[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

T

trydan

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.


1) Cho
gif.latex
Chứng minh rằng:
gif.latex

2) Cho
gif.latex
và
gif.latex
. Chứng minh rằng:
gif.latex

 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

trydan said:
Mình có 2 bất đẳng thức sau, mọi người giải giúp nhé:
1) Cho [TEX]a, b, c>0[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq2[/TEX]
2) Cho [TEX]a+b+c=4 [/TEX] và [TEX] a, b, c>0[/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] (a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3b^3c^3[/TEX]

______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]LHS:=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b}[/tex]

[tex]=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}[/tex]

[tex] \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}[/tex]

Cần chứng minh [tex]2.(\sum_{sym} ab+ac+bd) \leq (a+b+c+d)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2.(ab+bc+cd+ac+bd) \geq 2.(\sum_{sym} ab+ac+bd)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2 \geq 0[/tex]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
 
Q

quan8d

Ta cm được (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc ( dựa vào bđt Cô si)
cần cm 8 \geq [tex] a^2b^2c^2 [/tex]
Áp dụng bđt Cô si ta có:
[tex]\frac{(a+b+c)^3}{3^3} \geq abc[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{(a+b+c)^6}{3^6} \geq a^2b^2c^2[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{4^6}{3^6} \geq a^2b^2c^2[/tex]
suy ra 8 \geq [tex] a^2b^2c^2 [/tex]
Vậy [tex](a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3b^3c^3 [/tex]
 
T

trydan

Mình cho đề tiếp nha :)
Cho
gif.latex
. Chứng minh rằng
gif.latex
 
Last edited by a moderator:
0

0915549009

bài này chỉ cần xét hjệu của BĐT, quy đồng và PT là đc thôi , ko cần xét 2 TH là x, y cùng dấu và # dấu đâu, bạn ah!!!

Đúng rồi đấy, mình cũng làm theo cách đó !!
Theo mình thì cách này hay hơn, ko fải xét 2 TH của x, y
 
Last edited by a moderator:
0

01263812493

trydan said:
Cho
gif.latex
và
gif.latex
. Chứng minh rằng:
gif.latex

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz} \Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1.\sqrt{xyz} . \sqrt{xyz} \geq 3.\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow xyz \geq 3xyz \Rightarrow 2xyz \geq 4xyz[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 8xyz \geq 16xyz[/TEX]C/m : x+y \geq 8xyz
________________:D
:| :-SS
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

01263812493 said:
[TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz} \Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1.\sqrt{xyz} . \sqrt{xyz} \geq 3.\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow xyz \geq 3xyz \Rightarrow 2xyz \geq 4xyz[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 8xyz \geq 16xyz[/TEX]C/m : x+y \geq 8xyz
________________:D
:| :-SS
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sử dụng như vậy sẽ sai hoàn toàn .
 
T

trydan

Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên x, y, z thì
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 
R

rooney_cool

trydan said:
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên x, y, z thì
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có
[TEX](x-y)^2+(y-z)^2+(z-1)^2 +1 > 0[/TEX] :D
 
T

trydan

quan8d said:
Ta cm được (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc ( dựa vào bđt Cô si)
cần cm 8 \geq [tex] a^2b^2c^2 [/tex]
Áp dụng bđt Cô si ta có:
[tex]\frac{(a+b+c)^3}{3^3} \geq abc[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{(a+b+c)^6}{3^6} \geq a^2b^2c^2[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{4^6}{3^6} \geq a^2b^2c^2[/tex]
suy ra 8 \geq [tex] a^2b^2c^2 [/tex]
Vậy [tex](a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3b^3c^3 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài của quan8d làm hơi khó hiểu:(. Mình làm bài này như sau
Ta có
gif.latex

mà
gif.latex

mà
gif.latex

Chứng minh tương tự ta được
gif.latex

gif.latex

Từ (1)(2) và (3) suy ra
gif.latex



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom