]\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}-(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/TEX]

Giả sử a\geqb\geqc\Rightarrow BDt đươc CM
P/s: Gõ LATEX có chỗ sai,mọi người góp ý để mình sửa há!

ta sẽ cm bđt sau
[TEX]\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}[/TEX]

giả sử [TEX]x\geq y\geq z[/TEX]. bđt cần cm tương đương:

[TEX]\sum \frac{x^2}{y^2+z^2}-\sum\frac{x}{y+z}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum(\frac{x^2}{y^2+z^2}-\frac{x}{y+z})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{xy(x-y)+zx(x-z)}{(y^2+z^2)(y+z)}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum xy(x-y)(\frac{1}{(y^2+z^2)(y+z)}-\frac{1}{(z^2+x^2)(z+x)})\ge 0[/TEX]

bđt trên đúng do [TEX]\frac{1}{(y^2+z^2)(y+z)}\ge\frac{1}{(z^2+x^2)(z+x)}\ge\frac{1}{(x^2+y^2)(x+y)}[/TEX]

một cách nữa đó là sử dụng phân tích S.O.S. viết bđt trên dưới dạng
[TEX]S_a(y-z)^2+S_b(z-x)^2+S_c(x-y)^2\geq 0[/TEX]

với [TEX]S_a=\frac{(y+z)^2}{(x^2+y^2)(z^2+x^2)}-\frac{1}{(x+y)(z+x)}...[/TEX]
có thể cm đc [TEX]S_b;S_c;S_a+S_b\geq 0[/TEX] với [TEX]x\geq y\geq z[/TEX]

Ê,bạn ơi BDT ấy thiếu DK x,y,z>0 thì phải (bởi vì cái BDT này có trong sách^^!)

Chứng minh cái BDT bạn suy ra làm sao? mãi ko chứng minh ra (

Bạn ơi,Mình xin sửa lại cái BDT!!
P?s: chỗ dòng thứ "Cộng 3 vế BDT ta dc" tớ quên chưa đóng ngoặc cái xét hiệu ,ai có tay nghề sửa hộ cái!!
May thiệt vừa tìm ra xong!!

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Cho a, b, c là các số thực dương t/m [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Mod xóa hộ...........
Lúc naopf em vào táắn học .net xem thế nào

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Đặt

Áp dụng BDT bunhiacopxki ta cóDK: x,y,z ko âm)
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \geq 9[/TEX]
Thay[TEX] x=a-1;y=b-1;z=c-1 [/TEX]ta có:
[TEX][3-(a+b+c) ]A \geq 9[/TEX]
Ta có [TEX]3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2 \Rightarrow 3\geq( a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3-(a+b+c) \geq 3- \sqrt{3} \Rightarrow A \geq \frac{9}{3-\sqrt{3}}[/TEX]
=............................(Trục căn ở mẫu)
[TEX]\Rightarrow A Min .........khi \ .........[/TEX]

sai rồi
xem lại đi
:|
==============================

 

[01263812493]

[TEX]\blue x,y,z \in R, \ |x| \leq 1; |y| \leq 1; |z| \leq 1. Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum \sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{9-(\sum x)^2}[/TEX]

 

[duynhana1]

[TEX]\blue x,y,z \in R, \ |x| \leq 1; |y| \leq 1; |z| \leq 1. Prove:[/TEX]
[TEX]\blue \sum \sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{9-(\sum x)^2}[/TEX]

[TEX]\sum \sqrt{1-x^2} \le \sqrt{3( 3 - (x^2 + y^2 +z^2))} \le \sqrt{9 - (x+y+z)^2}[/TEX] :-??

 

[khanh_ndd]

Cho a, b, c là các số thực dương t/m [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}[/TEX]

Bài này làm theo cách thông thường rất khó chịu vì dấu = xảy ra khá lẻ

Hãy chứng minh

chứng minh bđt trên không quá khó nhưng rất mất thời gian

Nếu dùng đạo hàm và bđt Jensen thì có thể chứng minh ngắn gọn

 

[locxoaymgk]

Mọi người giải dùm mí cái min,max........

Câu 1: Cho[TEX] x >0[/TEX] tìm[TEX] min[/TEX] của:

[TEX]M=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011.[/TEX]


Câu 2: Cho 3 số [TEX]a,b,c >0[/TEX] thỏa mãn điều kiên [TEX]a+b+c=2.[/TEX]
Tìm [TEX]max[/TEX] của biểu thức:
[TEX] P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}[/TEX]

 

[asroma11235]

Bài 1:

Đẳng thức xảy ra <=>

Bài 2:

tương tự với các số kia, nhóm vào rồi quy đồng, ta được max hình như bằng 1 >-

Bổ sung:

Chỗ này chắc không cần :-??

 

[locxoaymgk]

Bài 1:

Đẳng thức xảy ra <=>

Bài 2:

Bổ sung:

Chỗ này chắc không cần :-??

e, pạn ơi Tìm max của cái này làm sao ^^:
[TEX] \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}[/TEX]

 

[0915549009]

e, pạn ơi Tìm max của cái này làm sao ^^:
[TEX] \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}[/TEX]

[TEX]=a+b+c[/TEX] còn gì bạn :-??
Nhóm mấy cái cùng mẫu rồi đặt nhân tử chung, rút gọn :">

 

[bboy114crew]

Cho a,b,c 3 cạnh tam giác với [tex]a+b+c=1[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex] \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > \frac{9}{2} [/tex]

 

[locxoaymgk]

Cho a,b,c 3 cạnh tam giác với [tex]a+b+c=1[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex] \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > \frac{9}{2} [/tex]

Híc,Hình như nó lớn hơn 9 hay sao ấy chứ!! !!
Giải bừa: Giả sử a \geqb\geqc
Ta có :[TEX] a>b-c[/TEX]
[TEX] b>a-c[/TEX]
[TEX] c>a-b[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a(a-b)}>\frac{a}{ab}+\frac{b}{bc}+\frac{c}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Ta có BDT :
[TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq9[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
[tex] \Rightarrow \frac{a}{b(b-c)} + \frac{b}{c(c-a)} + \frac{c}{a(a-b)} > 9 [/tex]