[Toán 8] Mỗi ngày một bài

[hoa_giot_tuyet]

Tiếp nào :x
Cho một bài lớp 6 )
S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Tìm số tự nhiên n thoả mãn [TEX]S(n) = n^2 - 2009n + 11(1)[/TEX]

Ko có ai à :|
Giải
Dễ nhận thấy n = 2009 thì (1) đúng
Giả sử a > 2009 \Rightarrow S(n) = n^2 - 2009n + 11 > n(n-2009) > n ~> Vô lý
Giả sử 1 \leq n \leq 2008 ta có n - 1 \geq 0, n - 2008 \leq 0 nên (n-1)(n-2008) \leq 0 \Rightarrow [TEX]n^2 - 2009n + 2008 \leq 0[/TEX] ~> Vô lý
\Rightarrow n = 2009 là số tự nhiên cần tìm

 

[01263812493]

Lớp 8 giải thử nhé )
Cho [TEX]\blue a,b,c,d [/TEX] thoả:
[TEX]\blue \left{a^2+b^2=c^2+d^2=1\\ac+bd=0[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\blue \left{a^2+c^2=b^2+d^2=1\\ ab+cd=0[/TEX]

 

[ohmymath]

Lớp 8 giải thử nhé )
Cho [TEX]\blue a,b,c,d [/TEX] thoả:
[TEX]\blue \left{a^2+b^2=c^2+d^2=1\\ac+bd=0[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\blue \left{a^2+c^2=b^2+d^2=1\\ ab+cd=0[/TEX]

Không phải lớp 8 cũng xông vô nhá!!
Chỉ xét truờng hợp a;b;c;d#0! Các trường hợp =0 quá dễ khỏi nói!!
Ta có ac+bd=0 [TEX]\Rightarrow \frac{-a}{d}=\frac{b}{c}\Rightarrow {(\frac{-a}{d})}^2={(\frac{b}{c})}^2[/TEX]
Lại có: [TEX]a^2+b^2=c^2+d^2\Leftrightarrow {(\frac{a}{d})}^2+\frac{b^2-c^2}{d^2}-1=0\Leftrightarrow {(\frac{b}{c})}^2+\frac{b^2-c^2}{d^2}-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (b^2-c^2)(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b^2=c^2 \Rightarrow b=\pm c[/TEX]
Đến đây thay vào thui!! quá ngon!!

 

[01263812493]

Không phải lớp 8 cũng xông vô nhá!!
Chỉ xét truờng hợp a;b;c;d#0! Các trường hợp =0 quá dễ khỏi nói!!
Ta có ac+bd=0 [TEX]\Rightarrow \frac{-a}{d}=\frac{b}{c}\Rightarrow {(\frac{-a}{d})}^2={(\frac{b}{c})}^2[/TEX]
Lại có: [TEX]a^2+b^2=c^2+d^2\Leftrightarrow {(\frac{a}{d})}^2+\frac{b^2-c^2}{d^2}-1=0\Leftrightarrow {(\frac{b}{c})}^2+\frac{b^2-c^2}{d^2}-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (b^2-c^2)(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b^2=c^2 \Rightarrow b=\pm c[/TEX]
Đến đây thay vào thui!! quá ngon!!

Thế xét trường hợp [tex] a=d=0 [/tex] thì sao, nếu xét tất cả khác 0 quả dễ rồi

 

[hoa_giot_tuyet]

Lớp 8 giải thử nhé )
Cho [TEX]\blue a,b,c,d [/TEX] thoả:
[TEX]\blue \left{a^2+b^2=c^2+d^2=1\\ac+bd=0[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]\blue \left{a^2+c^2=b^2+d^2=1\\ ab+cd=0[/TEX]

ac+bd = 0 \Rightarrow (ac+bd)(bc+ad) = 0 \Rightarrow ac(bc+ad) + bd(bc+ad) = 0
\Rightarrow [TEX]abc^2 + a^2cd + b^2cd + abd^2 = 0[/TEX]\Rightarrow [TEX]ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) = 0[/TEX] \Rightarrow ab + cd = 0
MỚi giải dc đến đó, cái trên chắc thay vào biến đổi là dc, đang gặm

 

[k_nei_k]

Cho a và b là hai số ko âm. Chứng minh [TEX](a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]

 

[01263812493]

Cho a và b là hai số ko âm. Chứng minh [TEX](a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

BĐT Na-sơ-bit
Cho 3 số dương a,b,c. C/m [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

BĐT Na-sơ-bit
Cho 3 số dương a,b,c. C/m [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

bài này để các bạn lớp 8 làm!(3 cách đấy )
BĐT Nesbitt 4 biến : với [tex]a,b,c,d >0[/tex] thì :[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b}\geq 2.[/tex]

 

[hoa_giot_tuyet]

BĐT Na-sơ-bit
Cho 3 số dương a,b,c. C/m [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Với bài này khi seach google sẽ có 45 cách c/m
Cách 1.

Biến đổi vế trái

Chia cả 2 vế cho 3 và chuyển vế

Hiển nhiên đúng
Cách 2. Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được:

Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại).​

Cách 2. Đặt

Ta có:

Từ đó

Cách 3. Trước hết ta chứng minh

Ta có thể viết lại là

luôn đúng. Cộng vế theo vế là xong
Cách 4. Giả sử a \geq b \geq c. Khi đó

Theo Chebyshev và AM-GM, ta có:​

Còn tiếp ....
​

 

[trydan]

bài này để các bạn lớp 8 làm!(3 cách đấy )
BĐT Nesbitt 4 biến : với [tex]a,b,c,d >0[/tex] thì :[tex]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b}\geq 2.[/tex]

Mặt khác ta có

 

[hoa_giot_tuyet]

Có bài này ai làm dc làm với, bài kiểm tra hôm bữa mà ko hiểu chi hjt
Cho tam giác ABC, phân giác BD và CE. Tính các góc của tam giác ABC biết

 

[nganltt_lc]

Có bài này ai làm dc làm với, bài kiểm tra hôm bữa mà ko hiểu chi hjt
Cho tam giác ABC, phân giác BD và CE. Tính các góc của tam giác ABC biết

Bạn tự vẽ hình nha.Mình tính được góc A của tam giác ABC.
Ta đặt :
[TEX]\hat{ABC} \ = \ 2x \ ; \ \hat{ACB} \ = \ 2y[/TEX]
Giao điểm của 2 đường phân giác là G.

Ta có :

[TEX]\hat{BGC} \ = \ \hat{EGD} \ = \ 180^0 \ - \ \hat{CED} \ - \ \hat{BDE}[/TEX]

[TEX]= \ 180^0 \ - \ 18^0 \ - \ 24^0 \ = \ 138^0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ x \ + \ y \ = \ 180^0 \ - \ 138^0 \ = \ 42[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ 2x \ + \ 2y \ = \ 2 . 42 \ = \ 84[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \hat{BAC} \ = \ 180^0 \ - \ 2x \ - \ 2y \ = \ 180^0 \ - \ 84^0 \ = \ 96^0[/TEX]

Cái e cần là góc B và C chị cố suy nghĩ hộ e

 

[conangbuongbinh_97]

Bạn tự vẽ hình nha.Mình tính được góc A của tam giác ABC.
Ta đặt :
[TEX]\hat{ABC} \ = \ 2x \ ; \ \hat{ACB} \ = \ 2y[/TEX]
Giao điểm của 2 đường phân giác là G.

Ta có :

[TEX]\hat{BGC} \ = \ \hat{EGD} \ = \ 180^0 \ - \ \hat{CED} \ - \ \hat{BDE}[/TEX]

[TEX]= \ 180^0 \ - \ 18^0 \ - \ 24^0 \ = \ 138^0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ x \ + \ y \ = \ 180^0 \ - \ 138^0 \ = \ 42[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ 2x \ + \ 2y \ = \ 2 . 42 \ = \ 84[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \hat{BAC} \ = \ 180^0 \ - \ 2x \ - \ 2y \ = \ 180^0 \ - \ 84^0 \ = \ 96^0[/TEX]

***************[TEX]\hat{ABC}=?\\ \hat{ACB}=?[/TEX]*****************

 

[quynhnhung81]

Cái này thầy bảo giải ra hình như là góc B = 72, góc C= 12.......................................

 

[hoa_giot_tuyet]

Gợi ý của thầy: Dựng điểm đối xứng của D và E, vậy ai giúp tớ giải tiếp được ko? Tks nhiều

 

[let_wind_go]

bài này để các bạn lớp 8 làm!(3 cách đấy )
BĐT Nesbitt 4 biến : với [tex]a,b,c,d >0[/tex] thì :[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b}\geq 2.[/tex]

Đặt M = a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b)
N= a(b+c) + b(c+d) + c(d+a) + d(a+b)
Theo Bunhiacốpxki MN\geq(a+b+c+d)^2
Mặt khác N = ( ab+ bc+cd+da) + 2 ac + 2bd
= (a+c)(b+d) + 2ac + 2bd
\leq(a+c)(b+d) + (a+c)^2/2 + (b+d)^2/2
= (a+b+c+d)^2/2

\Rightarrow M\geq2(đpcm)

 

[hell_angel_1997]

Cho [tex]\large\Delta ABC[/tex] vuông ở [TEX]A[/TEX], [TEX]BC=a,[/TEX] đường cao [TEX]AH[/TEX]. Vẽ [TEX]HE \perp \ AB, HF \perp \ AC[/TEX]. Gọi [TEX] I, K[/TEX] là các điểm đối xứng của [TEX]H [/TEX] qua [TEX]AB[/TEX] và [TEX]AC[/TEX]
a, C/m [TEX] \overline{I, A, K}[/TEX]
b, Gọi [TEX]P, Q[/TEX] là trung điểm của [TEX]BH, CH[/TEX]. Tính [TEX]S_{PEFQ}[/TEX] khi [TEX]EF[/TEX] lớn nhất
c, Đường thẳng qua [TEX]B[/TEX] và vuông góc với [TEX]BC[/TEX] cắt [TEX]IK[/TEX] tại [TEX]M[/TEX]. C/m [TEX]AH, EF, MC[/TEX] đồng qui

 

[hoa_giot_tuyet]

[TEX] \overline{I, A, K}[/TEX]

Kí hiệu này là I,A,K thẳng hàng hả m .

 

[quan8d]

Cho [tex]\large\Delta ABC[/tex] vuông ở [TEX]A[/TEX], [TEX]BC=a,[/TEX] đường cao [TEX]AH[/TEX]. Vẽ [TEX]HE \perp \ AB, HF \perp \ AC[/TEX]. Gọi [TEX] I, K[/TEX] là các điểm đối xứng của [TEX]H [/TEX] qua [TEX]AB[/TEX] và [TEX]AC[/TEX]
a, C/m [TEX] \overline{I, A, K}[/TEX]
b, Gọi [TEX]P, Q[/TEX] là trung điểm của [TEX]BH, CH[/TEX]. Tính [TEX]S_{PEFQ}[/TEX] khi [TEX]EF[/TEX] lớn nhất
c, Đường thẳng qua [TEX]B[/TEX] và vuông góc với [TEX]BC[/TEX] cắt [TEX]IK[/TEX] tại [TEX]M[/TEX]. C/m [TEX]AH, EF, MC[/TEX] đồng qui

a, Theo tính chất đối xứng : [TEX]g.HAB = g.BAI , g.HAC = g.CAK \rightarrow [/TEX] tổng 4 góc này [TEX]= 180 \rightarrow[/TEX] thẳng hàng
b, AEHF là hình chữ nhật [TEX]\rightarrow EF = AH \leq \frac{BC}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MAX EF = \frac{BC}{2}[/TEX]
[TEX]g.QFH = g.QHF = g.HBA = g.AHE = g.HEF \rightarrow g.QFH+g.HFE = 90 \rightarrow g.QFH = 90 . TT : g.PEF = 90 \rightarrow [/TEX]QFEP là hình thang vuông [TEX]\rightarrow S = \frac{1}{2}EF(FQ+EP) = \frac{BC^2}{8}[/TEX]
c, [TEX]g.ABM = g.HAB = g.BAM \rightarrow \Delta ABM[/TEX] cân tại M
EF cắt AH tại O [TEX]\rightarrow \Delta FOH[/TEX] cân tại O có [TEX]g.OHF = g.HAB = g.BAM \rightarrow \Delta ABM ~ \Delta FOH \rightarrow \frac{FO}{AM} = \frac{FH}{AB} = \frac{CF}{CA} \rightarrow C,O,M[/TEX] thẳng hàng ( Talet)